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人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题13指数函数及其性质(原卷版+解析)
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这是一份人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题13指数函数及其性质(原卷版+解析)，共28页。
知识点一、指数函数的概念：
函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．
知识点二、指数函数的图象及性质：
知识点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
（2）当时，，；当时，．
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
①，②，③，④，则：
又即：时，（底大幂大）
时，
（2）特殊函数
，，，的图像：
【典型例题】
例1．(2023·重庆市巴川国际高级中学校高一期中）已知函数．
(1)用定义法证明在上单调递增；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
例2．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知函数是奇函数.
(1)求的值，并判断的单调性（不必说明理由）；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
例3．(2023·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数为定义域内的奇函数.
(1)求的值；
(2)设函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.
例4．(2023·山西省运城中学校高一期中）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性并用定义证明；
(3)设，求在上的最小值.
例5．(2023·重庆南开中学高一期中）已知函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对恒成立，求实数t的取值范围．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·北京二中高一阶段练习）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·重庆一中高一期中）已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·天津·南开大学附属中学高一期中）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·辽宁·育明高中高一期中）若，则（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·山东青岛·高一期中）设函数，若实数满足：，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·黑龙江·虎林市高级中学高一期中）以下命题正确的是（ ）
A．,使
B．若函数在上单调递增,则正实数的取值范围是
C．若函数的定义域为,则函数的定义域为
D．函数单调递增区间为
10．(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数B．C．D．
11．(2023·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．的值域为
C．若，则D．若，且，则
12．(2023·重庆一中高一期中）以下命题中是真命题的有（ ）
A．若定义在上的函数在是增函数，在也是增函数，则在为增函数
B．若函数是定义在上的单调递增函数，则一定在上单调递增
C．函数，则直线与的图像有1个交点
D．，都有函数在上是单调函数
三、填空题
13．(2023·河南洛阳·高一期中）若函数为奇函数，则实数a=______．
14．(2023·广东东莞·高一期中）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数恒有；（2）在上单调递增.
请写出满足条件的一个的解析式，___________.
15．(2023·安徽·淮北一中高一期中）函数的单调递增区间___________.
16．(2023·重庆市永川北山中学校高一期中）已知函数，若方程恰好有三个实数根，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
17．(2023·重庆南开中学高一期中）已知函数的图象过原点,且无限接近直线但又不与该直线相交．
(1)求函数的解析式,并画出的图象;
(2)结合图象,写出不等式的解集．
18．(2023·江苏南通·高一期中）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且.
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)求函数在区间上的最大值.
19．(2023·北京二中高一阶段练习）设函数.
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)设，若，求的取值范围.
20．(2023·河南洛阳·高一期中）已知（，且）．
(1)解关于x的不等式；
(2)若，且对，，求实数n的取值范围．
21．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）已知函数为定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)根据单调性的定义证明函数在上单调递增；
(3)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
22．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数
(1)求的解析式
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.
时图象
时图象
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤时，
时，
⑤时，
时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
专题13 指数函数及其性质
【考点预测】
知识点一、指数函数的概念：
函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．
知识点二、指数函数的图象及性质：
知识点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
（2）当时，，；当时，．
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
①，②，③，④，则：
又即：时，（底大幂大）
时，
（2）特殊函数
，，，的图像：
【典型例题】
例1．(2023·重庆市巴川国际高级中学校高一期中）已知函数．
(1)用定义法证明在上单调递增；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），任取实数，且，；，根据指数函数性质，，又，，，即，根据单调性的定义可得，在上单调递增.
（2），为上的奇函数，
由得：，
由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；
当时，，在上恒成立；令，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.
例2．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知函数是奇函数.
(1)求的值，并判断的单调性（不必说明理由）；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【解析】（1） ，
，
检验：，定义域为，
，
为奇函数，
故.
∴，
∴为增函数.
（2） ，
，
设，
因为，
即存在，使b成立，
当时，，
.
例3．(2023·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数为定义域内的奇函数.
(1)求的值；
(2)设函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，是奇函数，所以，解得，
此时，是奇函数.
故.
（2）当时，，故，则，又因为恒成立；
故当时，恒成立，符合条件.
