人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题04等式的性质与不等式的性质(原卷版+解析)

这是一份人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题04等式的性质与不等式的性质(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了比较原理，等式的基本性质，不等式的基本性质等内容，欢迎下载使用。

1、比较原理
；
；
.
2、等式的基本性质
性质1 如果，那么；
性质2 如果，，那么；
性质3 如果，那么；
性质4 如果，那么；
性质5 如果，，那么.
3、不等式的基本性质
性质1 如果，那么；如果，那么.即
性质2 如果，，那么.即
，.
性质3 如果，那么.
由性质3可得，
.
这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.
性质4 如果，，那么；如果，，那么.
性质5 如果，，那么.
性质6 如果，，那么.
性质7 如果，那么（，）.
【典型例题】
例1．(2023·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）已知，.
(1)分别求a，c的取值范围；
(2)求的取值范围.
例2．(2023·江苏·明达中学高一阶段练习）设，，比较与的大小
例3．(2023·全国·高一课时练习）已知，，求，的取值范围．
例4．(2023·全国·高一课时练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，靠墙的一边长为xm.
（1）若要求菜园的面积不小于110m2，试用不等式组表示其中的不等关系;
（2）若矩形的长、宽都不能超过11m，试求x满足的不等关系.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；若，则（ ）
A．甲先到达终点B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点D．无法确定谁先到达终点
2．(2023·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知，，，则P与Q的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不确定
3．(2023·河南·高一阶段练习）若，则下列各式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·河南·高一阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．的大小无法确定
5．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·湖南·株洲市渌口区第三中学高一阶段练习）设，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
7．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为实数，若且，则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·广东·东莞实验中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．(2023·全国·高一课时练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
11．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）已知均为实数，下列命题正确的是（ ）
A．已知，则存在负数使成立
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，，，则
D．若正数满足，则
12．(2023·全国·高一单元测试）下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
三、填空题
13．(2023·北京·101中学高一阶段练习）“且”是“且”的______条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）．
14．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）已知，下列命题中正确的是______(将正确命题的序号填在横线上)
①若，则 ②若，则;
③若，则; ④若，则.
15．(2023·全国·高一课时练习）已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）
16．(2023·全国·高一）已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是________.
四、解答题
17．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）已知三个不等式：①；②；③（其中m，n，x，y均为实数），命题p：__________，____________________（横线上填①，②，③）．请写出2种可能的命题，并判断其真假．
18．(2023·全国·高一课时练习）已知，证明：.
19．(2023·全国·高一课时练习）设实数，满足，，求的最大值．
20．(2023·全国·高一课时练习）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积.
（1）若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件是变好了还是变差了？
（2）无论原设计方案中窗户面积和地板面积是多大，增加的窗户面积和地板面积的比值为多少时，住宅的采光条件必定会变差？
21．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知，求证：；
（2）已知，且，比较与的大小．
22．(2023·北京石景山·高一期末）若实数，，满足，则称比远离.
(1)若比远离，求实数的取值范围；
(2)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由.
专题04 等式的性质与不等式的性质
考点预测：
1、比较原理
；
；
.
2、等式的基本性质
性质1 如果，那么；
性质2 如果，，那么；
性质3 如果，那么；
性质4 如果，那么；
性质5 如果，，那么.
3、不等式的基本性质
性质1 如果，那么；如果，那么.即
性质2 如果，，那么.即
，.
性质3 如果，那么.
由性质3可得，
.
这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.
性质4 如果，，那么；如果，，那么.
性质5 如果，，那么.
性质6 如果，，那么.
性质7 如果，那么（，）.
【典型例题】
例1．(2023·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）已知，.
(1)分别求a，c的取值范围；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）设，，则，，，，
由，则，，
则的取值范围是，的取值范围是；
（2），由，，则，，则.
例2．(2023·江苏·明达中学高一阶段练习）设，，比较与的大小
【解析】，又， ， ，
，，
，，，
，
，．
例3．(2023·全国·高一课时练习）已知，，求，的取值范围．
【解析】因为，所以．
又，
所以，
即．
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即．
所以的取值范围是，的取值范围是．
例4．(2023·全国·高一课时练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，靠墙的一边长为xm.
（1）若要求菜园的面积不小于110m2，试用不等式组表示其中的不等关系;
（2）若矩形的长、宽都不能超过11m，试求x满足的不等关系.
【解析】（1）因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为，
所以，这时菜园的另一边长为， ，
所以菜园的面积，依题意有，即，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
