还剩21页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题14对数函数及其性质(原卷版+解析)
展开
这是一份人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题14对数函数及其性质(原卷版+解析)，共24页。
知识点一、对数函数的概念
1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
知识点二、对数函数的图象与性质
知识点三、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
知识点四、反函数
1、反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
2、反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典型例题】
例1．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）已知．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；
(3)求的值；
(4)证明函数在上为单调递减函数．
例2．(2023·上海市嘉定区第一中学高一阶段练习）已知函数的定义域是关于的不等式的解集
(1)求以上不等式的解集；
(2)求函数的最大值和最小值，并求出此时的值.
例3．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）（1）若函数的定义域为，求的范围；
（2）若函数的值域为，求的范围.
例4．(2023·宁夏·银川二中高一期中）已知函数，其中，均为实数.
(1)若，且的定义域为，求的取值范围；
(2)若，是否存在实数，使得在区间内单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖南·邵阳市第二中学高一期中）已知定义域为的奇函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·吉林·长春市第二实验中学高一期中）已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·广东·广州市第一中学高一期中）已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·上海·高一专题练习）函数的反函数为，则的根有（ ）个
A．B．C．D．
7．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）设满足，满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·安徽·淮北一中高一期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． 的定义域为B．为奇函数
C．在定义域上是增函数D．的值域为
10．(2023·福建·三明一中高一期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若函数是奇函数，则
B．函数的值域为，则实数的取值范围是
C．函数与的图象关于对称
D．函数与函数为同一函数
11．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数，函数满足．则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．若实数a、b满足，则
D．若函数与图象的交点为，则
12．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）已知函数，则函数的定义域为_________
14．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______.
15．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）己知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为__________．
16．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）已知，，若，，使得，则实数的最大值是______.
四、解答题
17．(2023·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）已知.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并加以说明；
(3)求使的的取值范围.
18．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.
19．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）设函数.
(1)解方程；
(2)设不等式的解集为，求函数的值域.
20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．
21．（2023·福建省漳州第一中学高一开学考试）已知函数是的反函数，当时，函数，（）的最小值为．
（1）求的函数表达式；
（2）是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在求出、的值，若不存在，请说明理由．
22．(2023·上海·高一专题练习）已知函数，.
(1)如果，求函数的值域；
(2)求函数的最大值；
(3)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，
专题14 对数函数及其性质
【考点预测】
知识点一、对数函数的概念
1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
知识点二、对数函数的图象与性质
知识点三、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
知识点四、反函数
1、反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
2、反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典型例题】
例1．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）已知．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；
(3)求的值；
(4)证明函数在上为单调递减函数．
【解析】（1）由题意,解得,
定义域为；
（2）是偶函数：
证明：，所以是偶函数；
（3）；
（4）设，
，
∵，所以，，，
∴，即，
∴函数在上为单调递减函数．
例2．(2023·上海市嘉定区第一中学高一阶段练习）已知函数的定义域是关于的不等式的解集
(1)求以上不等式的解集；
(2)求函数的最大值和最小值，并求出此时的值.
【解析】（1）由可得，
即，则，即，
所以 ，即的解集为.
（2）因为，
令 ，则 ，
当即时，，即取得最小值；
当或即或时，，即取得最大值；
例3．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）（1）若函数的定义域为，求的范围；
（2）若函数的值域为，求的范围.
【解析】（1）的定义域为，对恒成立；
当时，不等式变为，即，不合题意；
当时，若恒成立，则，解得：；
综上所述：实数的取值范围为；
（2）设的值域为，
的值域为，；
当时，，则，满足题意；
当时，若，则，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
例4．(2023·宁夏·银川二中高一期中）已知函数，其中，均为实数.
(1)若，且的定义域为，求的取值范围；
(2)若，是否存在实数，使得在区间内单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）当时，的定义域为,
则，解得：；
（2）当时，，
函数拆分成内外层函数，，，若函数在区间内单调递增，则内层函数在上单调递减，并且，
当时，在上单调递减，并且，满足条件，
当时，需满足下列条件
则，解得：,
综上可知存在实数，的取值范围是.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由得，
解得，
的开口向下，对称轴为，
函数在上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知，的增区间为.
