2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点14导数的综合应用(精练)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点14导数的综合应用(精练)(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．若函数满足则函数在处切线斜率为
B．函数在区间上存在增区间，则
C．函数在区间上有极值点，则
D．若任意，都有，则有实数的最大值为
2．已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知是奇函数并且是上的单调函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数若函数有三个零点，则（ ）
A．B．C．D．
8．若函数在恒有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，若有3个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．7B．5C．D．3
12．已知函数，若有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．已知不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
14．若方程有三个不同的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
15．若存在两个不相等的正实数x，y，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
16．已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．已知直线既是函数的图象的切线，同时也是函数的图象的切线，则函数零点个数为（ ）
A．0B．1C．0或1D．1或2
18．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．设k>0，若不等式≤0在x>0时恒成立，则k的最大值为（ ）
A．eB．eln3C．lg3eD．3
21．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
22．已知向量，函数．若对于任意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
23．已知函数有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
25．已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
26．已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
27．已知函数，，则（ ）
A．1是函数的极值点B．当时，函数取得最小值
C．当时，函数存在2个零点D．当时，函数存在2个零点
28．已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ）
A．函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减
B．函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2
C．若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为
D．若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则
29．已知a，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
30．已知函数，，则（ ）
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在唯一极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D．若，则的最大值为
三、填空题
31．已知过点P(0，a)可作出曲线y=2x3–3x2的3条不同的切线，则实数a的取值范围是_______________ .
32．已知不等式有且只有两个整数解，则实数a的范围为___________．
33．已知不等式对任意恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是___________.
34．实数x，y满足，则的值为______．
35．已知函数有三个零点，且有，则的值为________.
36．当a＞0时，若不等式恒成立，则的最小值是__________．
37．已知函数有两个极值点，若存在最小值，且满足不等式，则的取值范围为_______．
38．已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________．
四、解答题
39．已知函数（其中为参数）.
(1)求函数的单调区间：
(2)若对任意都有成立，求实数的取值集合.
40．已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当，时，，其中，证明：.
41．已知函数在时有极值0.
(1)求函数的解析式；
(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
42．已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．
43．已知函数，，是自然对数的底数．
(1)求函数的最小值；
(2)若在上恒成立，求实数的值；
(3)求证：．
第14练 导数的综合应用
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．若函数满足则函数在处切线斜率为
B．函数在区间上存在增区间，则
C．函数在区间上有极值点，则
D．若任意，都有，则有实数的最大值为
【解析】对于A，由，可知函数在处切线斜率为，故A正确；
对于B，由函数在区间上存在增区间，可知，
所以，故B正确；
对于C，由，可得，
当时，，
所以函数在区间上没有极值，故C错误；
对于D，令，则，
所以，函数单调递增，，函数单调递减，
又任意，都有，即，
故，即实数的最大值为，故D正确．
故选：C
2．已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，不妨设，
因为对任意两个不等的正实数，，都有，
所以，即，
构造函数，则，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
当时，因为，所以，
所以，实数的最小值为.
故选：B.
3．已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，
在区间上存在单调递增区间，存在，使得，即，
令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，
，故实数的取值范围为．
故选：D
4．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为函数与函数的图象关于x轴对称，
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，
所以．
故选：A．
5．已知是奇函数并且是上的单调函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为是奇函数并且是上的单调函数，
所以问题等价于方程在上有三个不同的实数解，
即函数的图象与直线有三个不同的交点，
由，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以 的极大值为 ，极小值为，
的取值范围为，
故选：C
6．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】
设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，
设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，结合图像知，即.
故选：D.
7．已知函数若函数有三个零点，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】要使函数有三个解，则与有三个交点，
当时，，则，可得在上递减，在递增，
∴时，有最小值，且时，；
当时，；当时，；
当时，单调递增；
∴图象如下，要使函数有三个零点，则，
故选：D．
8．若函数在恒有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】当时，令，则，，
设，
则，
时，，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
由此可得大致图象如下图所示，
在恒有个零点等价于与恒有个交点，
，解得：，的取值范围为.
