2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点05基本不等式(精练)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点05基本不等式(精练)(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了利用基本不等式比较大小，利用基本不等式求最值，与基本不等式有关的参数问题，基本不等式的实际应用，基本不等式的综合应用等内容，欢迎下载使用。
练习一 利用基本不等式比较大小
1、(2023·全国·高三专题练习（理））若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2、(2023·四川攀枝花·三模（理））已知，，设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
3、【多选】(2023·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4、【多选】(2023·山东淄博·模拟预测）已知，则a，b满足（ ）
A．B．C．D．
5、【多选】(2023·全国·高三专题练习）设a，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，且，则
6、(2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））设a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
(2023·全国·高三专题练习）已知：，求证：.
练习二 利用基本不等式求最值
1、(2023·河南驻马店）已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（ ）
A．B．C．D．3
2、(2023·吉林·模拟预测（理））已知，则的最小值是______．
3、(2023·全国·高三专题练习）若a>0，则a＋eq \f(8,2a＋1)的最小值为________
4、(2023·全国·高三专题练习）已知00，那么a2＋eq \f(1,ba－b)的最小值为________。
(2023·天津南开·二模）已知，，则的最大值是________．
练习三 与基本不等式有关的参数问题
1、(2023·上海·二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________.
2、(2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3、(2023·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10B．12C．16D．9
4、(2023·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
5、(2023·全国·高三专题练习）若，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6、(2023·全国·高三专题练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7、【多选】(2023·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
8、(2023·全国·高三专题练习）“”是“关于的不等式（）有解”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
练习四 基本不等式的实际应用
1、(2023·上海市实验学校高三阶段练习）某工厂的产值第二年比第一年的增长率是，第三年比第二年的增长率是，而这两年的平均增长率为，在为定值的情况下，的最大值为___________（用､表示）
2、(2023·全国·高三专题练习）蕲春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T（秒）＝路段长×，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为___________秒.
3、(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）如图，某街道拟设立一占地面积为平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．
(1)设采样点长边为米，采样点及周围通道的总占地面积为平方米，试建立关于的函数关系式，并指明定义域；
(2)当时，试求的最小值，并指出取到最小值时的取值．
4、(2023·全国·高三专题练习）杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．
练习五 基本不等式的综合应用
1、(2023·上海市实验学校模拟预测）已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为_____．
2、【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知，当时，，则（ ）
A．，B．
C．D．
3、(2023·湖南·模拟预测）已知为锐角，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4、(2023·山东滨州·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，成等差数列，则的面积的最大值为__________．
5、(2023·全国·高三专题练习）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为( )
A．2B．3C．D．
6、(2023·江苏盐城·三模）已知平面凸四边形ABCD，点E、F分别在AD、BC上，满足，，且，与的夹角为，设，，则的最大值为__________．
7、(2023·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））已知等差数列的前n项和为，满足，且，则的最大值为___________.
8、(2023·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在m，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9、(2023·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））设为等比数列的前n项和，已知，，若存在，使得成立，则m的最小值为___．
10、(2023·全国·高三专题练习）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
第5练 基本不等式
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
练习一 利用基本不等式比较大小
1、(2023·全国·高三专题练习（理））若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】取满足，且，此时，A错误；
取满足，且，此时，B错误；
可得，C正确；
取满足，且，此时，D错误.
故选：C.
2、(2023·四川攀枝花·三模（理））已知，，设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【解析】依题意得，，，
，
由基本不等式得：，
又为单调递增函数
即，
故选：D.
3、【多选】(2023·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于A：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以成立.故A正确；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号.
所以成立.故B正确；
对于C：因为，所以，所以.
记，则，所以，所以
，即.故C错误；
对于D：因为所以.故D错误.
故选：AB
4、【多选】(2023·山东淄博·模拟预测）已知，则a，b满足（ ）
A．B．C．D．
【解析】由，则,则
所以，所以选项A不正确.