当时，
当时，根据复合函数单调性可得在上单调递增，，
所以，
令，因为都在上单调递增，
故在单调递增，又，所以；
当时，根据复合函数单调性可得在单调递增，在单调递减，
故，所以令，
都是上的单调递增函数，故也是上的单调增函数，
又当时，，故在上恒成立，
故在无解，即不满足条件；
综上所述，.
例4．(2023·山西省运城中学校高一期中）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性并用定义证明；
(3)设，求在上的最小值.
【解析】（1）∵为奇函数，∴ ，
可得 ，此时，满足，
即函数是定义域为的奇函数，
所以函数的解析式为；
（2）在上为增函数.
证明：设为R上任意两个实数，且，
,
,∴，
∴在上为增函数.
（3）由，
可得,
令 ，
由(2)知为增函数，∵ ，∴ ，
令 ,
当 时， 在 上单调递增,故 ；
当 时，在上单调递减，在 上单调递增,
故 ；
当 时, 在上单调递减，故;
综上所述, .
例5．(2023·重庆南开中学高一期中）已知函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对恒成立，求实数t的取值范围．
【解析】（1） ，解得：．
（2），和均为单调递减函数，故为在上单调递减的函数，
又函数的定义域为，则，所以为奇函数，
即对恒成立，
整理得：对恒成立，
当时，不等式等价于对恒成立，，
当时，，
令，，
由于
所以，当时取等，∴，
综上：．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·北京二中高一阶段练习）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】当时，，因为，所以函数单调递增，
当时，，因为，所以函数单调递减．
故选：C．
2．(2023·重庆一中高一期中）已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】对于函数，令，解得，所以，
即函数恒过定点.
故选：A
3．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题意，
故选：C.
4．(2023·天津·南开大学附属中学高一期中）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，得，
，即.
故选：B
5．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题意得在上单调递增，
则，解得，
故选：C
6．(2023·辽宁·育明高中高一期中）若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由可得，
令，其中.
则由可得.
又注意到：在R上单调递增，在R上单调递减，
则在R上单调递增.
则由可得，即.
故选：C
7．(2023·山东青岛·高一期中）设函数，若实数满足：，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】作函数的图象，如图，
设，，
所以，，，
所以，，，
故，
故选：D
8．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为，
，
由，
得
因为单调递减，
所以单调递减，
又时，在上单调递减；
所以，
解得，
所以实数的取值范围为，
故选：A
二、多选题
9．(2023·黑龙江·虎林市高级中学高一期中）以下命题正确的是（ ）
A．,使
B．若函数在上单调递增,则正实数的取值范围是
C．若函数的定义域为,则函数的定义域为
D．函数单调递增区间为
答案：BD
【解析】解:由题知,关于选项A,不妨令,
单调递减,
,
,即,
,
,故选项A错误;
关于选项B,
在上单调递增,
,解得,故选项B正确;
关于选项C,
的定义域为,
则的定义域为,
解得,故选项C错误;
关于选项D,
为复合函数,
单调递减,
在上单调递减,单调递增,
在上单调递增,单调递减,故选项D正确.
故选:BD
10．(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数B．C．D．
答案：ACD
【解析】，，故A正确；
单调递增，∴，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
11．(2023·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．的值域为
C．若，则D．若，且，则
答案：AD
【解析】∵过原点，∴，∴①，
又∵时，，∴时，，
由题知图象无限接近直线，则②，
由①②知，，故A正确；
所以，，，所以B错误；
的图象如下：
由图知，在上单调递减，因为，则，
故C错误；
∵，∴为偶函数，
又∵，且， 在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，故D正确.
故选：AD.
12．(2023·重庆一中高一期中）以下命题中是真命题的有（ ）
A．若定义在上的函数在是增函数，在也是增函数，则在为增函数
B．若函数是定义在上的单调递增函数，则一定在上单调递增
C．函数，则直线与的图像有1个交点
D．，都有函数在上是单调函数
答案：BD
【解析】，显然在是增函数，在也是增函数，而在上不是增函数，所以A项错误；
因为函数是定义在上的单调递增函数，
所以，有，则，
则，
所以一定在上单调递增，B项正确；
显然0不在的定义域内，所以，与的图像没有交点，C项错误；
当时，函数在上单调递增，所以在上是单调函数；
当时，函数对称轴为，当且仅当，即时等号成立，此时可得函数在上是单调递增函数；
当时，函数对称轴为，当且仅当，即时等号成立，此时可得函数在上是单调递增函数.