故选：A.
9．已知函数，若有3个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，
令，令，
所以函数在单调递增，在单调递减.
所以.
令有三个零点.作出函数和的图象如图所示，
所以a的取值范围为.
故选：B
10．若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】设切点为，
由，故切线方程为，
因为在切线上，所以代入切线方程得，
则关于t的方程有三个不同的实数根，
令，则或，
所以当，时，，为增函数，
当时，，为减函数，
且时，，时，，
所以只需，解得
故选：A
11．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．7B．5C．D．3
【解析】因为，所以，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，，，，
所以当时，，
因为，所以在区间上单调递减，
所以当时，，
因为对任意，总存在，使得成立，所以，即，
所以实数的最大值为3，
故选：D
12．已知函数，若有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，当时，，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以且，
当时，可得，
所以函数的图象如图所示，
又由有三个不同的零点，即函数和的图象有三个公共点，
结合图象，可得实数的取值范围.
故选：C.
13．已知不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题设，可知：，问题转化为在上恒成立，
令，则，
当时，即递增；
当时，即递减；
所以，故.
故选：B
14．若方程有三个不同的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，令，解得或，
则随的变化如下表
则当时，函数有极大值；当时，函数有极小值，
又当时，，当时，，
所以当时，有三个不同的实数根，此时，
故选:B.
15．若存在两个不相等的正实数x，y，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因，令，
则存在两个不相等的正实数x，y，使得，即存在垂直于y轴的直线与函数的图象有两个公共点，
，，而，当时，，函数在上单调递增，
则垂直于y轴的直线与函数的图象最多只有1个公共点，不符合要求，
当时，由得，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，
令，，令，则，即在上单调递增，
，即，在上单调递增，则有当时，，
，而函数在上单调递增，取，则，
而，因此，存在垂直于y轴的直线()，与函数的图象有两个公共点，
所以实数m的取值范围是.
故选：D
16．已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】，
因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有，解得.
因为不等式恒成立，
所以恒成立.
，
设，
，故在上单调递增，
故，所以.
因此实数t的取值范围是.
故选：A
17．已知直线既是函数的图象的切线，同时也是函数的图象的切线，则函数零点个数为（ ）
A．0B．1C．0或1D．1或2
【解析】设是函数图象的切点，
则，∴（1）
又（2），
将（1）代入（2）消去整理得：，∴，
设是函数的切点，
据题意，又
故，
令，，
∴，
故，在定义域上为增函数，
又，故，
故，
∴，在上是增函数
当时，；当时，；
由零点存在性定理可得，g(x)存在唯一一个
函数零点个数是1，
故选：B．
18．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】依题意，，，
令，求导得：，时，，即在上单调递增，
当时，，，
若，有，于是得，，
令，求导得，则在上单调递增，
，，因此，，
当时，，，符合题意，则，
所以a的取值范围是.
故选：A
19．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题设，且，由有两个极值点，
∴令，则在上有两个不等的实根，，
∴，，且，得.
又，且，
∴，，即，
∴，
令且，要使题设不等式恒成立，只需恒成立，
∴，即递增，故，
∴.
故选：B
20．设k>0，若不等式≤0在x>0时恒成立，则k的最大值为（ ）
A．eB．eln3C．lg3eD．3
【解析】由题意，对恒成立.容易判断，函数互为反函数，且均在上单调递增.因为与的图象关于直线对称，所以问题等价于对恒成立，即.
记，，则时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以.
于是，，即k的最大值为.
故选：B.
21．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】当时，不等式在上恒成立不会成立，
故 ，
当 时， ，此时不等式恒成立；
不等式在上恒成立,
即在上恒成立,
而即，
设 ，当 时，，
故是增函数，
则即，故，
设，
当 时，， 递增，
当 时，， 递减，
故 ，则 ，
综合以上，实数的取值范围是 ，
故选：B
22．已知向量，函数．若对于任意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得，则，
当时，恒成立，
所以在上为增函数，
不妨设，则，
因为，
所以等价于，
即，
令，，
所以可知在上为减函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，
所以在上为减函数，
所以，所以，
故选：B
23．已知函数有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】①当时，，，令，则，故为增函数，故，故，即当时，为增函数.
