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人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题08函数的性质：单调性、奇偶性、最大(小)值(原卷版+解析)
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这是一份人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题08函数的性质：单调性、奇偶性、最大(小)值(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了单调性与最大值，奇偶性等内容，欢迎下载使用。
1.单调性与最大（小）值
（1）增函数
设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
（2）减函数
设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
（3）单调性、单调区间、单调函数
如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.
如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.
（4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：
= 1 \* GB3 ①设值：设，且 ；
= 2 \* GB3 ②作差： ；
= 3 \* GB3 ③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底；
= 4 \* GB3 ④判断符号，得出函数的单调性.
（5）函数的最大值与最小值
= 1 \* GB3 ①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足:
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我们称M是函数的最大值.
= 2 \* GB3 ②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足:
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我们称是函数的最小值.
2.奇偶性
（1）偶函数
设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
关于偶函数有下面的结论：
= 1 \* GB3 ①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；
= 2 \* GB3 ②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立；
= 3 \* GB3 ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.
（2）奇函数
设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
关于奇函数有下面的结论：
= 1 \* GB3 ①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；
= 2 \* GB3 ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；
= 3 \* GB3 ③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点；
= 4 \* GB3 ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.
【典型例题】
例1．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
例2．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
例3．(2023·全国·高一课时练习）已知“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”，可以推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”．
(1)若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数的图象是否是中心对称图形．若是，请求出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
(2)若（1）中的函数还满足当时，，求不等式的解集．
例4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数对任意的m，都有，且时，．
(1)求的值：
(2)证明在R上为增函数；
(3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一单元测试）已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
3．(2023·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高一课时练习）已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506B．506C．2022D．2024
8．(2023·全国·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·江苏·高一单元测试）下列说法不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
10．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数为奇函数
D．是函数图象的对称轴
11．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则在上单调递减B．若，无最大值，也无最小值
C．若，则D．若，则
12．(2023·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．在区间上有最大值
D．的解集为
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．
14．(2023·全国·高一专题练习）对于三个数字a，b，c，用表示这三个数中最小数，例如， ．如果，则的取值范围是_________.
15．(2023·全国·高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．
16．(2023·全国·高一单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
四、解答题
17．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明.
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
18．(2023·天津南开·高一期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.
(1)求f（0）；
(2)证明：函数y=f（x）是奇函数；
(3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数.
19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，且 .
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.
20．(2023·全国·高一课时练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)若______，，求实数a的取值范围．
21．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.
(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；
(2)请利用函数的对称性的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）
22．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，利用函数图象解决下列问题．
(1)若，试比较与的大小．
(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：，，．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．
专题08 函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值
考点预测：
1.单调性与最大（小）值
（1）增函数
设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
（2）减函数
设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
（3）单调性、单调区间、单调函数
如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.
如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.
（4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：
= 1 \* GB3 ①设值：设，且 ；
= 2 \* GB3 ②作差： ；
= 3 \* GB3 ③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底；
= 4 \* GB3 ④判断符号，得出函数的单调性.
（5）函数的最大值与最小值
= 1 \* GB3 ①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足:
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我们称M是函数的最大值.
= 2 \* GB3 ②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足:
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我们称是函数的最小值.
2.奇偶性
（1）偶函数
设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
关于偶函数有下面的结论：
= 1 \* GB3 ①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；
= 2 \* GB3 ②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立；
= 3 \* GB3 ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.
（2）奇函数
设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
关于奇函数有下面的结论：
= 1 \* GB3 ①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；
= 2 \* GB3 ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；
= 3 \* GB3 ③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点；
= 4 \* GB3 ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.
【典型例题】
例1．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
【解析】（1）因为在上是奇函数，
所以恒成立，即恒成立.
所以恒成立，
所以.
（2）当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的值得范围为，其中时，，
函数在上单调递增，
所以函数在上的值域为，其中当时，；
所以当时，，当时，.
（3）
因为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，
当时，
当时，令，可得
因为当，时，函数既有最大值又有最小值，
所以.