综上所述，，都有函数在上是单调函数，D项正确.
故选：BD.
三、填空题
13．(2023·河南洛阳·高一期中）若函数为奇函数，则实数a=______．
答案：
【解析】因为是奇函数，所以，
即，所以，
所以.
故答案为：-1.
14．(2023·广东东莞·高一期中）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数恒有；（2）在上单调递增.
请写出满足条件的一个的解析式，___________.
答案：（答案不唯一）
【解析】根据题意，不唯一，不妨取，
因为，且是上的单调增函数，
故满足题意.
故答案为：.
15．(2023·安徽·淮北一中高一期中）函数的单调递增区间___________.
答案：
【解析】令，即，
解得，所以的定义域为，
因为在上递增，在上递减，
且在上递减，
所以的单调增区间为，
故答案为：
16．(2023·重庆市永川北山中学校高一期中）已知函数，若方程恰好有三个实数根，则实数的取值范围是__________.
答案：
【解析】
函数的图象如图所示，
因为恰好有三个实数根，
即函数与的图象有三个交点，
由图象可知，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·重庆南开中学高一期中）已知函数的图象过原点,且无限接近直线但又不与该直线相交．
(1)求函数的解析式,并画出的图象;
(2)结合图象,写出不等式的解集．
【解析】（1）解:由题知,
,
且函数无限接近直线,但又不与该直线相交
∴,即
,
,
为偶函数,只需考虑的图象,
再将的图象关于轴对称,即可得到的图象,
时,,
先将图象横坐标不变,纵坐标扩大为原来的4倍即可得到,
再将图象关于轴对称,即可得到的图象,再将图象向上平移4个单位即可得到,再将的图象去除,将图象关于轴对称,即可得到的图象,所以画图象如下所示:
（2）不妨令,
可得,
结合图象可知不等式的解集为．
18．(2023·江苏南通·高一期中）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且.
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)求函数在区间上的最大值.
【解析】（1）因为，①
所以.②
因为奇函数和偶函数，
所以.③
②+③得，.
设任意，且，
因为，所以，，
所以，所以函数在上的单调递增.
（2）因为是偶函数，且在上的单调递增，
所以在上的单调递减.
①当即时，
在上的最大值为；
②当即时，
在上的最大值为.
19．(2023·北京二中高一阶段练习）设函数.
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)设，若，求的取值范围.
【解析】（1）函数是奇函数，证明如下：
函数，，
因为，，且
所以，函数是奇函数.
（2），设，
则，
，，
而，
故，即
在R上是增函数，
若，即
，即，
已知，令
解得或，
①当时，要使，则，
②当时，此时，
要使，则；
③当时，要使，则，
综上，若，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.
20．(2023·河南洛阳·高一期中）已知（，且）．
(1)解关于x的不等式；
(2)若，且对，，求实数n的取值范围．
【解析】（1）可化为，即，
因为恒成立，故．
当，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（2）当时，因为，是减函数，
所以是减函数，又因为，
得，即．当时，不等式恒成立，，
当时，不等式两边同除以得：，
因为，当且仅当时等号成立，所以．
综上，实数n的取值范围是．
21．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）已知函数为定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)根据单调性的定义证明函数在上单调递增；
(3)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为函数为定义在上的奇函数，
所以，得，
经检验符合题意，
所以；
（2）证明：根据（1）知，
，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
（3）由（2）知，函数为上单调递增的奇函数，
，即，
即，
则，
所以对任意实数恒成立，
当时，，显然成立；
当时，，解得，
综上可知，实数的取值范围是.
22．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数
(1)求的解析式
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意，是定义在R上的奇函数，则，经检验，满足题意；
故.
（2）由得即
又，故，则；
令，，，
由题意，时，恒成立，
又都在上单调递增，故在上递增，
，故，
即实数的取值范围为.