故选：D
2．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，
因此，，，
，，，即，
故选：C．
3．(2023·湖南·邵阳市第二中学高一期中）已知定义域为的奇函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为，
所以，时，；当时，；
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，时，；时，；时，.
所以，的解集为.
故选：B
4．(2023·吉林·长春市第二实验中学高一期中）已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为R，
因此函数在上的取值集合包含，
当时，函数在上的值为常数，不符合要求，
当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求，
于是得，函数在上单调递增，取值集合是，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
5．(2023·广东·广州市第一中学高一期中）已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】对任意的，存在，使得，则，
因为当时，单调递增，所以，
又因为当时，单调递减，所以，
所以由解得，
故选：A.
6．(2023·上海·高一专题练习）函数的反函数为，则的根有（ ）个
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，则.
①当时，，令，解得；
②当时，，令，解得.
因此，方程的根有个.
故选：D.
7．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）设满足，满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】根据题意，
令，则，
即，
因为函数在上单调递增，
又满足，
所以，
所以，
即，
所以.
故选：D.
8．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】设，
由题意得：在上恒成立，
且由复合函数单调性“同增异减”原则可知：
函数在上单调递减，
则有，解得：.
故选：A
二、多选题
9．(2023·安徽·淮北一中高一期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． 的定义域为B．为奇函数
C．在定义域上是增函数D．的值域为
答案：ABC
【解析】的定义域为，
又，
所以为奇函数，故AB正确；
，因为 在为增函数，
由复合函数的单调性可知在定义域上单调递增，故C正确.
因为函数定义域为.
时，
故
的值域为，故D错误.
故选：ABC.
10．(2023·福建·三明一中高一期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若函数是奇函数，则
B．函数的值域为，则实数的取值范围是
C．函数与的图象关于对称
D．函数与函数为同一函数
答案：BC
【解析】是奇函数，且在原点有定义，则，比如是奇函数，则无意义，故A错误，
的值域为,则能够取遍所有的正数，当满足题意，当 ，则 且 ，故 ，因此 ，故B正确，
函数与互为反函数，故其图象关于对称，C正确，
由于函数，，两函数的对应关系不一样，故不是同一函数，D错误，
故选：BC
11．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数，函数满足．则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．若实数a、b满足，则
D．若函数与图象的交点为，则
答案：ABC
【解析】对于A选项，由函数，函数定义域为R，则
所以
，所以，故A选项正确.
对于B选项，因为满足，的图象关于点成中心对称.故B选项正确.
对于C选项，设，则，则为奇函数，由函数单调性的性质可知，当时，单调递增，所以在R上为增函数，则也为R上的增函数，因为实数a、b满足，且，则，即，所以，即.故C选项正确.
对于D选项，由，，的图象关于点成中心对称，的图象也关于点成中心对称，令，则，因为函数与图象的交点为，不妨设，由对称性可知，，所以，则.故D选项错误.
故选：ABC
12．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【解析】由题意得，且，则，
故，故A错误，
对于B，，而，故，故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D正确，
故选：CD
三、填空题
13．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）已知函数，则函数的定义域为_________
答案：
【解析】因为，所以，解得，即的定义域为，
对于，则，解得，
所以的定义域为.
故答案为：
14．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______.
答案：
【解析】在上单调递增，，解得：，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
15．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）己知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为__________．
答案：
【解析】因为函数是偶函数，关于轴对称，向左平移1个单位后得函数，函数关于直线对称，因为函数在区间内单调递减，，所以函数在区间单调递增，且,
不等式等价于，即，解得：或；
或，即 ，解集为；
综上可知，不等式的解集为.
故答案为：
16．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）已知，，若，，使得，则实数的最大值是______.
答案：
【解析】，，使得，；
在上单调递减，；
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，；
，解得：，则实数的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）已知.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并加以说明；
(3)求使的的取值范围.
【解析】（1）由题意得函数要有意义则：
故的定义域为.
（2）为奇函数，理由如下：
由（1）知的定义域关于原点对称，
由,
所以
故函数是奇函数．
（3）由>0可得，
所以，
即
解得，
故求使>0的的取值范围是(0,1).
