2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点10函数的零点问题(精练)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点10函数的零点问题(精练)(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了(2023·河南焦作·一模等内容，欢迎下载使用。
题组A 基础过关练
1．(2023·安徽·安庆一中高三期末（文））函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·河南焦作·一模（理））设函数的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习（文））用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为_________．
4．(2023·全国·高三专题练习）设，则在下列区间中函数不存在零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高三专题练习）表示不超过x的最大整数，例如，．若是函数的零点，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．(2023·全国·高三专题练习）函数的零点一定位于下列哪个区间内（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：
可以判断方程的两根所在的区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
7．(2023·新疆·三模（文））函数 的零点个数为_________．
8．(2023·全国·高三专题练习）存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
9．(2023·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．（－∞，－1）D．（－∞，－1）∪
10．(2023·全国·高三专题练习（理））设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是______．
11．(2023·浙江·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
12．(2023·陕西·长安一中模拟预测（文））已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
13．(2023·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
14．(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（ ）
A．B．C．D．
15．(2023·浙江省江山中学模拟预测）已知函数当时，函数有_________个零点；记函数的最大值为，则的值域为_________．
16．(2023·江苏泰州·模拟预测）若正实数a，b满足，则函数的零点的最大值为（ ）
A．B．C．2D．3
17．(2023·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）
A．B．
C．D．
18．(2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
19.(2023·汕头质检)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))
20．(2023·重庆·三模）已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
题组B 能力提升练
21．(2023·海南省直辖县级单位·三模）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（ ）个零点
A．4B．5C．6D．7
22．(2023·全国·高三专题练习（理））设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是_________．
23．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______.
24．(2023·全国·高三专题练习（文））已知函数，当时，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
25．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
26．(2023·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
27．(2023·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数的最大值为2，若方程在区间内有四个实数根，，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
28．(2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则方程在内的所有根之和为__________.
29．(2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8B．7C．6D．5
30．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，它们的零点的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
31．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（ ）
A．B．C．D．
32．(2023·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
33．(2023·重庆南开中学模拟预测）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（ ）
A．B．C．D．
34．(2023·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
35．(2023·全国·东北师大附中模拟预测（理））已知为函数的零点，，，则、、的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
36．(2023·四川广安·模拟预测（文））已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（ ）
A．10B．12C．32D．33
37．(2023·河南安阳·模拟预测（理））关于函数有下述四个结论：
①的图象关于直线对称 ②在区间单调递减
③的极大值为0 ④有3个零点
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③B．①④C．②③④D．①③④
38．(2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，关于的方程有两个不同的解，（），则（ ）
A．，B．，C．D．
题组C 培优拔尖练
39．(2023·天津市新华中学高三阶段练习）已知，设函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
40．(2023·天津·南开中学模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
41．(2023·全国·高三专题练习）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
42．(2023·湖北·模拟预测）已知函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是__________.
43．(2023·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________．
44．(2023·上海·模拟预测）已知函数存在实数，且有，使得，则的最小值是________.
45．(2023·江西赣州·二模（理））若函数有零点，则a的取值范围是（ ）
A．[，]B．
C．（0，）D．（，+∞）
46．(2023·江西·南昌市八一中学三模（文））已知函数，若在存在零点，则实数值可以是（ ）
A．B．C．D．
47．(2023·河南河南·三模（理））已知函数（），若在上有零点，则实数的取值范围为______．
48．(2023·全国·二模（理））已知函数，则函数的各个零点之和为______；若方程恰有四个实根，则实数的取值范围为______．
49．(2023·全国·模拟预测（文））已知函数方程的不等实根个数不可能是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．6个
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6
-4
-6
-6
-4
6
第10练 函数的零点问题
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
题组A 基础过关练
1．(2023·安徽·安庆一中高三期末（文））函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由已知得为上的递增函数，
，，
，，
由零点存在定理可知，在区间存在零点，
故选：.
2．(2023·河南焦作·一模（理））设函数的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】易知在R上单调递增且连续．由于，，，当时，，所以．
故选：B
3．(2023·全国·高三专题练习（文））用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为_________．
【解析】，，，
所以下一个有根区间为.
