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人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题16三角函数的概念及诱导公式(原卷版+解析)
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这是一份人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题16三角函数的概念及诱导公式(原卷版+解析)，共28页。
1、任意角
（1）角的概念
（2）正角、负角、零角
（3）象限角
（4）终边相同的角
2、弧度制
（1）弧度的概念
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么
．
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）弧度与角度的换算
（3）关于扇形的几个公式
设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③．
3、三角函数的概念
（1）三角函数的定义
一般地，任意给定一个角，它的终边 与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；
把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）．
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数 ，；
余弦函数 ，；
正切函数 ，（）．
设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为．
可以证明：；；．
（2）几个特殊角的三角函数值
，，，的三角函数值如下表所示：
（3）三角函数值的符号
（4）诱导公式（一）
终边相同的角的同一三角函数值相等．
，
，
，
其中．
4、同角三角函数间的基本关系
（1）平方关系
．
（2）商数关系
．
作用：
（1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；
（2）化简三角函数式；
（3）证明三角函数恒等式．
5、诱导公式
（1） 公式二
，
，
．
（2）公式三
，
，
．
（3）公式四
，
，
．
小结：
（1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．
（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
（4） 公式五
，
．
（5）公式六
，
．
小结：
，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．
【典型例题】
例1．(2023·湖北宜昌·高一期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．
例2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
例3．(2023·广东深圳·高一期末）如图，动点P，Q从点出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间､相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长.
例4．(2023·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
例5．(2023·广西·桂林市临桂区五通中学高一期中）
(1)化简：；
(2)已知角的终边经过点，求，的值；
例6．(2023·江西省万载中学高一期中）（1）化简：
（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山东东营·高一期中）若是锐角，则，是（ ）
A．第一象限角B．第三象限角
C．第一象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角
2．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·上海·华师大二附中高一期中）设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．(2023·黑龙江大庆·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·河南南阳·高一期中）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·广西南宁·高一期末）化简：（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·福建厦门·高一期末）如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（ ）
A．-1B．C．D．
二、多选题
9．(2023·山东东营·高一期中）在平面直角坐标系中，角的始边为 的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．若为钝角，则
10．(2023·辽宁·东北育才学校高一期中）下列四个选项，正确的有（ ）
A．在第三象限，则是第二象限角
B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
C．若角的终边经过点，则
D．
11．(2023·山东济宁·高一期末）（多选）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·黑龙江·大庆实验中学高一期中）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A．若，B．若，则
C．若，则D．若为第二象限角，则
三、填空题
13．(2023·重庆八中高一期末）如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.
14．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知角 ， 则 _______________________．
15．(2023·安徽·砀山中学高一期中）已知，则______．
16．(2023·辽宁·东北育才学校高一期中）若，，且，则的最大值为______．
四、解答题
17．(2023·广西梧州·高一期中）已知扇形的周长为30．
(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;
(2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 .
18．(2023·新疆喀什·高一期末）已知，且为第二象限角
(1)求的值；
(2)求的值.
19．(2023·山东东营·高一期中）已知角满足
(1)若角是第三象限角，求的值;
(2)若，求的值.
20．(2023·上海市光明中学高一期中）（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由.
（2）若，，求的值.
21．(2023·陕西·榆林市第一中学高一期中（理））已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
22．(2023·北京顺义·高一期末）在平面直角坐标系中，角（）和角（）的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
函 数
不存在
不存在
专题16 三角函数的概念及诱导公式
【考点预测】
1、任意角
（1）角的概念
（2）正角、负角、零角
（3）象限角
（4）终边相同的角
2、弧度制
（1）弧度的概念
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么
．
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）弧度与角度的换算
（3）关于扇形的几个公式
设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③．
3、三角函数的概念
（1）三角函数的定义
一般地，任意给定一个角，它的终边 与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；
把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）．
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数 ，；
余弦函数 ，；
正切函数 ，（）．
设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为．
可以证明：；；．
（2）几个特殊角的三角函数值
，，，的三角函数值如下表所示：
（3）三角函数值的符号
（4）诱导公式（一）
终边相同的角的同一三角函数值相等．
，
，
，
其中．
4、同角三角函数间的基本关系
（1）平方关系
．
（2）商数关系
．
作用：
（1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；
（2）化简三角函数式；
（3）证明三角函数恒等式．
5、诱导公式
（1） 公式二
，
，
．
（2）公式三
，
，
．
（3）公式四
，
，
．
小结：
（1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．
（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
（4） 公式五
，
．
（5）公式六
，
．
小结：
，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．
【典型例题】
例1．(2023·湖北宜昌·高一期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．
【解析】(1)根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，
，
．
(2)依据题意，可知，
化简得：，，
当，．
∴当时，y的值最大，且最大值为．
例2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】(1)因为，且，则为第三象限角，故，
因此，.
