数学人教A版 (2019)2.2 基本不等式导学案

这是一份数学人教A版 (2019)2.2 基本不等式导学案，共11页。学案主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4)．(简记：和定积最大)
每日一练
一、单选题
1．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（ ）
A．5千米B．6千米C．7千米D．8千米
2．不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是（ ）
A．x=3 B．x=6 C．x=5 D．x=10
3．若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．已知，，，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．若，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．9D．6
8．已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（ ）
A．25B．50C．20D．
二、多选题
9．下列选项中正确的是（ ）
A．不等式恒成立
B．存在实数a，使得不等式成立
C．若a､b为正实数，则
D．若正实数x，y满足，则
10．若正实数满足，则下列说法正确的是 （ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
11．下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
12．若非负实数、满足，则下列不等式中成立的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．若正数x，y满足，则的最小值是__________．
14．已知，则的最小值为_____________．
15．已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________.
16．若，则的最小值是___________.
四、解答题
17．若，，求的值．
18．地铁给市民出行带来很多便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为．
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
19．已知a，b为正实数，且满足．证明：
（1）；
（2）
20．已知，，，证明：
（1）；
（2）.
21．已知，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
22．（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数 的最小值为？
参考答案
1．A设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费，供热费，由题意得：当时，，，所以，所以，
所以两项费用之和，当且仅当，即时等号成立，所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.
2．C当时，，等号成立的条件是 ，
，解得：
3．D对于A中，由，因为，可得，
所以，即，所以A不正确；对于B中，由，因为，可得，所以，所以B不正确；对于C中，由，可得，又由，可得，所以C不正确；对于D中，因为，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，
又因为，所以，所以D正确.
4．D因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，所以年平均利润 当且仅当时等号成立，
即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8，
5．B因为，，，所以,当且仅当时等号成立,
故选:B
6．A由题意可得，则，当且仅当，且，即，时，等号成立，所以的最小值为，
7．A解：因为正数a，b满足，所以，当且仅当，即，时取等号，
8．B由m2+n2≥2mn，得 mn≤=50，当且仅当m=n=±时等号成立.
所以mn的最大值是.
9．BCD不等式恒成立的条件是，，比如取,可知不等式不成立，故A不正确；当a为负数时，不等式成立.故B正确；
若a､b为正实数，则，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，故C正确；
若正实数x，y，则，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
10．ABDA．因为，取等号时，故正确；
B．因为，所以，取等号时，故正确；
C．因为，取等号时，故错误；
D．因为，当时取最小值为，故正确；
11．CD对于A，当时，，故A错误；对于B，，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，，当且仅当时取等号，故D正确，
12．ABD对于A选项，利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；对于B选项，，所以，，当且仅当时，等号成立，B选项正确；对于C选项，，即，当且仅当时，等号成立，C选项错误；对于D选项，，由可得，
所以，，当且仅当时，等号成立，D选项正确.
13．5由条件，两边同时除以，得到，那么等号成立的条件是，即，即.所以的最小值是5，
故答案为： 5 ．
14．，等号成立当且仅当，即.
15．由x2+xy=1，得，所以，当且仅当 时取等号.
16．因为，所以，所以，
当且仅当即时，取等号成立.故的最小值为，
17．
解：设，则，，，
①当时，，，当且仅当时取等；
②当时，，，当且仅当时取等．
综上，，当且仅当时取等号，即．
18．（1），
（2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
（1）由题意知，，为常数），
（2），，，
（6）；
（2）由，可得
，当时，，当且仅当时等号成立；
当时，，当时等号成立，
当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
（1）因为，所以（当且仅当取等号）；
（2）（当且仅当，即时等号成立），所以．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1），，
（当且仅当，即时取等号）；
（2）.
由（1）可知：，
（当且仅当时取等号）.
21．（1）最大值为；（2）最小值为5.
（1）因为所以，即当且仅当取等号.又，所以当时，的最大值为
（2）因为且.
当且仅当即取等号.又，所以当时，的最小值为5.
22．（1）；（2）1；（3）
（1），当且仅当，即时，取等号.故所求的值为.
（2）因为，所以，
则.
当且仅当，即时，取等号.
故的最大值为1.
（3）
.
当且仅当，即时，取等号.
故函数的最小值为.