故答案为：
4．(2023·全国·高三专题练习）设，则在下列区间中函数不存在零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【解析】为连续函数，，，根据零点存在性定理可知，内存在零点；，，，同理可知：区间，区间上都存在零点，区间上没有零点
故选：D
5．(2023·全国·高三专题练习）表示不超过x的最大整数，例如，．若是函数的零点，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】因为函数在定义域上连续的增函数，
且，
又∵是函数的零点，
∴，
所以，
故选：B．
6．(2023·全国·高三专题练习）函数的零点一定位于下列哪个区间内（ ）
A．B．C．D．
【解析】解不等式得或，
所以函数的定义域为，
因为，
，，，，
所以，
所以根据零点的存在性定理得在区间上必有零点，
所以函数的零点一定位于区间内.
故选：C
6．(2023·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：
可以判断方程的两根所在的区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【解析】由表格可知：，
所以，
结合零点存在性定理可知：二次函数的零点所在区间为和，所以方程的两根所在的区间是和，
故选：A.
7．(2023·新疆·三模（文））函数 的零点个数为_________．
【解析】当 时， 有一个零点 ；
当 时，，无零点，
故函数 的零点个数为1个
故答案为：1
8．(2023·全国·高三专题练习）存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【解析】令（）是增函数，，由对勾函数性质在上递减，在上递增，
所以时，，此时，因此有唯一零点，则零点为，
，时，有解，时，则，且．
综上．
故选：A．
9．(2023·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．（－∞，－1）D．（－∞，－1）∪
【解析】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；
函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，
所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，
解得a＜－1或a＞.
故选：D.
10．(2023·全国·高三专题练习（理））设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是______．
【解析】,
因为是函数的两个极值点，且，
所以是方一元二次方程的两个实根，且，
所以，即，解得.
故答案为：
11．(2023·浙江·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【解析】函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
12．(2023·陕西·长安一中模拟预测（文））已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
因为，，所以，，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由可得，因此，.
故选：A.
13．(2023·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解析】当时，
则函数的零点个数为函数与函数，的交点个数
作出两个函数的图象如下图所示，
由图可知，当时，函数的零点有两个，
当时，，即当时，函数的零点有一个.
综上，函数的零点有三个.
故选：D
14．(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（ ）
A．B．C．D．
【解析】是奇函数，且是的一个零点，
所以，把分别代入下面四个选项，
对于A，，不一定为0，故A错误；
对于B，，所以是函数的零点，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D不正确；
故选：B.
15．(2023·浙江省江山中学模拟预测）已知函数当时，函数有_________个零点；记函数的最大值为，则的值域为_________．
【解析】当时，，
当时，，则，
当时，，则，
所以当时，函数有2个零点；
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
当时，，当时，，
令，则，
如图，分别作出函数和的图象，
由图可知，函数的最大值为，
即的值域为.
故答案为：2；.
16．(2023·江苏泰州·模拟预测）若正实数a，b满足，则函数的零点的最大值为（ ）
A．B．C．2D．3
【解析】，则
则，整理得
而，当且仅当时等号成立
∴，解得：或
故选：D．
17．(2023·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于A选项，，则，由，
即，，因此，存在“自足点”，A满足条件；
对于B选项，，则，由，
可得，其中，令，则，，
所以，函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件；
对于C选项，，则，其中，
因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件；
对于D选项，，则，
由，可得，
因为，，
所以，，
所以，方程无实解，D选项不满足条件.
故选：D.
18．(2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【解析】 ,由对数函数和幂函数的性质可知，
函数在时为单调增函数，
， ，
， ，
因为在内是递增，故 ，
函数是连续函数，由零点判断定理知，的零点在区间内，
故选：B．
19.(2023·汕头质检)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))
【解析】由题意知方程ax＝x2＋1在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有实数解，即a＝x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq \f(1,x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))．所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))．故选D
20．(2023·重庆·三模）已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】当时，，因为，所以舍去；
当时，或，满足.所以或.
函数的零点个数为2个.
故选：C
题组B 能力提升练
21．(2023·海南省直辖县级单位·三模）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（ ）个零点
A．4B．5C．6D．7
【解析】的零点个数即的图象交点个数.因为为奇函数，故关于原点对称，故关于对称，又为偶函数，故关于对称，又当时，，画出图象，易得函数的图象有6个交点
故选：C
22．(2023·全国·高三专题练习（理））设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是_________．
【解析】作出函数的图象，设，如下图所示：
二次函数的图象关于直线对称，则，
由图可得，可得，解得，
所以，.