(2)原式.
例3．(2023·广东深圳·高一期末）如图，动点P，Q从点出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间､相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长.
【解析】设、第一次相遇时所用的时间是秒，
则．
（秒，即第一次相遇的时间为4秒；
设第一次相遇点为，第一次相遇时点已运动到终边在的位置，
则，
．
点的坐标为，
点走过的弧长为，
点走过的弧长为．
例4．(2023·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
【解析】（1）由知
原式=
（2）
又
原式===
例5．(2023·广西·桂林市临桂区五通中学高一期中）
(1)化简：；
(2)已知角的终边经过点，求，的值；
【解析】（1）.
（2）因为角的终边经过点，所以，
所以，.
例6．(2023·江西省万载中学高一期中）（1）化简：
（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.
【解析】（1）原式；
（2）因为，所以函数的周期为6，
，，，
，，；
由于，
所以＋＋＋…＋.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山东东营·高一期中）若是锐角，则，是（ ）
A．第一象限角B．第三象限角
C．第一象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角
答案：C
【解析】是锐角，，，当k为奇数时，为第三象限角；当k为偶数时，为第一象限角.所以为第一象限角或第三象限角.
故选:C.
2．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设半径为，所以．所以，所以弧长．
故选：A．
3．(2023·上海·华师大二附中高一期中）设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：C
【解析】为第二象限角，，
；
当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；
为第一或第三象限角；
，，为第三象限角.
故选：C.
4．(2023·黑龙江大庆·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，且，所以，
所以，
故选：A
5．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
故选：B
6．(2023·河南南阳·高一期中）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，
所以，
因为，所以且，
所以，即，
所以，
所以；
故选：A
7．(2023·广西南宁·高一期末）化简：（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】,
故选：D
8．(2023·福建厦门·高一期末）如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（ ）
A．-1B．C．D．
答案：C
【解析】设单位圆与轴正半轴的交点为，则，所以，，故.
故选：C
二、多选题
9．(2023·山东东营·高一期中）在平面直角坐标系中，角的始边为 的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．若为钝角，则
答案：CD
【解析】因为角终边经过点，
则
对于 ：，故错误；
对于：，故错误；
对于：，故正确；
对于：因为当，单调递减，而，即，所以，故正确.
故选：CD.
10．(2023·辽宁·东北育才学校高一期中）下列四个选项，正确的有（ ）
A．在第三象限，则是第二象限角
B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
C．若角的终边经过点，则
D．
答案：ABD
【解析】对A：由题可得，则属于第二或者第四象限；
，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上；故属于第二象限，A正确；
对B：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角对的弧长为，
则，，解得，又，即，解得，B正确；
对C：根据题意可得，故C错误；
对D：因为，，故，
故，D正确.
故选：ABD.
11．(2023·山东济宁·高一期末）（多选）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】因为①，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正确．，所以②，故D正确．由①②，得，，故B正确．，故C错误．
故选：ABD．
12．(2023·黑龙江·大庆实验中学高一期中）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A．若，B．若，则
C．若，则D．若为第二象限角，则
答案：AB
【解析】对于A选项：，，故A正确；
对于B选项：，则，故B正确；
对于C选项：∵范围不确定，∴的符号不确定，故C错误；
对于D选项：为第二象限角， ,,故D错误.
故选：AB.
三、填空题
13．(2023·重庆八中高一期末）如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.