例2．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
【解析】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，
故，
故当x＞0时，．
（2）由，得，
故或．
如图所示，画出函数的图象．
由图易得的解集为（0，2），的解集为，
故不等式的解集为．
例3．(2023·全国·高一课时练习）已知“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”，可以推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”．
(1)若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数的图象是否是中心对称图形．若是，请求出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
(2)若（1）中的函数还满足当时，，求不等式的解集．
【解析】（1）取，得，所以．
取，，得，于是，
所以函数是奇函数，
所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（0，1）．
（2）设，则，故，
而，
所以在R上是增函数，
由，得，解得或．
所以不等式的解集为．
例4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
（3）因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，
由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数对任意的m，都有，且时，．
(1)求的值：
(2)证明在R上为增函数；
(3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：．
【解析】（1）令，则，所以；
（2）令，，且，则，所以，
故，所以在R上是增函数；
（3）因为在上为增函数，所以在上为增函数，
故，，
所以，
因为，，所以，
又因为，所以上述等号不成立，故．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一单元测试）已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，在上单调递减.
则由可得，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
2．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
答案：A
【解析】由函数是定义域为的偶函数，在上是单调递减的，
可知在上单调递增，
又，即2为函数的一个周期，
故在上单调递增，
故选：A
3．(2023·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为函数是奇函数，所以，
因为，所以，
当时，；
因为当时，，所以
所以.
故选：D.
4．(2023·全国·高一课时练习）已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，得函数图象的对称轴是直线，
又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，
则，解得．
故选：B.
5．(2023·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为对任意的，有，
所以当时，，
所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，
即．
故选：D．
6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】当a=0时，，不符合题意.
当a>0时，设，则函数，因为在区间上单调递减，要使函数在上单调递减，则，解得.
当a<0时，在区间上为增函数，要使函数在上单调递减，则，解得a<0.
综上，a的取值范围为.故B，C，D错误.
故选：A.
7．(2023·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506B．506C．2022D．2024
答案：B
【解析】函数，
令，
因为，
所以为奇函数，
又在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，
所以的最大值为，最小值为，
所以，则t＝506．
故选：B
8．(2023·全国·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，在上单调递减，又为偶函数，
，，，解得：或，
的解集为.
故选：D.
二、多选题
9．(2023·江苏·高一单元测试）下列说法不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
答案：ABC
【解析】函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；
当是奇函数时，可能无意义，比如，故B不正确；
因为是增函数，所以，解得，故C不正确；
因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故D正确.
故选：ABC.
10．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数为奇函数
D．是函数图象的对称轴
答案：ACD
【解析】.
对A，若，则，故A正确；
对B，若，无奇偶性，故B错误；
对C，若，则，故C正确；
对D，若，
所以，
得，故正确.
故选：ACD
11．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则在上单调递减B．若，无最大值，也无最小值
C．若，则D．若，则
答案：ABC
【解析】若，则且，
，，
则，故在上单调递减，故A正确；
若，则当且趋于时，趋于；当且趋于时，
趋于，故无最大值，也无最小值，故B正确；
若，则当时，，故，
即，故C正确；
若，举反例：，则，故.
事实上，当时，，故D错误.
故选：ABC
12．(2023·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．在区间上有最大值
D．的解集为
答案：ABD
【解析】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；
对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；
对于C选项，任取，x2∈R，且，则，，
所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；
对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.
故选：ABD．
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．
答案：
【解析】解析的图象如图所示，由图易得使的x的取值集合为．
故答案为：.
14．(2023·全国·高一专题练习）对于三个数字a，b，c，用表示这三个数中最小数，例如， ．如果，则的取值范围是_________.
答案：．
【解析】由题意，如果，
可得不等式组，解得，即实数的取值范围是．
故答案为：．
15．(2023·全国·高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．
答案：
【解析】，，
令，，依题意，，，
而函数是二次项系数为正的二次函数，因此有，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
16．(2023·全国·高一单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
答案：
【解析】由题意，的定义域为，
所以的定义域为，则，解得．
又是上的减函数，
所以奇函数在上单调递减．
由，得，
所以，即，解得．
综上，．
故答案为：．
四、解答题
17．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明.
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），
当时，，定义域为R，此时，
所以为奇函数，
当时，定义域为，且，
所以为奇函数，
综上：为奇函数.