,所以选项B不正确.
由，因为，故等号不成立，则，故选项C正确.
因为，故等号不成立，故选项D正确.
故选：CD
5、【多选】(2023·全国·高三专题练习）设a，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，且，则
【解析】对于A：因为，所以，
因为在上单减，所以.故A错误；
对于B：因为，所以.故B正确；
对于C：因为，所以.
记函数.
因为为增函数，为减函数，所以为增函数，所以.故C正确.
对于D：取满足，且，但是.故D错误.
故选：BC
6、(2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））设a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
【解析】(1)因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
即，当且仅当时，等号成立.
(2)因为,
所以，当且仅当时，等号成立，
即，即，
所以，当且仅当时，等号成立.
7、(2023·全国·高三专题练习）已知：，求证：.
【解析】，两边平方得，
根据基本不等式有，
将上述个不等式相加得，
即，
所以，
整理得，
当且仅当时等号成立.
练习二 利用基本不等式求最值
1、(2023·河南驻马店）已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（ ）
A．B．C．D．3
【解析】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C
2、(2023·吉林·模拟预测（理））已知，则的最小值是______．
【解析】，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是6.
故答案为：6
3、(2023·全国·高三专题练习）若a>0，则a＋eq \f(8,2a＋1)的最小值为________
【解析】由题意可知a＋eq \f(8,2a＋1)＝a＋eq \f(1,2)＋eq \f(4,a＋\f(1,2))－eq \f(1,2)≥2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))×\f(4,a＋\f(1,2)))－eq \f(1,2)＝eq \f(7,2)，当且仅当a＋eq \f(1,2)＝eq \f(4,a＋\f(1,2))，即a＝eq \f(3,2)时等号成立。所以a＋eq \f(8,2a＋1)的最小值为eq \f(7,2)。
4、(2023·全国·高三专题练习）已知00，那么a2＋eq \f(1,ba－b)的最小值为________。
【解析】 因为a>b>0，所以a－b>0，所以b(a－b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋a－b,2)))2＝eq \f(a2,4)，所以a2＋eq \f(1,ba－b)≥a2＋eq \f(4,a2)≥2eq \r(a2·\f(4,a2))＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝eq \f(4,a2)，即a＝eq \r(2)且b＝eq \f(\r(2),2)时取等号，所以a2＋eq \f(1,ba－b)的最小值为4。
19、(2023·天津南开·二模）已知，，则的最大值是________．
【解析】因为，，则，即，当且仅当是，等号成立；
又，即，当且仅当是，等号成立；
故，
则，当且仅当是，等号成立.
故答案为：.
练习三 与基本不等式有关的参数问题
1、(2023·上海·二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________.
【解析】由已知可得，，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在.
故答案为：不存在.
2、(2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】∵，∴，
∴
当且仅当，即时取等号，
∵当时，不等式恒成立，
∴只需．
∴的取值范围为：．
故选A．
3、(2023·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10B．12C．16D．9
【解析】由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，
当且仅当时取等
所以．
故选：D．
4、(2023·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【解析】因为，，则，
所以，
当且仅当即等号成立，要使不等式恒成立，所以
所以实数的最大值为8.
故选：C.
5、(2023·全国·高三专题练习）若，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】不等式恒成立，即，
，
等号成立的条件是，即，与条件联立，解得 ，
所以的最小值是8，
即，解得：.
故选：A
6、(2023·全国·高三专题练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由知，，
当且仅当时，等号成立，则使不等式有解，只需满足即可，
解得故选：C
7、【多选】(2023·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
【解析】因为，，所以，当且仅当时，等号成立．
因为．
若恒成立，则，解得．
故选：AB.
8、(2023·全国·高三专题练习）“”是“关于的不等式（）有解”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】由题意知，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以当时，的最小值为，
当时，可得关于的不等式有解成立，即充分性成立，
反之：关于的不等式有解时，不一定成立，即必要性不成立，
所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件.