答案：
【解析】根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，
设，
因为弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，
所以，
所以阴影部分的面积为
所以弧田的面积是.
故答案为：
14．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知角 ， 则 _______________________．
答案：
【解析】由题意得：，
故角是第三象限角，则 ，
故，
故答案为：
15．(2023·安徽·砀山中学高一期中）已知，则______．
答案：【解析】因为，
所以
，
故答案为：
16．(2023·辽宁·东北育才学校高一期中）若，，且，则的最大值为______．
答案：
【解析】由，
得，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·广西梧州·高一期中）已知扇形的周长为30．
(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;
(2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 .
【解析】（1）由题知扇形的半径，扇形的周长为30，
∴，
∴，，.
（2）设扇形的圆心角，弧长，半径为，则，
∴，
∴
当且仅当，即取等号，
所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为.
18．(2023·新疆喀什·高一期末）已知，且为第二象限角
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】(1)因为sin ＝ ，所以，且是第二象限角，
所以cs＝，
从而
(2)原式＝
19．(2023·山东东营·高一期中）已知角满足
(1)若角是第三象限角，求的值;
(2)若，求的值.
【解析】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或
因为角是第三象限角，所以，，
（2），
当角是第一象限角时，，
当角是第三象限角时，，
20．(2023·上海市光明中学高一期中）（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由.
（2）若，，求的值.
【解析】（1）假设存在实数，使，，
因为是第二象限角，
所以，，解得，
又，即，解得，
与矛盾，故不存在实数满足题意；
（2）因为，所以，
，
．
．
21．(2023·陕西·榆林市第一中学高一期中（理））已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】(1)把平方后得，，可得，
可得，由，可得，，有．
由，有．
(2)由（1）有，①，解得，可得．
②，解得，可得．
22．(2023·北京顺义·高一期末）在平面直角坐标系中，角（）和角（）的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【解析】(1)因为在平面直角坐标系中, 角，的顶点均与坐标原点重合，终边分别与单位圆交于两点，且两点的纵坐标分别为，，
又因为，，
根据三角函数的定义得：，，
所以，，
所以，.
(2)
函 数
不存在
不存在
1、任意角
（1）角的概念
（2）正角、负角、零角
（3）象限角
（4）终边相同的角
2、弧度制
（1）弧度的概念
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么
．
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）弧度与角度的换算
（3）关于扇形的几个公式
设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③．
3、三角函数的概念
（1）三角函数的定义
一般地，任意给定一个角，它的终边 与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；
把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）．
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数 ，；
余弦函数 ，；
正切函数 ，（）．
设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为．
可以证明：；；．
（2）几个特殊角的三角函数值
，，，的三角函数值如下表所示：
（3）三角函数值的符号
（4）诱导公式（一）
终边相同的角的同一三角函数值相等．
，
，
，
其中．
4、同角三角函数间的基本关系
（1）平方关系
．
（2）商数关系
．
作用：
（1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；
（2）化简三角函数式；
（3）证明三角函数恒等式．
5、诱导公式
（1） 公式二
，
，
．
（2）公式三
，
，
．
（3）公式四
，
，
．
小结：
（1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．
（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
（4） 公式五
，
．
（5）公式六
，
．
小结：
，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．
【典型例题】
例1．(2023·湖北宜昌·高一期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．
例2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
例3．(2023·广东深圳·高一期末）如图，动点P，Q从点出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间､相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长.
例4．(2023·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
例5．(2023·广西·桂林市临桂区五通中学高一期中）
(1)化简：；
(2)已知角的终边经过点，求，的值；
例6．(2023·江西省万载中学高一期中）（1）化简：
（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山东东营·高一期中）若是锐角，则，是（ ）
A．第一象限角B．第三象限角
C．第一象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角
2．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·上海·华师大二附中高一期中）设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．(2023·黑龙江大庆·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·河南南阳·高一期中）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·广西南宁·高一期末）化简：（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·福建厦门·高一期末）如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（ ）
A．-1B．C．D．
二、多选题
9．(2023·山东东营·高一期中）在平面直角坐标系中，角的始边为 的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．若为钝角，则
10．(2023·辽宁·东北育才学校高一期中）下列四个选项，正确的有（ ）
A．在第三象限，则是第二象限角
B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
C．若角的终边经过点，则
D．
11．(2023·山东济宁·高一期末）（多选）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·黑龙江·大庆实验中学高一期中）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A．若，B．若，则
C．若，则D．若为第二象限角，则
三、填空题
13．(2023·重庆八中高一期末）如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.