（2）,
即，在上恒成立，
整理为在上恒成立，
令，
当时，，
所以，
故实数的取值范围为.
18．(2023·天津南开·高一期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.
(1)求f（0）；
(2)证明：函数y=f（x）是奇函数；
(3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数.
【解析】（1）因为对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），
所以令a=b=0，得f（0）=0.
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），
得f（x-x）=f（x）+f（-x）.
即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函数y=f（x）是奇函数.
（3）设x1>x2，则x1-x2>0，f（x1-x2）<0
而f（a+b）=f（a）+f（b），
∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）∴函数y=f（x）是R上的减函数.
19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，且 .
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.
【解析】（1）因为，
所以，所以.
（2）函数在上单调递增，证明如下：
任取，且，
所以，
因为，所以
所以，即，
所以在上单调递增.
20．(2023·全国·高一课时练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)若______，，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，，
∴函数在区间上的值域为．
（2）方案一：选条件①．
由题意，得．
若，即，则函数在区间上单调递增，
∴，解得，
又，∴a＝4．
若，即，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，
解得，∴．
若，即，则函数在区间上单调递减，
∴，
解得，又，∴a＝－4．
综上所述，实数a的取值范围为．
方案二：选条件②．
∵，，
∴，
∵函数的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得．
∴或，解得或，
∴．
故实数a的取值范围为．
21．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.
(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；
(2)请利用函数的对称性的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）
【解析】（1）设的图象的对称中心为，则为奇函数，
所以，即，
所以，
即，
整理得，（对函数定义域内的任意都成立），
所以，解得，
所以函数的图象的对称中心为；
（2）由（1）知函数图象的对称中心为，
所以，
则，
又，所以；
（3）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数，或函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是.
22．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，利用函数图象解决下列问题．
(1)若，试比较与的大小．
(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：，，．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．
【解析】（1）由的图象，如下图所示．
由图知：当时，．
（2）具有较好的保值性，
由的图象知：的值域是．
当时，趋向，不符合题意；
当时，要使值域为，则，
所以m，n是方程的两个根，解得m＝1，n＝2，
所以保值区间是；
当时，要使值域为，则，解得m＝1或m＝2，
所以保值区间是，．
综上，具有较好的保值性，保值区间是，，．
1.单调性与最大（小）值
（1）增函数
设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
（2）减函数
设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
（3）单调性、单调区间、单调函数
如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.
如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.
（4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：
= 1 \* GB3 ①设值：设，且 ；
= 2 \* GB3 ②作差： ；
= 3 \* GB3 ③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底；
= 4 \* GB3 ④判断符号，得出函数的单调性.
（5）函数的最大值与最小值
= 1 \* GB3 ①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足:
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我们称M是函数的最大值.
= 2 \* GB3 ②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足:
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我们称是函数的最小值.
2.奇偶性
（1）偶函数
设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
关于偶函数有下面的结论：
= 1 \* GB3 ①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；
= 2 \* GB3 ②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立；
= 3 \* GB3 ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.
（2）奇函数
设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
关于奇函数有下面的结论：
= 1 \* GB3 ①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；
= 2 \* GB3 ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；
= 3 \* GB3 ③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点；
= 4 \* GB3 ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.
【典型例题】
例1．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
例2．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
例3．(2023·全国·高一课时练习）已知“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”，可以推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”．
(1)若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数的图象是否是中心对称图形．若是，请求出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
(2)若（1）中的函数还满足当时，，求不等式的解集．
例4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数对任意的m，都有，且时，．
(1)求的值：
(2)证明在R上为增函数；
(3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一单元测试）已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
3．(2023·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高一课时练习）已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506B．506C．2022D．2024
8．(2023·全国·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·江苏·高一单元测试）下列说法不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
10．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数为奇函数
D．是函数图象的对称轴
11．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则在上单调递减B．若，无最大值，也无最小值
C．若，则D．若，则
12．(2023·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．在区间上有最大值
D．的解集为
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．
14．(2023·全国·高一专题练习）对于三个数字a，b，c，用表示这三个数中最小数，例如， ．如果，则的取值范围是_________.
15．(2023·全国·高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．
16．(2023·全国·高一单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
四、解答题
17．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明.