故选：A.
练习四 基本不等式的实际应用
1、(2023·上海市实验学校高三阶段练习）某工厂的产值第二年比第一年的增长率是，第三年比第二年的增长率是，而这两年的平均增长率为，在为定值的情况下，的最大值为___________（用､表示）
【解析】设第一年的产值为，则第二年的产值为，第三年的产值为，
又这两年的平均增长率为，所以，
因为为定值，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以，
所以的最大值为.
故答案为：
2、(2023·全国·高三专题练习）蕲春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T（秒）＝路段长×，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为___________秒.
【解析】不妨设，
，
当且仅当时等号成立.
千米/小时米/秒
此时红灯设置时间为秒.
故答案为：
3、(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）如图，某街道拟设立一占地面积为平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．
(1)设采样点长边为米，采样点及周围通道的总占地面积为平方米，试建立关于的函数关系式，并指明定义域；
(2)当时，试求的最小值，并指出取到最小值时的取值．
【解析】(1)由题意采样点及周围通道构成的矩形的长是，宽是，
故；
(2)由（1）知，，
当时，，
当且仅当即时取等号，此时，且满足，
故此时S的最小值为，此时;
当时，令，
则，
由于时， ，故，
即单调递减，
故，此时 ，满足 ,
故S的最小值为，此时.
4、(2023·全国·高三专题练习）杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．
【解析】（1）由题意知：，
∴.
（2）由（1）知：，
∴时，单调递增，则；
时，，当且仅当时等号成立.
综上，当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大为万元.
练习五 基本不等式的综合应用
1、(2023·上海市实验学校模拟预测）已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为_____．
【解析】过定点，所以,所以
故，当且仅当 时等号成立.
故答案为：
2、【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知，当时，，则（ ）
A．，B．
C．D．
【解析】因为，且，可得，从而得到，
因为，所以，
所以，
而，（，等号不成立）
所以.
从而可知选项ACD正确.
故选：ACD
3、(2023·湖南·模拟预测）已知为锐角，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为为锐角，所以，由题意可得，当且仅当时取等号，故的最大值为，
故选：A．
4、(2023·山东滨州·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，成等差数列，则的面积的最大值为__________．
【解析】因为，，成等差数列，
所以，
由正弦定理可得，又，所以，即，
所以由余弦定理可得，即，
又，即，当且仅当时等号成立，
所以，即，
因为，所以，
所以，
所以的面积的最大值为.
故答案为：.
5、(2023·全国·高三专题练习）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为( )
A．2B．3C．D．
【解析】，
∵E、O、F三点共线，∴，
∵m>0，n>0，t>0，
∴，
当且仅当时取等号，
∴．
故选：B．
6、(2023·江苏盐城·三模）已知平面凸四边形ABCD，点E、F分别在AD、BC上，满足，，且，与的夹角为，设，，则的最大值为__________．
【解析】∵①，且②，
则①×2+②得：，
即，
∵，，∴，
两边平方可得，，
∴，解得，
当且仅当时，等号成立．
故答案为：．
7、(2023·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））已知等差数列的前n项和为，满足，且，则的最大值为___________.
【解析】∵，
，，
，当且仅当时取等号，
∴的最大值为1．
故答案为：1．
8、(2023·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在m，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设等比数列的公比为q，
前三项的和为7，则，即，解得或（舍去），
又由，得，即，得，
所以，当且仅当时，等号成立，且m，，故选：B
9、(2023·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））设为等比数列的前n项和，已知，，若存在，使得成立，则m的最小值为___．
【解析】设的公比为q，由可知，所以，
由得：，所以，
则，所以，，
由题意知存在，使得成立，
当且仅当，即时取得等号，所以，
故m的最小值为9
故答案为：9
10、(2023·全国·高三专题练习）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若直线被截得弦长为，说明圆心在直线：上，即，即，∴，
当且仅当，即时，等号成立．故选：D.