②当时，，，令，则为减函数，故，即，为减函数.
综上有在上单调递减，在上单调递增.且当趋近于和正无穷大时，趋近于正无穷大.故要函数有两个零点，则只需满足，解得.
故选：A
24．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】等价于．
令函数，则，故是增函数．
等价于，即．
令函数，则．
当时，，单调递增：当时，，单调递减．
.
故实数a的取值范围为．
故选：C.
25．已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由，得，，
因为与关于直线对称，
在同一坐标系下，画出，，，的图象，
如图所示：
则，，，关于对称.
所以，，故B错误.
因为，，，所以，故A错误.
因为，，在上为增函数，
，，所以.
又因为点在直线上，且，所以.
，故C正确.
因为，所以，
设，，在为增函数.
所以，
即，，故D错误.
故选：C
26．已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】令，由，可得，
则问题转化为直线与曲线有三个交点.
当时，，则，则函数在上单调递减，
当时，，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，.
作出直线与函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线有三个交点.
故选：B.
二、多选题
27．已知函数，，则（ ）
A．1是函数的极值点B．当时，函数取得最小值
C．当时，函数存在2个零点D．当时，函数存在2个零点
【解析】，令可得，
当时，；当时，，
故为的极大值点，故A正确.
又在上为增函数，在上为减函数，
故当时，函数取得最大值，故B错误.
当时，，
又，
而，故且，
令，则，
故在上为减函数，故，
由零点存在定理及的单调性可得有两个不同的零点，故D正确.
而当时，当时，恒成立，故在最多有一个零点，
故C错误.
故选：AD
28．已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ）
A．函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减
B．函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2
C．若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为
D．若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则
【解析】设，则，
所以在上递增，又，又，
则存在，当时，，递减，当时，，递增，故A错误；
有，即，
所以当时，，当时，，
所以，又，则，故B正确；
易知与关于对称，
且与切于，与切于，
所以|PQ|的最小值为，故C正确；
若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则，
即对恒成立，即
令，则在上递增，
则，，所以
令，则，
当时，，当时，，
所以，所以，故D正确；
故选：BCD.
29．已知a，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】A：由，即，当且仅当时等号成立，正确；
B：由，则且，
令且，则，递减，
所以，，即成立，正确；
C： 当时，，错误；
D：由，当且仅当时等号成立，正确.
故选：ABD
30．已知函数，，则（ ）
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在唯一极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D．若，则的最大值为
【解析】对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，故函数在上无极值点，故A正确；
对于B：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则函数在上无极值点，故B错误；
对于C：由A得在上单调递增，不等式恒成立，则恒成立，故恒成立.设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故C错误；
对于D：若，则.由A，B可知函数在上单调递增，在上单调递增，∵，∴，，且，当时，，设，设，则，令，解得，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最大值为，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
31．已知过点P(0，a)可作出曲线y=2x3–3x2的3条不同的切线，则实数a的取值范围是_______________ .
【解析】函数,求导得,设切点为，
可得切线方程为，
又切线过点P(0，a)代入得，即
，由题意可得此方程有三个根，
令，，
当或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
可得函数的极大值为，极小值为，若方程有三个根即函数的图象与x轴有三个交点，只需满足，即，
故答案为：.
32．已知不等式有且只有两个整数解，则实数a的范围为___________．
【解析】整理为：，即函数在上方及线上存在两个整数点，，故显然在上单调递增，在上单调递减，且与相邻的整数点的函数值为：，，，，显然有，要恰有两个整数点，则为0和1，此时，解得：，如图
故答案为：
33．已知不等式对任意恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是___________.
【解析】由题意知，所以，则且，令，，由，可知，函数在上单调递增，在上单调递减，可求得，同理可得，所以恒成立，即.
