高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题03复数【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题03复数【原卷版+解析】，共22页。

【热点聚焦】
复数是高考必考内容，往往有一道选择题或填空题，属于容易题.复数主要考查的方向有三个，一是复数的概念，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念；二是复数的运算；三是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算或运算与其它相结合居多．
【重点知识回眸】
1、复数的代数形式：，其中称为的实部，称为的虚部（而不是)，
2、几类特殊的复数：
（1）纯虚数： 例如：，等
（2）实数：
3、复数的运算：设
（1）
（2）
（3）
注：乘法运算可以把理解为字母，进行分配率的运算.只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算
（4）
注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是，所以不允许分母带有，那么利用平方差公式及的特点分子分母同时乘以的共轭复数即可.
4、共轭复数：， 对于而言，实部相同，虚部相反
5、复数的模： ()
6、两个复数相等：实部虚部对应相等
7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴.
8.常用结论
（1）(1±i)2＝±2i；eq \f (1＋i,1－i)＝i；eq \f (1－i,1＋i)＝－i.
（2）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
（3）z·eq \x\t(z)＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f (z1,z2)))＝eq \f (|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.
9、特别提醒：
（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为“标准”形式，即
（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用.例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等.
【典型考题解析】
热点一 复数的有关概念
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或0
【典例2】（2023·全国·高考真题（理））复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】(2023·全国·高考真题（理））设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则.
其中的真命题为
A．B．
C．D．
【典例4】（2023·江苏·高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.
【规律方法】
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(3)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝eq \x\t(z)；③z∈R⇔z2≥0.
(4)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋eq \x\t(z)＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0.
热点二 复数的运算
【典例5】(2023·全国·高考真题）（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
利用复数的乘法可求.
【详解】
，
故选：D.
【典例6】(2023·全国·高考真题（文））若．则（ ）
A．B．C．D．
【典例7】(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【典例8】（2023·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．
热点三 复数的几何意义
【典例9】（2023·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【典例10】（2023·全国·高考真题（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A．B．C．D．
【典例11】(2023·北京·高考真题（文））若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（–∞，1）B．（–∞，–1）
C．（1，+∞）D．（–1，+∞）
【典例12】（2023·全国·高考真题（理））设复数，满足，，则=__________.
【总结提升】
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．0B．1
C．D．2
2．(2023·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高考真题（文））设，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知，其中x，y是实数，是虚数单位，则=（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023·福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）若复数的共轭复数为，并满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·广西柳州·模拟预测（理））设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·山西大同·高三阶段练习）若复数z满足，其中是虚数单位，则（ ）.
A．B．C．D．
9．(2023·湖南·长沙一中高三开学考试）若复数z满足，其中是虚数单位，则的值为（ ）
A．B．2C．D．3
10．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 （为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
高三阶段练习（理））已知，若，则实数（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
12．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若复数，满足，则
C．若复数为纯虚数，则
D．若复数满足，则复数的虚部为
二、多选题
13.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若是纯虚数，那么
D．若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则
三、填空题
14．(2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
15．（2023·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
16．(2023·江苏·高考真题）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．
17．（2023·全国·高三专题练习）若为纯虚数（为虚数单位），则实数___________；
18．(2023·北京·测试学校四高三）已知复数，满足与的实部和虚部均属于，则在复平面上形成轨迹的面积为___________.
专题03 复数
【热点聚焦】
复数是高考必考内容，往往有一道选择题或填空题，属于容易题.复数主要考查的方向有三个，一是复数的概念，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念；二是复数的运算；三是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算或运算与其它相结合居多．
【重点知识回眸】
1、复数的代数形式：，其中称为的实部，称为的虚部（而不是)，
2、几类特殊的复数：
（1）纯虚数： 例如：，等
（2）实数：
3、复数的运算：设
（1）
（2）
（3）
注：乘法运算可以把理解为字母，进行分配率的运算.只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算
（4）
注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是，所以不允许分母带有，那么利用平方差公式及的特点分子分母同时乘以的共轭复数即可.
4、共轭复数：， 对于而言，实部相同，虚部相反
5、复数的模： ()
6、两个复数相等：实部虚部对应相等
7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴.
8.常用结论
（1）(1±i)2＝±2i；eq \f (1＋i,1－i)＝i；eq \f (1－i,1＋i)＝－i.
（2）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
（3）z·eq \x\t(z)＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f (z1,z2)))＝eq \f (|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.
9、特别提醒：
（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为“标准”形式，即
（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用.例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等.
【典型考题解析】
热点一 复数的有关概念
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或0
答案：A
【解析】
分析：
根据纯虚数的定义建立方程即可求出.
【详解】
因为是纯虚数，所以，解得.
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高考真题（理））复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
利用复数的除法运算求出z即可.
【详解】
因为，
所以复数的虚部为.
故选：D.
【典例3】(2023·全国·高考真题（理））设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则.
其中的真命题为
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
【详解】
令，则由得，所以，故正确；
当时，因为，而知，故不正确；
当时，满足，但，故不正确；
对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.
