人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题11指数运算与对数运算(原卷版+解析)

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1、n次方根与分数指数幂
（1）方根
如果，那么叫做的次方根，其中，且．
= 1 \* GB3 ①当是奇数时，正数的次方根是正数，负数的方根是负数．这时，的方根用符号表示．
= 2 \* GB3 ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成（）．
负数没有偶次方根．
0的任何次方根都是0，记作．
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
关于根式有下面两个等式：
；
．
2、分数指数幂
（1）正分数指数幂
（，，，）．
0的正分数指数幂等于0．
（2）负分数指数幂
（，，，）．
0的负分数指数幂没有意义．
（3）有理数指数幂的运算性质
= 1 \* GB3 ①（，，）；
= 2 \* GB3 ②（，，）；
= 3 \* GB3 ③（，，）．
3、无理数指数幂及其运算性质
（1）无理数指数幂的概念
当是无理数时，是无理数指数幂．我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是．所以无理数指数幂（，是无理数）是一个确定的数．
（2）实数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，，均有下面的运算性质．
= 1 \* GB3 ①（，，）；
= 2 \* GB3 ②（，，）；
= 3 \* GB3 ③（，，）．
4、对数的概念
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作．
其中叫做对数的底数，叫做真数．
当，且时，．
5、两个重要的对数
（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把记为．
（2）自然对数：以（是无理数，…）为底的对数叫做自然对数，并把记作．
6、关于对数的几个结论
（1）负数和0没有对数；
（2）；
（3）．
7、对数的运算
如果，且，，，那么
（1）；
（2）；
（3）（）．
8、换底公式
（，且，，，）．
【典型例题】
例1．(2023·上海·高一期中）已知lg189＝a，18b＝5，则lg3645＝_____（用a，b表示）．
例2．(2023·上海大学附属南翔高级中学高一期中）已知，，则___________.
例3．(2023·内蒙古·阿拉善右旗第一中学高一期中）（1）计算
（2）化简：.
（3）已知，求的值.
例4．(2023·江西省莲花中学高一期中）计算下列各式
(1)；
(2)已知，求下列各式的值：
①；
②．
例5．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）计算：
(1)；
(2).
例6．(2023·江苏省洪泽中学高一期中）求下列各式的值.
(1)；
(2).
例7．(2023·上海·曹杨二中高一期中）已知、、均为正实数.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏盐城·高一期中）若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．(2023·陕西·永寿县中学高一期中）设，则下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·江苏·常州市第三中学高一期中）一个39位整数的64次方根仍是整数，这个64次方根是（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
4．(2023·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·山西·长治市第四中学校高一期末）计算：（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．(2023·江苏省江阴市第一中学高一期中）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·重庆九龙坡·高一期末）若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·江苏常州·高一期中）若，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·浙江·高一期中）下列等式不成立的是（ ）
A．（，且）B．（，且）
C．D．
10．(2023·河南·濮阳一高高一期中）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．C．D．
11．(2023·广东惠州·高一期末）若，，则（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·福建泉州·高一期末）若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．(2023·上海市新川中学高一期中）若，则___________.
14．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）______.
15．(2023·湖北黄石·高一期中）已知，若，则___________.
16．(2023·河南·三门峡市外国语高级中学高一期中）已知，则＝_____.
四、解答题
17．(2023·四川·广安二中高一期中）计算：
(1) ；
(2).
18．(2023·浙江·慈溪市浒山中学高一期中）化简下列各式：
(1)；；
(2)若.求.
19．(2023·天津河北·高一期末）计算求解
(1)
(2)已知，，求的值．
20．(2023·云南·昆明一中高一期末）已知a>0且a≠1，M>0，N>0.
(1)举出一个反例说明不成立；
(2)证明：.
21．(2023·重庆巴蜀中学高一期末）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍.
(1)求声压级S关于声压P的函数解析式；
(2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S0且a≠1，M>0，N>0.
(1)举出一个反例说明不成立；
(2)证明：.
【解析】（1）假设，
则，，
.
因为，
所以当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）
（2）令，则
，，
所以.
21．(2023·重庆巴蜀中学高一期末）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍.
(1)求声压级S关于声压P的函数解析式；
(2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S