时图象
时图象
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤时，
时，
⑤时，
时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
知识点一、指数函数的概念：
函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．
知识点二、指数函数的图象及性质：
知识点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
（2）当时，，；当时，．
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
①，②，③，④，则：
又即：时，（底大幂大）
时，
（2）特殊函数
，，，的图像：
【典型例题】
例1．(2023·重庆市巴川国际高级中学校高一期中）已知函数．
(1)用定义法证明在上单调递增；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
例2．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知函数是奇函数.
(1)求的值，并判断的单调性（不必说明理由）；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
例3．(2023·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数为定义域内的奇函数.
(1)求的值；
(2)设函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.
例4．(2023·山西省运城中学校高一期中）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性并用定义证明；
(3)设，求在上的最小值.
例5．(2023·重庆南开中学高一期中）已知函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对恒成立，求实数t的取值范围．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·北京二中高一阶段练习）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·重庆一中高一期中）已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·天津·南开大学附属中学高一期中）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·辽宁·育明高中高一期中）若，则（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·山东青岛·高一期中）设函数，若实数满足：，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·黑龙江·虎林市高级中学高一期中）以下命题正确的是（ ）
A．,使
B．若函数在上单调递增,则正实数的取值范围是
C．若函数的定义域为,则函数的定义域为
D．函数单调递增区间为
10．(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数B．C．D．
11．(2023·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．的值域为
C．若，则D．若，且，则
12．(2023·重庆一中高一期中）以下命题中是真命题的有（ ）
A．若定义在上的函数在是增函数，在也是增函数，则在为增函数
B．若函数是定义在上的单调递增函数，则一定在上单调递增
C．函数，则直线与的图像有1个交点
D．，都有函数在上是单调函数
三、填空题
13．(2023·河南洛阳·高一期中）若函数为奇函数，则实数a=______．
14．(2023·广东东莞·高一期中）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数恒有；（2）在上单调递增.
请写出满足条件的一个的解析式，___________.
15．(2023·安徽·淮北一中高一期中）函数的单调递增区间___________.
16．(2023·重庆市永川北山中学校高一期中）已知函数，若方程恰好有三个实数根，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
17．(2023·重庆南开中学高一期中）已知函数的图象过原点,且无限接近直线但又不与该直线相交．
(1)求函数的解析式,并画出的图象;
(2)结合图象,写出不等式的解集．
18．(2023·江苏南通·高一期中）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且.
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)求函数在区间上的最大值.
19．(2023·北京二中高一阶段练习）设函数.
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)设，若，求的取值范围.
20．(2023·河南洛阳·高一期中）已知（，且）．
(1)解关于x的不等式；
(2)若，且对，，求实数n的取值范围．
21．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）已知函数为定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)根据单调性的定义证明函数在上单调递增；
(3)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
22．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数
(1)求的解析式
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.
时图象
时图象
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤时，
时，
⑤时，
时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
专题13 指数函数及其性质
【考点预测】
知识点一、指数函数的概念：
函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．
知识点二、指数函数的图象及性质：
知识点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
（2）当时，，；当时，．
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
①，②，③，④，则：
又即：时，（底大幂大）
时，
（2）特殊函数
，，，的图像：
【典型例题】
例1．(2023·重庆市巴川国际高级中学校高一期中）已知函数．
(1)用定义法证明在上单调递增；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），任取实数，且，；，根据指数函数性质，，又，，，即，根据单调性的定义可得，在上单调递增.
（2），为上的奇函数，
由得：，
由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；
当时，，在上恒成立；令，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.
例2．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知函数是奇函数.
(1)求的值，并判断的单调性（不必说明理由）；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【解析】（1） ，
，
检验：，定义域为，
，
为奇函数，
故.
∴，
∴为增函数.
（2） ，
，
设，
因为，
即存在，使b成立，
当时，，
.
例3．(2023·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数为定义域内的奇函数.
(1)求的值；
(2)设函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，是奇函数，所以，解得，
此时，是奇函数.
故.
（2）当时，，故，则，又因为恒成立；
故当时，恒成立，符合条件.