18．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）
由，即
计算可得或
或
故解集为：或；
（2）令，则，原式可化为在上恒成立，
记函数在上单调递增，
，故的取值范围是.
19．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）设函数.
(1)解方程；
(2)设不等式的解集为，求函数的值域.
【解析】（1）
，
由得，解得或，
所以或.
所以方程的解是或；
（2）由得，即，解得，，
，
令，所以，
则为开口向上对称轴为的抛物线，
因为，所以，
所以函数的值域为.
20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由的值域为R，可得能取内的一切值，
故函数的图象与x轴有公共点，
所以，解得或．
故实数m的取值范围为．
（2）因为在内单调递增，
所以在内单调递减且恒正，
所以，解得．
故实数m的取值范围为．
21．（2023·福建省漳州第一中学高一开学考试）已知函数是的反函数，当时，函数，（）的最小值为．
（1）求的函数表达式；
（2）是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在求出、的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为函数是的反函数，
所以，
则，
令，则,，
所以，对称轴为，
①当时，的最小值为；
②当时，在,上单调递增，所以的最小值；
③当时，在,上单调递减，所以的最小值为．
综上所述，；
（2）当时， ，
故当时，为单调递减函数，
所以在,上的值域为,，
则，
两式相减可得，，
因为，所以，
将代入方程中求解，无实数根，
故不存在实数，使得函数的定义域为，，值域为，．
22．(2023·上海·高一专题练习）已知函数，.
(1)如果，求函数的值域；
(2)求函数的最大值；
(3)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），令，，，
则．
当时，取得最大值为，当时，函数取得最小值为，
的值域为．
（2）函数，
，
当时，，．
当时，，．
即
当时，最大值为1；当时，．
综上：当时，取到最大值为1．
（3）对任意，不等式恒成立，
即．
，，对一切恒成立．
当时，．
当，，在上是减函数，，．
综上所述，的取值范围为．
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，
知识点一、对数函数的概念
1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
知识点二、对数函数的图象与性质
知识点三、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
知识点四、反函数
1、反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
2、反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典型例题】
例1．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）已知．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；
(3)求的值；
(4)证明函数在上为单调递减函数．
例2．(2023·上海市嘉定区第一中学高一阶段练习）已知函数的定义域是关于的不等式的解集
(1)求以上不等式的解集；
(2)求函数的最大值和最小值，并求出此时的值.
例3．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）（1）若函数的定义域为，求的范围；
（2）若函数的值域为，求的范围.
例4．(2023·宁夏·银川二中高一期中）已知函数，其中，均为实数.
(1)若，且的定义域为，求的取值范围；
(2)若，是否存在实数，使得在区间内单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖南·邵阳市第二中学高一期中）已知定义域为的奇函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·吉林·长春市第二实验中学高一期中）已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·广东·广州市第一中学高一期中）已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·上海·高一专题练习）函数的反函数为，则的根有（ ）个
A．B．C．D．
7．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）设满足，满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·安徽·淮北一中高一期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． 的定义域为B．为奇函数
C．在定义域上是增函数D．的值域为
10．(2023·福建·三明一中高一期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若函数是奇函数，则
B．函数的值域为，则实数的取值范围是
C．函数与的图象关于对称
D．函数与函数为同一函数
11．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数，函数满足．则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．若实数a、b满足，则
D．若函数与图象的交点为，则
12．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）已知函数，则函数的定义域为_________
14．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______.
15．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）己知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为__________．
16．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）已知，，若，，使得，则实数的最大值是______.
四、解答题
17．(2023·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）已知.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并加以说明；
(3)求使的的取值范围.
18．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.
19．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）设函数.
(1)解方程；
(2)设不等式的解集为，求函数的值域.
20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．
21．（2023·福建省漳州第一中学高一开学考试）已知函数是的反函数，当时，函数，（）的最小值为．
（1）求的函数表达式；
（2）是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在求出、的值，若不存在，请说明理由．
22．(2023·上海·高一专题练习）已知函数，.