故答案为：
34．实数x，y满足，则的值为______．
【解析】因为，所以．
显然，令，则，且，
令，则，
所以当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对，，即，当且仅当时等号成立．
综上，当且仅当时，成立，
此时，解得．
故答案为：
35．已知函数有三个零点，且有，则的值为________.
【解析】若，则，即
当时，可得，不成立，故
等式两边同除以，得
即
令，则
方程有两个不等的实根，，
令，则，令，
当时，，当或时，
即函数在上单调递减，在，上单调递增，
如下图所示
函数有三个零点，
由图可知，
故答案为：
36．当a＞0时，若不等式恒成立，则的最小值是__________．
【解析】由题意知：，由可得，即不等式恒成立，令，
易得为斜率大于0的一条直线，；，当时，单增，
当时，单减，又，要使不等式恒成立，必有的零点与的零点重合
或者在的零点左侧，如图所示：
故有，解得，当且仅当恰为在处的切线时取等，此时的图像恒在图像的下方，
即满足恒成立，即恒成立.又，故在处的切线方程为，
即时，取得最小值.
故答案为：.
37．已知函数有两个极值点，若存在最小值，且满足不等式，则的取值范围为_______．
【解析】由题，，
因为函数有两个极值点，
所以方程有两个不相等的实数根，
所以，．
不妨设，易知为极大值点，为极小值点，
若存在最小值，则，即，
因为，所以．
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
所以的取值范围为．
故答案为：．
38．已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________．
【解析】当时，，显然成立，符合题意；
当时，由，，可得，即，，
令，，在上单增，又，故，
即，即，，即使成立，令，则，
当时，单增，当时，单减，故，故；
综上：.
故答案为：.
四、解答题
39．已知函数（其中为参数）.
(1)求函数的单调区间：
(2)若对任意都有成立，求实数的取值集合.
【解析】(1)由题意得：定义域为，；
当时，，则的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，解得：；
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.
(2)当时，，不合题意；
当时，由（1）知：在上单调递减，在上单调递增，
；
若对任意都有成立，则；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
的解集为，实数的取值集合为.
40．已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当，时，，其中，证明：.
【解析】（Ⅰ）依题意，，.
当时，.
所以当时，，当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，解得或.
若，则，所以函数在上单调递增；
若，则，
所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
若，则，
所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）依题意，得，所以.
要证，即证，即证，即证,
即证，所以只需证时，成立即可.
令，则.
令，则.
所以在上单调递增.
所以，即，所以.
所以在上单调递增.所以，
所以，即.
41．已知函数在时有极值0.
(1)求函数的解析式；
(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）由可得，
因为在时有极值0，
所以，即，解得或，
当时，，
函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去.
所以常数a，b的值分别为.
所以.
（2）由（1）可知，
，
令，解得，
当或时，当时，，
的递增区间是和，单调递减区间为，
当有极大值，
当有极小值，
要使函数有三个零点，则须满足，解得.
42．已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1），则
由，可得 ，，可得
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有极大值
（2）由（1）可知，为的最大值，即
所以，即（当且仅当时等号成立）
令，则，取，则，即
则，，
由上面不等式相加得
即
即
（3）设 ，则
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以
即与的图象在 处有公共点
设函数与存在“分界线”
令
由，即在上恒成立，
即在上恒成立，
成立，而，
所以 ，则
再证明，即恒成立.
设，则
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值，即
所以恒成立.
综上所述，可得且
故函数与存在 “分界线”，此时
43．已知函数，，是自然对数的底数．
(1)求函数的最小值；
(2)若在上恒成立，求实数的值；
(3)求证：．
【解析】(1)函数的定义域为，
，
当时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以．
(2)函数，，
则，
当时，，在上单调递减，
此时存在，使得，与题设矛盾，
当时，时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，
要使在恒成立，
则，即，
又由（1）知即，（当且仅当时，等号成立）．
令有，故且，
所以．
(3)
由（1）知（当且仅当时等号成立）．
令，则，故，即，
所以
令，则；
由（2）知在上恒成立，
所以（当且仅当时等号成立）．
令，则，故，即，
所以．
令，则
综上，.


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