故答案为：.
23．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______.
【解析】由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为.
∴的草图如下，令且，则，，，为与的交点横坐标，
由图知：，且，
∴(注意基本不等式的等号不能取)，又，
∴：由对勾函数的单调性知，在上递增，
∴，即.
综上，的范围为.
故答案为：
24．(2023·全国·高三专题练习（文））已知函数，当时，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】当时，，作出函数的图象如下图所示：
设，
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
由，解得，
因为，因此，.
故选：B.
25．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】（1）当a0时，，
当时有一个零点，是函数的一个零点，所以当时函数只有一个零点，
令，得，或（舍去），
令，得，即不论a取大于0的何值，是函数的一个零点，
故有三个零点，
综上，实数a的取值范围是
故选: A
26．(2023·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】作出函数的图象如图：
依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，
因为必过，且，
若时，方程不可能有三个实数解，则必有，
当直线与在时相切时，
设切点坐标为，则，即，
则切线方程为，
即，
切线方程为，
且，则，所以，
即当时与在上有且仅有一个交点，
要使方程有且仅有三个的实数解，
则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，
所以，
故选：B
27．(2023·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数的最大值为2，若方程在区间内有四个实数根，，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】，由题知，且，解得，
于是．
方程在区间内的实数根，即为在区间内的图象与直线的交点的横坐标，如图所示，
令，解得，即函数的对称轴为，
由图象的对称性可知，，，
即，所以，
故选：B．
28．(2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则方程在内的所有根之和为__________.
【解析】因为，所以的图象关于直线对称，
又函数在为奇函数，且当时，，
由此画出在区间上的图象如下图所示.
，
由图可知，与图象的个交点，
其中两个关于直线对称，两个关于直线对称，
所以方程在内的所有根之和为.
故答案为：
29．(2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【解析】因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，
所以函数是周期为2的函数，
又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：
由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，
故选：A.
30．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，它们的零点的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【解析】，，
，，
，，
作出函数，，的图象及直线，由图象可得
，，，所以．
故选：B．
31．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（ ）
A．B．C．D．
【解析】令，则，得，即，
令，则，得，即，
因为函数在上为增函数，且，所以在区间存在唯一零点，且，
综上，，
故选：B
32．(2023·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】设函数，易知在上递增，
，，即，由零点存在定理可知．；
设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知，；
设函数，易知在上递减，，，因为，由函数单调性可知，，即.
故选:A．
33．(2023·重庆南开中学模拟预测）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由的图象如下：
由图知：当时，，D可能；
当时，，B可能；
当时，，A可能.
故选：C
34．(2023·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：D
35．(2023·全国·东北师大附中模拟预测（理））已知为函数的零点，，，则、、的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，，
所以，，
所以.
因为在上单增，所以.
因为为函数的零点，所以
因为为增函数，为增函数，所以为增函数，所以有且仅有一个零点a.
又，因为，所以,所以；
，因为，所以，所以；由零点存在定理，可得：.
所以，，所以.
因为在上单调递增，所以
因为，所以，而，所以.
因为在上单调递增，所以
所以.
故选：B
36．(2023·四川广安·模拟预测（文））已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（ ）
A．10B．12C．32D．33
【解析】因为，为函数的两个零点，
所以，所以或
所以，当时，，，
当时，，，
所以，.
故选：B
37．(2023·河南安阳·模拟预测（理））关于函数有下述四个结论：
①的图象关于直线对称 ②在区间单调递减
③的极大值为0 ④有3个零点
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③B．①④C．②③④D．①③④
【解析】函数的定义域为，
对于①，，则，
，的图象关于直线对称，①正确；
对于②，当时，，在单调递增，②不正确；
对于③，当时，，在单调递减，
当时，，在上单调递增，在上单调递减，
又在单调递增，因此在处取极大值，③正确；
对于④，由得：，即或，解得或，
于是得有3个零点，④正确，
所以所有正确结论的编号为①③④.
故选：D
38．(2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，关于的方程有两个不同的解，（），则（ ）
A．，B．，C．D．
【解析】设，
则有两个不同的零点，
当时，，则，
所以在单调递减，
又，，
所以；
当时，，则，
令，即，所以时，，
所以在单调递增，
又，，
所以，又，
∴，，又，
故选项A、B、C错误，选项D正确.
故选：D.