(1)如果，求函数的值域；
(2)求函数的最大值；
(3)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，
专题14 对数函数及其性质
【考点预测】
知识点一、对数函数的概念
1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
知识点二、对数函数的图象与性质
知识点三、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
知识点四、反函数
1、反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
2、反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典型例题】
例1．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）已知．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；
(3)求的值；
(4)证明函数在上为单调递减函数．
【解析】（1）由题意,解得,
定义域为；
（2）是偶函数：
证明：，所以是偶函数；
（3）；
（4）设，
，
∵，所以，，，
∴，即，
∴函数在上为单调递减函数．
例2．(2023·上海市嘉定区第一中学高一阶段练习）已知函数的定义域是关于的不等式的解集
(1)求以上不等式的解集；
(2)求函数的最大值和最小值，并求出此时的值.
【解析】（1）由可得，
即，则，即，
所以 ，即的解集为.
（2）因为，
令 ，则 ，
当即时，，即取得最小值；
当或即或时，，即取得最大值；
例3．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）（1）若函数的定义域为，求的范围；
（2）若函数的值域为，求的范围.
【解析】（1）的定义域为，对恒成立；
当时，不等式变为，即，不合题意；
当时，若恒成立，则，解得：；
综上所述：实数的取值范围为；
（2）设的值域为，
的值域为，；
当时，，则，满足题意；
当时，若，则，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
例4．(2023·宁夏·银川二中高一期中）已知函数，其中，均为实数.
(1)若，且的定义域为，求的取值范围；
(2)若，是否存在实数，使得在区间内单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）当时，的定义域为,
则，解得：；
（2）当时，，
函数拆分成内外层函数，，，若函数在区间内单调递增，则内层函数在上单调递减，并且，
当时，在上单调递减，并且，满足条件，
当时，需满足下列条件
则，解得：,
综上可知存在实数，的取值范围是.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由得，
解得，
的开口向下，对称轴为，
函数在上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知，的增区间为.
故选：D
2．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，
因此，，，
，，，即，
故选：C．
3．(2023·湖南·邵阳市第二中学高一期中）已知定义域为的奇函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为，
所以，时，；当时，；
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，时，；时，；时，.
所以，的解集为.
故选：B
4．(2023·吉林·长春市第二实验中学高一期中）已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为R，
因此函数在上的取值集合包含，
当时，函数在上的值为常数，不符合要求，
当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求，
于是得，函数在上单调递增，取值集合是，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
5．(2023·广东·广州市第一中学高一期中）已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】对任意的，存在，使得，则，
因为当时，单调递增，所以，
又因为当时，单调递减，所以，
所以由解得，
故选：A.
6．(2023·上海·高一专题练习）函数的反函数为，则的根有（ ）个
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，则.
①当时，，令，解得；
②当时，，令，解得.
因此，方程的根有个.
故选：D.
7．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）设满足，满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】根据题意，
令，则，
即，
因为函数在上单调递增，
又满足，
所以，
所以，
即，
所以.
故选：D.
8．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】设，
由题意得：在上恒成立，
且由复合函数单调性“同增异减”原则可知：
函数在上单调递减，
则有，解得：.
故选：A
二、多选题
9．(2023·安徽·淮北一中高一期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． 的定义域为B．为奇函数
C．在定义域上是增函数D．的值域为
答案：ABC
【解析】的定义域为，
又，
所以为奇函数，故AB正确；
，因为 在为增函数，
由复合函数的单调性可知在定义域上单调递增，故C正确.
因为函数定义域为.
时，
故
的值域为，故D错误.
故选：ABC.
10．(2023·福建·三明一中高一期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若函数是奇函数，则
B．函数的值域为，则实数的取值范围是
C．函数与的图象关于对称
D．函数与函数为同一函数
答案：BC
【解析】是奇函数，且在原点有定义，则，比如是奇函数，则无意义，故A错误，
的值域为,则能够取遍所有的正数，当满足题意，当 ，则 且 ，故 ，因此 ，故B正确，
函数与互为反函数，故其图象关于对称，C正确，
由于函数，，两函数的对应关系不一样，故不是同一函数，D错误，
故选：BC
11．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数，函数满足．则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．若实数a、b满足，则
D．若函数与图象的交点为，则
答案：ABC
【解析】对于A选项，由函数，函数定义域为R，则
所以
，所以，故A选项正确.