点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.
【典例4】（2023·江苏·高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.
答案：2.
【解析】
分析：
本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.
【详解】
，
令得.
【规律方法】
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(3)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝eq \x\t(z)；③z∈R⇔z2≥0.
(4)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋eq \x\t(z)＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0.
热点二 复数的运算
【典例5】(2023·全国·高考真题）（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
利用复数的乘法可求.
【详解】
，
故选：D.
【典例6】(2023·全国·高考真题（文））若．则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】
因为，所以，所以．
故选：D.
【典例7】(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
答案：D
【解析】
分析：
利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】
由题设有，故，故，
故选：D
【典例8】（2023·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】
设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
【总结提升】
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．
热点三 复数的几何意义
【典例9】（2023·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：A
【解析】
分析：
利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】
，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
【典例10】（2023·全国·高考真题（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则．故选C．
【典例11】(2023·北京·高考真题（文））若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（–∞，1）B．（–∞，–1）
C．（1，+∞）D．（–1，+∞）
答案：B
【解析】
【详解】
试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.
【典例12】（2023·全国·高考真题（理））设复数，满足，，则=__________.
答案：
【解析】
分析：
方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【详解】
方法一：设，，
，
，又，所以，，
.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴.
【点睛】
方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解
【总结提升】
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．0B．1
C．D．2
答案：C
【解析】
分析：
先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【详解】
因为，所以 ．
故选：C．
2．(2023·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,得,即
故选:
3．(2023·全国·高考真题（文））设，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】
因为R，，所以，解得：．
故选：A.
4．(2023·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
5．(2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知，其中x，y是实数，是虚数单位，则=（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
【解析】
分析：
根据复数的除法运算以及复数相等的条件求出即可得解.
【详解】
由，得，得，
得，得，
所以.
故选：C
6．（2023·福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）若复数的共轭复数为，并满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据除法法则计算得到，从而得到.
【详解】
因为，所以，所以
故选：A
7．(2023·广西柳州·模拟预测（理））设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据已知条件求得的值，利用复数的乘法化简可得结果.
【详解】
因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，
因此，.
故选：D.
8．（2023·山西大同·高三阶段练习）若复数z满足，其中是虚数单位，则（ ）.
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据，解得，再由复数模的定义得答案.
【详解】
由，得，所以.
故选：D.
9．(2023·湖南·长沙一中高三开学考试）若复数z满足，其中是虚数单位，则的值为（ ）
A．B．2C．D．3
答案：B
【解析】
分析：
由已知得，设，化简计算可得.
【详解】
因为，所以，故设，则，所以.
故选：B.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 （为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
答案：B
【解析】
分析：
求为纯虚数的等价条件，结合充要条件判断得解.
【详解】
当时，，所以为纯虚数；
若为纯虚数，，所以，所以或，所以“为纯虚数”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
11.(2023·江西·高三阶段练习（理））已知，若，则实数（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
答案：D
【解析】
分析：
化简后，由复数相等的条件可求出的值，从而可求出的值
【详解】
由题得，所以，
所以，，所以.
故选：D
12．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若复数，满足，则
C．若复数为纯虚数，则
D．若复数满足，则复数的虚部为
答案：D
【解析】
分析：
根据复数代数形式的运算法则计算可得.
【详解】
解：由，，，令，，
，则，，
得，，．即．故A错误．
设，，则，显然，则B错误．
设，，，，，故C错误．
由复数满足，，，
，
，则复数的虚部为，故D正确．
故选：D．
二、多选题
13.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若是纯虚数，那么
D．若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则
答案：BC
【解析】
分析：
利用复数的运算法则和几何意义即可进行判断.
【详解】
对于A，，A错误；
对于B，∵，∴；
又，∴，B正确；
对于C，∵为纯虚数，∴，解得：，C正确；
对于D，由题意得：，，∴，
∴，D错误.
故选：BC
三、填空题
14．(2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
答案：##
【解析】
分析：
根据复数代数形式的运算法则即可解出．
【详解】
．
故答案为：．
15．（2023·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
答案：3
【解析】
分析：
根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
【详解】
∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
16．(2023·江苏·高考真题）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．
答案：2
【解析】
【详解】
分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.
详解：因为，则，则的实部为.
17．（2023·全国·高三专题练习）若为纯虚数（为虚数单位），则实数___________；
答案：-1
【解析】
分析：
先利用复数的除法法则化简得到，根据为纯虚数，得到方程，求出，检验后得到答案.
【详解】
，因为为纯虚数，
所以，解得：，此时，符合要求，
故答案为：-1
18．(2023·北京·测试学校四高三）已知复数，满足与的实部和虚部均属于，则在复平面上形成轨迹的面积为___________.
答案：
【解析】
分析：
设满足要求的复数，根据复数的除法运算及题意可求得的范围及的关系式，从而可得出答案.
【详解】
解：设满足要求的复数，
则原命题即为与的实部和虚部均属于，
因此.
整理后得，
，
因此点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，
此区域面积为.
故答案为：.