题组C 培优拔尖练
39．(2023·天津市新华中学高三阶段练习）已知，设函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因关于x的方程恰有两个互异的实数解，则有：
有两个不同的实根且无实根，
或与各有一个实根，
或无实根且有两个不同的实根，
当时，，函数为增函数，
则函数在上最多一个零点，有两个不同的实根不成立，
当函数在上有一个零点时，必有，即，此时，，
因此，当时，函数在上确有一个零点，方程必有一个实根，
当，时，，函数，
而函数对称轴，即在上单调递减，又，即在上必有一个零点，
因此，方程必有一个实根，
于是得当时，与各有一个实根，
若方程无实根，必有，
此时方程有两个不同的实根，函数在上有两个零点，
当且仅当，解得，
于是得当时，有两个不同的实根且无实根，
综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解，
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
40．(2023·天津·南开中学模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】∵，则二次函数有两个零点
若恰有两个零点，则，得
此时无零点，则，解得
则
若无零点，则，得
此时有两个零点，则，得
则
若有且仅有一个零点，则得，
或，得或，经检验不合题意
则
此时有且仅有一个零点，则，解得且
则且
综上所述：
故选：B．
41．(2023·全国·高三专题练习）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由分段函数知：时且递减；时且递增；
时，且递减；时，且递增；
∴的图象如下：有四个实数根，，，且，
由图知：时有四个实数根，且，又，
由对数函数的性质：，可得，
∴令，且，
由在上单增，可知，
所以
故选：A
42．(2023·湖北·模拟预测）已知函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是__________.
【解析】∵
，
由，可得，
∴，或，
对于函数在上单调递增，
又，
∴存在，使，即，
由，可得，
由题可得直线与有两个交点，
∵，由，可得，
∴单调递增，单调递减，
故函数，
作出函数与直线的图象，
由图可得，即，
综上，函数有3个不同的零点，实数的取值范围是.
故答案为：.
43．(2023·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________．
【解析】由已知得：恒成立，则 ，
，
由得，
由于在区间 上恰有3个零点，
故，则， ，
则,
只有当时，不等式组有解，此时，故，
故答案为：
44．(2023·上海·模拟预测）已知函数存在实数，且有，使得，则的最小值是________.
【解析】由于，则，点在直线上，
表示点与的距离的平方．
到直线距离的平方为，
，令，
，
由为增函数，当时有最小值，当且仅当时取等号．所以的最小值为.
故答案为：．
45．(2023·江西赣州·二模（理））若函数有零点，则a的取值范围是（ ）
A．[，]B．
C．（0，）D．（，+∞）
【解析】由有解，
可得，=，
因为与在[1，+∞）都是增函数，
所以在是增函数，又时，
所以当时有零点.
故选：A.
46．(2023·江西·南昌市八一中学三模（文））已知函数，若在存在零点，则实数值可以是（ ）
A．B．C．D．
【解析】根据题意，令，所以，
令，，
则函数在上存在零点等价于与的图像有交点．
，
令，，
则，故在上单调递增，
因为，，所以存在唯一的，使得，
即，即，，
所以当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
又时，，故，，所以.
故选：D．
47．(2023·河南河南·三模（理））已知函数（），若在上有零点，则实数的取值范围为______．
【解析】若，则，
令且，则，故上，上，
所以在上递增，在上递减，故；
令且，则，故上，上，
所以在上递减，在上递增，故；
要使在上有零点，只需，可得.
故答案为：
48．(2023·全国·二模（理））已知函数，则函数的各个零点之和为______；若方程恰有四个实根，则实数的取值范围为______．
【解析】当时，由，可得；
当时，由，解得或.
所以，函数的各个零点之和为.
令，当时，，当且仅当时，等号成立，
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以，函数的值域为.
作出函数的图象如下图所示：
若方程恰有四个实根，则方程在上有两个不等的实根，设为、，
由图可知，、或、或、，
作出函数在上的图象如下图所示：
由图可得或，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
49．(2023·全国·模拟预测（文））已知函数方程的不等实根个数不可能是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．6个
【解析】因为，根据题意作出的图象.函数在单调递减；在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减.
图象如下：

对于方程，
令，则，则或.
当时，与的图象有2个交点；
当时，因为，与的图象可以有0、1、2个交点.
所以方程的不等实根个数可以是2、3、4个.
故选：D.
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6
-4
-6
-6
-4
6