当时，
当时，根据复合函数单调性可得在上单调递增，，
所以，
令，因为都在上单调递增，
故在单调递增，又，所以；
当时，根据复合函数单调性可得在单调递增，在单调递减，
故，所以令，
都是上的单调递增函数，故也是上的单调增函数，
又当时，，故在上恒成立，
故在无解，即不满足条件；
综上所述，.
例4．(2023·山西省运城中学校高一期中）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性并用定义证明；
(3)设，求在上的最小值.
【解析】（1）∵为奇函数，∴ ，
可得 ，此时，满足，
即函数是定义域为的奇函数，
所以函数的解析式为；
（2）在上为增函数.
证明：设为R上任意两个实数，且，
,
,∴，
∴在上为增函数.
（3）由，
可得,
令 ，
由(2)知为增函数，∵ ，∴ ，
令 ,
当 时， 在 上单调递增,故 ；
当 时，在上单调递减，在 上单调递增,
故 ；
当 时, 在上单调递减，故;
综上所述, .
例5．(2023·重庆南开中学高一期中）已知函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对恒成立，求实数t的取值范围．
【解析】（1） ，解得：．
（2），和均为单调递减函数，故为在上单调递减的函数，
又函数的定义域为，则，所以为奇函数，
即对恒成立，
整理得：对恒成立，
当时，不等式等价于对恒成立，，
当时，，
令，，
由于
所以，当时取等，∴，
综上：．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·北京二中高一阶段练习）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】当时，，因为，所以函数单调递增，
当时，，因为，所以函数单调递减．
故选：C．
2．(2023·重庆一中高一期中）已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】对于函数，令，解得，所以，
即函数恒过定点.
故选：A
3．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题意，
故选：C.
4．(2023·天津·南开大学附属中学高一期中）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，得，
，即.
故选：B
5．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题意得在上单调递增，
则，解得，
故选：C
6．(2023·辽宁·育明高中高一期中）若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由可得，
令，其中.
则由可得.
又注意到：在R上单调递增，在R上单调递减，
则在R上单调递增.
则由可得，即.
故选：C
7．(2023·山东青岛·高一期中）设函数，若实数满足：，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】作函数的图象，如图，
设，，
所以，，，
所以，，，
故，
故选：D
8．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为，
，
由，
得
因为单调递减，
所以单调递减，
又时，在上单调递减；
所以，
解得，
所以实数的取值范围为，
故选：A
二、多选题
9．(2023·黑龙江·虎林市高级中学高一期中）以下命题正确的是（ ）
A．,使
B．若函数在上单调递增,则正实数的取值范围是
C．若函数的定义域为,则函数的定义域为
D．函数单调递增区间为
答案：BD
【解析】解:由题知,关于选项A,不妨令,
单调递减,
,
,即,
,
,故选项A错误;
关于选项B,
在上单调递增,
,解得,故选项B正确;
关于选项C,
的定义域为,
则的定义域为,
解得,故选项C错误;
关于选项D,
为复合函数,
单调递减,
在上单调递减,单调递增,
在上单调递增,单调递减,故选项D正确.
故选:BD
10．(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数B．C．D．
答案：ACD
【解析】，，故A正确；
单调递增，∴，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
11．(2023·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．的值域为
C．若，则D．若，且，则
答案：AD
【解析】∵过原点，∴，∴①，
又∵时，，∴时，，
由题知图象无限接近直线，则②，
由①②知，，故A正确；
所以，，，所以B错误；
的图象如下：
由图知，在上单调递减，因为，则，
故C错误；
∵，∴为偶函数，
又∵，且， 在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，故D正确.
故选：AD.
12．(2023·重庆一中高一期中）以下命题中是真命题的有（ ）
A．若定义在上的函数在是增函数，在也是增函数，则在为增函数
B．若函数是定义在上的单调递增函数，则一定在上单调递增
C．函数，则直线与的图像有1个交点
D．，都有函数在上是单调函数
答案：BD
【解析】，显然在是增函数，在也是增函数，而在上不是增函数，所以A项错误；
因为函数是定义在上的单调递增函数，
所以，有，则，
则，
所以一定在上单调递增，B项正确；
显然0不在的定义域内，所以，与的图像没有交点，C项错误；
当时，函数在上单调递增，所以在上是单调函数；
当时，函数对称轴为，当且仅当，即时等号成立，此时可得函数在上是单调递增函数；
当时，函数对称轴为，当且仅当，即时等号成立，此时可得函数在上是单调递增函数.