14．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知角 ， 则 _______________________．
15．(2023·安徽·砀山中学高一期中）已知，则______．
16．(2023·辽宁·东北育才学校高一期中）若，，且，则的最大值为______．
四、解答题
17．(2023·广西梧州·高一期中）已知扇形的周长为30．
(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;
(2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 .
18．(2023·新疆喀什·高一期末）已知，且为第二象限角
(1)求的值；
(2)求的值.
19．(2023·山东东营·高一期中）已知角满足
(1)若角是第三象限角，求的值;
(2)若，求的值.
20．(2023·上海市光明中学高一期中）（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由.
（2）若，，求的值.
21．(2023·陕西·榆林市第一中学高一期中（理））已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
22．(2023·北京顺义·高一期末）在平面直角坐标系中，角（）和角（）的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
函 数
不存在
不存在
专题16 三角函数的概念及诱导公式
【考点预测】
1、任意角
（1）角的概念
（2）正角、负角、零角
（3）象限角
（4）终边相同的角
2、弧度制
（1）弧度的概念
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么
．
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）弧度与角度的换算
（3）关于扇形的几个公式
设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③．
3、三角函数的概念
（1）三角函数的定义
一般地，任意给定一个角，它的终边 与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；
把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）．
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数 ，；
余弦函数 ，；
正切函数 ，（）．
设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为．
可以证明：；；．
（2）几个特殊角的三角函数值
，，，的三角函数值如下表所示：
（3）三角函数值的符号
（4）诱导公式（一）
终边相同的角的同一三角函数值相等．
，
，
，
其中．
4、同角三角函数间的基本关系
（1）平方关系
．
（2）商数关系
．
作用：
（1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；
（2）化简三角函数式；
（3）证明三角函数恒等式．
5、诱导公式
（1） 公式二
，
，
．
（2）公式三
，
，
．
（3）公式四
，
，
．
小结：
（1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．
（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
（4） 公式五
，
．
（5）公式六
，
．
小结：
，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．
【典型例题】
例1．(2023·湖北宜昌·高一期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．
【解析】(1)根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，
，
．
(2)依据题意，可知，
化简得：，，
当，．
∴当时，y的值最大，且最大值为．
例2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】(1)因为，且，则为第三象限角，故，
因此，.
(2)原式.
例3．(2023·广东深圳·高一期末）如图，动点P，Q从点出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间､相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长.
【解析】设、第一次相遇时所用的时间是秒，
则．
（秒，即第一次相遇的时间为4秒；
设第一次相遇点为，第一次相遇时点已运动到终边在的位置，
则，
．
点的坐标为，
点走过的弧长为，
点走过的弧长为．
例4．(2023·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
【解析】（1）由知
原式=
（2）
又
原式===
例5．(2023·广西·桂林市临桂区五通中学高一期中）
(1)化简：；
(2)已知角的终边经过点，求，的值；
【解析】（1）.
（2）因为角的终边经过点，所以，
所以，.
例6．(2023·江西省万载中学高一期中）（1）化简：
（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.
【解析】（1）原式；
（2）因为，所以函数的周期为6，
，，，
，，；
由于，
所以＋＋＋…＋.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山东东营·高一期中）若是锐角，则，是（ ）
A．第一象限角B．第三象限角
C．第一象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角
答案：C
【解析】是锐角，，，当k为奇数时，为第三象限角；当k为偶数时，为第一象限角.所以为第一象限角或第三象限角.
故选:C.
2．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设半径为，所以．所以，所以弧长．
故选：A．
3．(2023·上海·华师大二附中高一期中）设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：C
【解析】为第二象限角，，
；
当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；
为第一或第三象限角；
，，为第三象限角.