对于B选项，因为满足，的图象关于点成中心对称.故B选项正确.
对于C选项，设，则，则为奇函数，由函数单调性的性质可知，当时，单调递增，所以在R上为增函数，则也为R上的增函数，因为实数a、b满足，且，则，即，所以，即.故C选项正确.
对于D选项，由，，的图象关于点成中心对称，的图象也关于点成中心对称，令，则，因为函数与图象的交点为，不妨设，由对称性可知，，所以，则.故D选项错误.
故选：ABC
12．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【解析】由题意得，且，则，
故，故A错误，
对于B，，而，故，故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D正确，
故选：CD
三、填空题
13．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）已知函数，则函数的定义域为_________
答案：
【解析】因为，所以，解得，即的定义域为，
对于，则，解得，
所以的定义域为.
故答案为：
14．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______.
答案：
【解析】在上单调递增，，解得：，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
15．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）己知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为__________．
答案：
【解析】因为函数是偶函数，关于轴对称，向左平移1个单位后得函数，函数关于直线对称，因为函数在区间内单调递减，，所以函数在区间单调递增，且,
不等式等价于，即，解得：或；
或，即 ，解集为；
综上可知，不等式的解集为.
故答案为：
16．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）已知，，若，，使得，则实数的最大值是______.
答案：
【解析】，，使得，；
在上单调递减，；
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，；
，解得：，则实数的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）已知.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并加以说明；
(3)求使的的取值范围.
【解析】（1）由题意得函数要有意义则：
故的定义域为.
（2）为奇函数，理由如下：
由（1）知的定义域关于原点对称，
由,
所以
故函数是奇函数．
（3）由>0可得，
所以，
即
解得，
故求使>0的的取值范围是(0,1).
18．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）
由，即
计算可得或
或
故解集为：或；
（2）令，则，原式可化为在上恒成立，
记函数在上单调递增，
，故的取值范围是.
19．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）设函数.
(1)解方程；
(2)设不等式的解集为，求函数的值域.
【解析】（1）
，
由得，解得或，
所以或.
所以方程的解是或；
（2）由得，即，解得，，
，
令，所以，
则为开口向上对称轴为的抛物线，
因为，所以，
所以函数的值域为.
20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由的值域为R，可得能取内的一切值，
故函数的图象与x轴有公共点，
所以，解得或．
故实数m的取值范围为．
（2）因为在内单调递增，
所以在内单调递减且恒正，
所以，解得．
故实数m的取值范围为．
21．（2023·福建省漳州第一中学高一开学考试）已知函数是的反函数，当时，函数，（）的最小值为．
（1）求的函数表达式；
（2）是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在求出、的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为函数是的反函数，
所以，
则，
令，则,，
所以，对称轴为，
①当时，的最小值为；
②当时，在,上单调递增，所以的最小值；
③当时，在,上单调递减，所以的最小值为．
综上所述，；
（2）当时， ，
故当时，为单调递减函数，
所以在,上的值域为,，
则，
两式相减可得，，
因为，所以，
将代入方程中求解，无实数根，
故不存在实数，使得函数的定义域为，，值域为，．
22．(2023·上海·高一专题练习）已知函数，.
(1)如果，求函数的值域；
(2)求函数的最大值；
(3)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），令，，，
则．
当时，取得最大值为，当时，函数取得最小值为，
的值域为．
（2）函数，
，
当时，，．
当时，，．
即
当时，最大值为1；当时，．
综上：当时，取到最大值为1．
（3）对任意，不等式恒成立，
即．
，，对一切恒成立．
当时，．
当，，在上是减函数，，．
综上所述，的取值范围为．
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，
相关试卷
人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题07函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数(原卷版+解析)： 这是一份人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题07函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了函数的概念，区间，函数的三要素，函数的相等，函数的表示方法，分段函数等内容，欢迎下载使用。
人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题06含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题(原卷版+解析)： 这是一份人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题06含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了一元二次不等式等内容，欢迎下载使用。
人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题05利用基本不等式求最值(原卷版+解析)： 这是一份人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题05利用基本不等式求最值(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了重要不等式，基本不等式，与基本不等式相关的不等式，利用基本不等式求最值等内容，欢迎下载使用。