（2）因为矩形的另一边长，所以，
又，且，所以.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；若，则（ ）
A．甲先到达终点B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点D．无法确定谁先到达终点
答案：A
【解析】由题意可知对于选手甲，，则
设选手乙总共用时，则对于选手乙，，则
即，即甲先到达终点
故选:A.
2．(2023·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知，，，则P与Q的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不确定
答案：A
【解析】
∵，∴
∴
又∵
∴，即．
故选：A．
3．(2023·河南·高一阶段练习）若，则下列各式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为，
所以，又，
则.
故选：D.
4．(2023·河南·高一阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．的大小无法确定
答案：C
【解析】，
故，所以.
故选：C.
5．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】对于A，因为，故，即，故A错误；
对于B，，无法判断，故B错误；
对于C，因为，，故C正确；
对于D，因为，故，即，故D错误．
故选：C．
6．(2023·湖南·株洲市渌口区第三中学高一阶段练习）设，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
答案：A
【解析】因为，，
所以，
∴，
故选：A
7．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为实数，若且，则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】当为负数时，A选项显然不成立；
当时，B选项显然不成立；
根据不等式的同向可加性可知C正确；
当为负数时，D选项显然不成立；
故选：C.
8．(2023·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.
故选：B
二、多选题
9．(2023·广东·东莞实验中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：AC
【解析】对于A，易知，则，即，故由得，即，故A正确；
对于B，不妨令，易知，但，故B错误；
对于C，易知，故，即，故C正确；
对于D，不妨令，易知，但，故D错误.
故选：AC.
10．(2023·全国·高一课时练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
答案：ABC
【解析】对于A选项，由，得，．所以，故正确；
对于B选项，由，得，故正确；
对于C选项，由，故正确；
对于D选项，当，，，时，满足，，但，故错误.
故选：ABC
11．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）已知均为实数，下列命题正确的是（ ）
A．已知，则存在负数使成立
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，，，则
D．若正数满足，则
答案：AC
【解析】A：，而，若为负数，则，当时，此时成立，正确；
B：当时，的大小不确定，即“”不能推出“”，充分性不成立，错误；
C：，而，，，则，故，，故，即，正确；
D：，故时，原不等式也成立，错误.
故选：AC
12．(2023·全国·高一单元测试）下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：AB
【解析】对于A：因为，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正确；
对于B：因为，所以，又因为，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正确；
对于C：因为，所以.因为，所以.故C错误；
对于D：取特殊值满足，但是，，所以
.故D错误.
故选：AB
三、填空题
13．(2023·北京·101中学高一阶段练习）“且”是“且”的______条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）．
答案：充分不必要
【解析】若且，则由不等式的同向可加性可得：，
由不等式的同向正可乘性可得：，
即“且”是“且”的充分条件，
反之，“且”，则“且”不一定成立，如.
所以，“且”是“且”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
14．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）已知，下列命题中正确的是______(将正确命题的序号填在横线上)
①若，则 ②若，则;
③若，则; ④若，则.
答案：②③
【解析】①若，当时，则，故①错误；
②若，不等式两边同时乘以，则，故②正确；
③若，不等式两边同时乘以，则，故③正确；
④若，当时，则，故④错误；
故答案为：②③
15．(2023·全国·高一课时练习）已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）
答案：
【解析】,
则解得，则，
又，
∴，
即，
故答案为：．
16．(2023·全国·高一）已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是________.
答案：B＜C＜A
【解析】方法一：
，
不妨令，
，
，
，
故答案为：B＜C＜A.
方法二：
∵，，
∴由排序原理可知：，
∵，
，
∴A＞C＞B﹒
故答案为：B＜C＜A.
四、解答题
17．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）已知三个不等式：①；②；③（其中m，n，x，y均为实数），命题p：__________，____________________（横线上填①，②，③）．请写出2种可能的命题，并判断其真假．
【解析】命题1：①，②③．
若①，②成立，即，，不等式两边同除以可得，即命题1为真命题．
命题2：①，③②．
若①，③成立，即，，不等式两边同乘，可得，即命题2为真命题．
命题3：②，③①．
若③，②成立，即，，则．
又，则，即命题3为真命题．
（以上三个命题中可以任意选择两个命题）
18．(2023·全国·高一课时练习）已知，证明：.
【解析】证明：， ，
，
， ， ，
.
19．(2023·全国·高一课时练习）设实数，满足，，求的最大值．
【解析】令，则，
所以，解得，
所以，
由题意得，
所以，
所以.
故的最大值为.
故答案为：
20．(2023·全国·高一课时练习）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积.
（1）若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件是变好了还是变差了？
（2）无论原设计方案中窗户面积和地板面积是多大，增加的窗户面积和地板面积的比值为多少时，住宅的采光条件必定会变差？
【解析】设窗户面积为，地板面积为，由题意知，.
（1）设增加的窗户面积和地板面积均为，则
，
因为，所以，故，
因此，住宅的采光条件变好了.
（2）设增加的窗户面积和地板面积分别为和，则
，
要使住宅的采光条件必定会变差，需满足恒成立，
即，亦即恒成立.
因为，所以，
即增加的窗户面积和地板面积的比值小于0.1时，住宅的采光条件必定会变差.
21．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知，求证：；
（2）已知，且，比较与的大小．
【解析】（1)

，
因为，所以， ，
所以，
故 .
(2) ．
由于，所以当时，，即；当时， ，即．
22．(2023·北京石景山·高一期末）若实数，，满足，则称比远离.
(1)若比远离，求实数的取值范围；
(2)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由.
【解析】(1)由比远离，则，即.
∴或，得：或.
∴的取值范围是.
(2)因为，有，
因为，所以．
从而，
①当时，
，即；
②当时，
，
又，则．
∴，即．
综上，，即比更远离．