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
18．(2023·天津南开·高一期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.
(1)求f（0）；
(2)证明：函数y=f（x）是奇函数；
(3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数.
19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，且 .
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.
20．(2023·全国·高一课时练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)若______，，求实数a的取值范围．
21．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.
(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；
(2)请利用函数的对称性的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）
22．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，利用函数图象解决下列问题．
(1)若，试比较与的大小．
(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：，，．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．
专题08 函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值
考点预测：
1.单调性与最大（小）值
（1）增函数
设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
（2）减函数
设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
（3）单调性、单调区间、单调函数
如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.
如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.
（4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：
= 1 \* GB3 ①设值：设，且 ；
= 2 \* GB3 ②作差： ；
= 3 \* GB3 ③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底；
= 4 \* GB3 ④判断符号，得出函数的单调性.
（5）函数的最大值与最小值
= 1 \* GB3 ①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足:
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我们称M是函数的最大值.
= 2 \* GB3 ②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足:
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我们称是函数的最小值.
2.奇偶性
（1）偶函数
设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
关于偶函数有下面的结论：
= 1 \* GB3 ①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；
= 2 \* GB3 ②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立；
= 3 \* GB3 ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.
（2）奇函数
设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
关于奇函数有下面的结论：
= 1 \* GB3 ①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；
= 2 \* GB3 ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；
= 3 \* GB3 ③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点；
= 4 \* GB3 ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.
【典型例题】
例1．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
【解析】（1）因为在上是奇函数，
所以恒成立，即恒成立.
所以恒成立，
所以.
（2）当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的值得范围为，其中时，，
函数在上单调递增，
所以函数在上的值域为，其中当时，；
所以当时，，当时，.
（3）
因为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，
当时，
当时，令，可得
因为当，时，函数既有最大值又有最小值，
所以.
例2．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
【解析】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，
故，
故当x＞0时，．
（2）由，得，
故或．
如图所示，画出函数的图象．
由图易得的解集为（0，2），的解集为，
故不等式的解集为．
例3．(2023·全国·高一课时练习）已知“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”，可以推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”．
(1)若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数的图象是否是中心对称图形．若是，请求出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
(2)若（1）中的函数还满足当时，，求不等式的解集．
【解析】（1）取，得，所以．
取，，得，于是，
所以函数是奇函数，
所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（0，1）．
（2）设，则，故，
而，
所以在R上是增函数，
由，得，解得或．
所以不等式的解集为．
例4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
（3）因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，
由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数对任意的m，都有，且时，．
(1)求的值：
(2)证明在R上为增函数；
(3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：．
【解析】（1）令，则，所以；
（2）令，，且，则，所以，
故，所以在R上是增函数；
（3）因为在上为增函数，所以在上为增函数，
故，，
所以，
因为，，所以，
又因为，所以上述等号不成立，故．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一单元测试）已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，在上单调递减.
则由可得，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
2．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
答案：A
【解析】由函数是定义域为的偶函数，在上是单调递减的，
可知在上单调递增，
又，即2为函数的一个周期，
故在上单调递增，
故选：A
3．(2023·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为函数是奇函数，所以，
因为，所以，
当时，；
因为当时，，所以
所以.
故选：D.
4．(2023·全国·高一课时练习）已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，得函数图象的对称轴是直线，
又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，
则，解得．
故选：B.
5．(2023·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为对任意的，有，
所以当时，，
所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，
即．
故选：D．
6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】当a=0时，，不符合题意.
当a>0时，设，则函数，因为在区间上单调递减，要使函数在上单调递减，则，解得.
当a<0时，在区间上为增函数，要使函数在上单调递减，则，解得a<0.
综上，a的取值范围为.故B，C，D错误.
故选：A.
7．(2023·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506B．506C．2022D．2024
答案：B
【解析】函数，
令，
因为，
所以为奇函数，
又在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，
所以的最大值为，最小值为，
所以，则t＝506．
故选：B
8．(2023·全国·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，在上单调递减，又为偶函数，
，，，解得：或，
的解集为.
故选：D.