故选：C.
4．(2023·黑龙江大庆·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，且，所以，
所以，
故选：A
5．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
故选：B
6．(2023·河南南阳·高一期中）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，
所以，
因为，所以且，
所以，即，
所以，
所以；
故选：A
7．(2023·广西南宁·高一期末）化简：（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】,
故选：D
8．(2023·福建厦门·高一期末）如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（ ）
A．-1B．C．D．
答案：C
【解析】设单位圆与轴正半轴的交点为，则，所以，，故.
故选：C
二、多选题
9．(2023·山东东营·高一期中）在平面直角坐标系中，角的始边为 的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．若为钝角，则
答案：CD
【解析】因为角终边经过点，
则
对于 ：，故错误；
对于：，故错误；
对于：，故正确；
对于：因为当，单调递减，而，即，所以，故正确.
故选：CD.
10．(2023·辽宁·东北育才学校高一期中）下列四个选项，正确的有（ ）
A．在第三象限，则是第二象限角
B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
C．若角的终边经过点，则
D．
答案：ABD
【解析】对A：由题可得，则属于第二或者第四象限；
，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上；故属于第二象限，A正确；
对B：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角对的弧长为，
则，，解得，又，即，解得，B正确；
对C：根据题意可得，故C错误；
对D：因为，，故，
故，D正确.
故选：ABD.
11．(2023·山东济宁·高一期末）（多选）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】因为①，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正确．，所以②，故D正确．由①②，得，，故B正确．，故C错误．
故选：ABD．
12．(2023·黑龙江·大庆实验中学高一期中）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A．若，B．若，则
C．若，则D．若为第二象限角，则
答案：AB
【解析】对于A选项：，，故A正确；
对于B选项：，则，故B正确；
对于C选项：∵范围不确定，∴的符号不确定，故C错误；
对于D选项：为第二象限角， ,,故D错误.
故选：AB.
三、填空题
13．(2023·重庆八中高一期末）如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.
答案：
【解析】根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，
设，
因为弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，
所以，
所以阴影部分的面积为
所以弧田的面积是.
故答案为：
14．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知角 ， 则 _______________________．
答案：
【解析】由题意得：，
故角是第三象限角，则 ，
故，
故答案为：
15．(2023·安徽·砀山中学高一期中）已知，则______．
答案：【解析】因为，
所以
，
故答案为：
16．(2023·辽宁·东北育才学校高一期中）若，，且，则的最大值为______．
答案：
【解析】由，
得，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·广西梧州·高一期中）已知扇形的周长为30．
(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;
(2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 .
【解析】（1）由题知扇形的半径，扇形的周长为30，
∴，
∴，，.
（2）设扇形的圆心角，弧长，半径为，则，
∴，
∴
当且仅当，即取等号，
所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为.
18．(2023·新疆喀什·高一期末）已知，且为第二象限角
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】(1)因为sin ＝ ，所以，且是第二象限角，
所以cs＝，
从而
(2)原式＝
19．(2023·山东东营·高一期中）已知角满足
(1)若角是第三象限角，求的值;
(2)若，求的值.
【解析】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或
因为角是第三象限角，所以，，
（2），
当角是第一象限角时，，
当角是第三象限角时，，
20．(2023·上海市光明中学高一期中）（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由.
（2）若，，求的值.
【解析】（1）假设存在实数，使，，
因为是第二象限角，
所以，，解得，
又，即，解得，
与矛盾，故不存在实数满足题意；
（2）因为，所以，
，
．
．
21．(2023·陕西·榆林市第一中学高一期中（理））已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】(1)把平方后得，，可得，
可得，由，可得，，有．
由，有．
(2)由（1）有，①，解得，可得．
②，解得，可得．
22．(2023·北京顺义·高一期末）在平面直角坐标系中，角（）和角（）的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【解析】(1)因为在平面直角坐标系中, 角，的顶点均与坐标原点重合，终边分别与单位圆交于两点，且两点的纵坐标分别为，，
又因为，，
根据三角函数的定义得：，，
所以，，
所以，.
(2)
函 数
不存在
不存在
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