综上所述，，都有函数在上是单调函数，D项正确.
故选：BD.
三、填空题
13．(2023·河南洛阳·高一期中）若函数为奇函数，则实数a=______．
答案：
【解析】因为是奇函数，所以，
即，所以，
所以.
故答案为：-1.
14．(2023·广东东莞·高一期中）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数恒有；（2）在上单调递增.
请写出满足条件的一个的解析式，___________.
答案：（答案不唯一）
【解析】根据题意，不唯一，不妨取，
因为，且是上的单调增函数，
故满足题意.
故答案为：.
15．(2023·安徽·淮北一中高一期中）函数的单调递增区间___________.
答案：
【解析】令，即，
解得，所以的定义域为，
因为在上递增，在上递减，
且在上递减，
所以的单调增区间为，
故答案为：
16．(2023·重庆市永川北山中学校高一期中）已知函数，若方程恰好有三个实数根，则实数的取值范围是__________.
答案：
【解析】
函数的图象如图所示，
因为恰好有三个实数根，
即函数与的图象有三个交点，
由图象可知，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·重庆南开中学高一期中）已知函数的图象过原点,且无限接近直线但又不与该直线相交．
(1)求函数的解析式,并画出的图象;
(2)结合图象,写出不等式的解集．
【解析】（1）解:由题知,
,
且函数无限接近直线,但又不与该直线相交
∴,即
,
,
为偶函数,只需考虑的图象,
再将的图象关于轴对称,即可得到的图象,
时,,
先将图象横坐标不变,纵坐标扩大为原来的4倍即可得到,
再将图象关于轴对称,即可得到的图象,再将图象向上平移4个单位即可得到,再将的图象去除,将图象关于轴对称,即可得到的图象,所以画图象如下所示:
（2）不妨令,
可得,
结合图象可知不等式的解集为．
18．(2023·江苏南通·高一期中）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且.
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)求函数在区间上的最大值.
【解析】（1）因为，①
所以.②
因为奇函数和偶函数，
所以.③
②+③得，.
设任意，且，
因为，所以，，
所以，所以函数在上的单调递增.
（2）因为是偶函数，且在上的单调递增，
所以在上的单调递减.
①当即时，
在上的最大值为；
②当即时，
在上的最大值为.
19．(2023·北京二中高一阶段练习）设函数.
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)设，若，求的取值范围.
【解析】（1）函数是奇函数，证明如下：
函数，，
因为，，且
所以，函数是奇函数.
（2），设，
则，
，，
而，
故，即
在R上是增函数，
若，即
，即，
已知，令
解得或，
①当时，要使，则，
②当时，此时，
要使，则；
③当时，要使，则，
综上，若，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.
20．(2023·河南洛阳·高一期中）已知（，且）．
(1)解关于x的不等式；
(2)若，且对，，求实数n的取值范围．
【解析】（1）可化为，即，
因为恒成立，故．
当，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（2）当时，因为，是减函数，
所以是减函数，又因为，
得，即．当时，不等式恒成立，，
当时，不等式两边同除以得：，
因为，当且仅当时等号成立，所以．
综上，实数n的取值范围是．
21．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）已知函数为定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)根据单调性的定义证明函数在上单调递增；
(3)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为函数为定义在上的奇函数，
所以，得，
经检验符合题意，
所以；
（2）证明：根据（1）知，
，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
（3）由（2）知，函数为上单调递增的奇函数，
，即，
即，
则，
所以对任意实数恒成立，
当时，，显然成立；
当时，，解得，
综上可知，实数的取值范围是.
22．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数
(1)求的解析式
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意，是定义在R上的奇函数，则，经检验，满足题意；
故.
（2）由得即
又，故，则；
令，，，
由题意，时，恒成立，
又都在上单调递增，故在上递增，
，故，
即实数的取值范围为.
时图象
时图象
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤时，
时，
⑤时，
时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
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