二、多选题
9．(2023·江苏·高一单元测试）下列说法不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
答案：ABC
【解析】函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；
当是奇函数时，可能无意义，比如，故B不正确；
因为是增函数，所以，解得，故C不正确；
因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故D正确.
故选：ABC.
10．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数为奇函数
D．是函数图象的对称轴
答案：ACD
【解析】.
对A，若，则，故A正确；
对B，若，无奇偶性，故B错误；
对C，若，则，故C正确；
对D，若，
所以，
得，故正确.
故选：ACD
11．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则在上单调递减B．若，无最大值，也无最小值
C．若，则D．若，则
答案：ABC
【解析】若，则且，
，，
则，故在上单调递减，故A正确；
若，则当且趋于时，趋于；当且趋于时，
趋于，故无最大值，也无最小值，故B正确；
若，则当时，，故，
即，故C正确；
若，举反例：，则，故.
事实上，当时，，故D错误.
故选：ABC
12．(2023·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．在区间上有最大值
D．的解集为
答案：ABD
【解析】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；
对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；
对于C选项，任取，x2∈R，且，则，，
所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；
对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.
故选：ABD．
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．
答案：
【解析】解析的图象如图所示，由图易得使的x的取值集合为．
故答案为：.
14．(2023·全国·高一专题练习）对于三个数字a，b，c，用表示这三个数中最小数，例如， ．如果，则的取值范围是_________.
答案：．
【解析】由题意，如果，
可得不等式组，解得，即实数的取值范围是．
故答案为：．
15．(2023·全国·高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．
答案：
【解析】，，
令，，依题意，，，
而函数是二次项系数为正的二次函数，因此有，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
16．(2023·全国·高一单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
答案：
【解析】由题意，的定义域为，
所以的定义域为，则，解得．
又是上的减函数，
所以奇函数在上单调递减．
由，得，
所以，即，解得．
综上，．
故答案为：．
四、解答题
17．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明.
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），
当时，，定义域为R，此时，
所以为奇函数，
当时，定义域为，且，
所以为奇函数，
综上：为奇函数.
（2）,
即，在上恒成立，
整理为在上恒成立，
令，
当时，，
所以，
故实数的取值范围为.
18．(2023·天津南开·高一期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.
(1)求f（0）；
(2)证明：函数y=f（x）是奇函数；
(3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数.
【解析】（1）因为对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），
所以令a=b=0，得f（0）=0.
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），
得f（x-x）=f（x）+f（-x）.
即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函数y=f（x）是奇函数.
（3）设x1>x2，则x1-x2>0，f（x1-x2）<0
而f（a+b）=f（a）+f（b），
∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）
19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，且 .
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.
【解析】（1）因为，
所以，所以.
（2）函数在上单调递增，证明如下：
任取，且，
所以，
因为，所以
所以，即，
所以在上单调递增.
20．(2023·全国·高一课时练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)若______，，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，，
∴函数在区间上的值域为．
（2）方案一：选条件①．
由题意，得．
若，即，则函数在区间上单调递增，
∴，解得，
又，∴a＝4．
若，即，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，
解得，∴．
若，即，则函数在区间上单调递减，
∴，
解得，又，∴a＝－4．
综上所述，实数a的取值范围为．
方案二：选条件②．
∵，，
∴，
∵函数的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得．
∴或，解得或，
∴．
故实数a的取值范围为．
21．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.
(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；
(2)请利用函数的对称性的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）
【解析】（1）设的图象的对称中心为，则为奇函数，
所以，即，
所以，
即，
整理得，（对函数定义域内的任意都成立），
所以，解得，
所以函数的图象的对称中心为；
（2）由（1）知函数图象的对称中心为，
所以，
则，
又，所以；
（3）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数，或函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是.
22．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，利用函数图象解决下列问题．
(1)若，试比较与的大小．
(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：，，．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．
【解析】（1）由的图象，如下图所示．
由图知：当时，．
（2）具有较好的保值性，
由的图象知：的值域是．
当时，趋向，不符合题意；
当时，要使值域为，则，
所以m，n是方程的两个根，解得m＝1，n＝2，
所以保值区间是；
当时，要使值域为，则，解得m＝1或m＝2，
所以保值区间是，．
综上，具有较好的保值性，保值区间是，，．
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