2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点05基本不等式(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点05基本不等式(精讲)(原卷版+解析)，共60页。试卷主要包含了如果，那么.，如果，,则，.，几个重要的不等式，利用基本不等式求最值，基本不等式公式推导图等内容，欢迎下载使用。
知识点1 基本不等式
1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.
证明：
推论：（）.
2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
推论：；.
a2+b2≥2ab成立的条件与a+b2≥ab成立的条件相同吗?
提示:不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而a+b2≥ab成立的条件是a>0,b>0
3、基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
◆注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．
4、几个重要的不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq \a\vs4\al(当且仅当a＝b时,等号成立.)
.
证明：由，可得，即（当且仅当时等号成立）
拓展：（6）a>0,b>0,c>0则a+b+c3≥3abc.
5、利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4)．(简记：和定积最大)
6、基本不等式公式推导图
1．（2023•乙卷）下列函数中最小值为4的是
A．B．C．D．
4．（2023•天津）已知，，则的最小值为 ．
5．（2023•上海）已知函数的最小值为5，则 ．
2．（2023•上海）下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
3．【多选】（2023•海南）已知，，且，则
A．B．
C．D．
6．（2023•天津）已知，，且，则的最小值为 ．
7．（2023•江苏）已知，则的最小值是 ．
8．（2023•上海）若，，且，则的最大值为 ．
9．（2023•天津）设，，，则的最小值为 ．
考点一 利用基本不等式比较大小
解题方略：
在利用基本不等式比较大小时，也可能要用到函数的单调性.
【例1-1】【多选】(2023·湖南·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【例1-2】(2023·全国·高三专题练习）已知，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【题组练透】
1、【多选】(2023·江苏无锡·高三期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2、【多选】(2023·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3、【多选】(2023·广东汕尾·高三期末）已知a，b都是不等于1的正实数，且a>b，00,b>0
3、基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
◆注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．
4、几个重要的不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq \a\vs4\al(当且仅当a＝b时,等号成立.)
.
证明：由，可得，即（当且仅当时等号成立）
拓展：（6）a>0,b>0,c>0则a+b+c3≥3abc.
5、利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4)．(简记：和定积最大)
6、基本不等式公式推导图
1．（2023•乙卷）下列函数中最小值为4的是
A．B．C．D．
【解析】对于，，
所以函数的最小值为3，故选项错误；
对于，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以等号取不到，
所以，故选项错误；
对于，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项正确；
对于，因为当时，，
所以函数的最小值不是4，故选项错误．
故选：．
4．（2023•天津）已知，，则的最小值为 ．
【解析】法一：，，，
当且仅当且，即时取等号，
的最小值为，
法二：，，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为，
故答案为：．
5．（2023•上海）已知函数的最小值为5，则 ．
【解析】，
所以，经检验，时等号成立．
故答案为：9．
2．（2023•上海）下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
【解析】．显然当，时，不等式不成立，故错误；
．，，，故正确；
．显然当，时，不等式不成立，故错误；
．显然当，时，不等式不成立，故错误．
故选：．
3．【多选】（2023•海南）已知，，且，则
A．B．
C．D．
【解析】①已知，，且，所以，则，故正确．
②利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，，且，所以：，，故正确．
③，故错误．
④由于，，且，
利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故正确．
故选：．
6．（2023•天津）已知，，且，则的最小值为 ．
【解析】，，且，则，
当且仅当，即，或， 取等号，
故答案为：4
7．（2023•江苏）已知，则的最小值是 ．
【解析】方法一、由，可得，
由，可得，，
则
，当且仅当，，
可得的最小值为；
方法二、，
故，
当且仅当，即，时取得等号，
可得的最小值为．
故答案为：．
8．（2023•上海）若，，且，则的最大值为 ．
【解析】，；
故答案为：
9．（2023•天津）设，，，则的最小值为 ．
【解析】，，，
则；
，，，
由基本不等式有：，
，，
故：；
（当且仅当时，即：，时，等号成立），
故的最小值为；
故答案为：．
考点一 利用基本不等式比较大小
解题方略：
在利用基本不等式比较大小时，也可能要用到函数的单调性.
【例1-1】【多选】(2023·湖南·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题设，，则(仅等号成立)，可得，
由，即，则，A正确；
由，即，B错误；
由，C正确；
由，当且仅当时等号成立，D错误；
故选：AC
【例1-2】(2023·全国·高三专题练习）已知，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由，得，，所以，
整理得，故A正确；
由，得，又，所以，故B正确.
因为，，所以，故C正确；
因为，所以，，
当且仅当时，等号成立，又，
所以，D错误．
故选：D
【题组练透】
1、【多选】(2023·江苏无锡·高三期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】，则，因为，所以，A选项正确；
因为，所以，由基本不等式得：，B选项正确；
，，C选项错误；
，，，D选项正确，
故选：ABD
2、【多选】(2023·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为，，当且仅当时等号成立，
则或，当且仅当时等号成立，
则，
当且仅当时等号成立，
则，
当且仅当时等号成立，故AC错误，D正确.
对于B选项，，
当且仅当时等号成立，故B正确.
故选：BD
3、【多选】(2023·广东汕尾·高三期末）已知a，b都是不等于1的正实数，且a>b，0b，所以，故B正确．
函数，因为，所以在是减函数，
因为a>b，所以，故C错．
，当且仅当时取等号，
又，所以，故D正确．
故选：BD
考点二 利用基本不等式求最值
解题方略：
直接法
①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型.
积，和和平方和三者之间的不等式关系：
②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，求最值时要求"一正、二定、三相等".
③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．
④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．
【例2-1】(2023·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（ ）
A．2B．1C．D．
【解析】∵，，
∴，即，当且仅当时等号成立，
∴．
故选：D．
【例2-2】(2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝4x＋eq \f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________.
【解析】因为x＞0，a＞0，所以f(x)＝4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36.
【例2-3】(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最大值4C．有最小值D．有最大值
【解析】，，
，
当且仅当，即时取等号，
有最大值.
故选：D．
【例2-4】(2023·四川·石室中学模拟预测（文））函数的最大值是（ ）
A．7B．C．9D．
【解析】由题意可得函数的定义域为，则，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以函数的最大值是，
故选：B
【题组练透】
1、(2023·安徽·高三期末（文））已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，，，则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：D.
2、(2023·江西·模拟预测（文））函数的最大值为________．
【解析】∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．
故答案为：
3、(2023·浙江绍兴·模拟预测）若直线过点，则的最大值为___________.
【解析】直线过点，则
又，设，则

由，当且仅当，即时等号成立.
所以，即
所以的最大值为，当且仅当时等号成立.
故答案为：
配凑法
将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.
(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，
“三相等”是指满足等号成立的条件.
(2)配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
(3)形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
【例2-4】(2023·全国·高三专题练习（理））函数的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【解析】因为，所以，，利用基本不等式可得
，
当且仅当即时等号成立.
故选：D.
【例2-5】(2023·全国·高三专题练习）已知x