高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题04常见不等式的解法【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题04常见不等式的解法【原卷版+解析】，共32页。

【热点聚焦】
所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．
【重点知识回眸】
（一）常见不等式的代数解法
1、一元二次不等式：
可考虑将左边视为一个二次函数，作出图象，再找出轴上方的部分即可——关键点：图象与轴的交点
2、高次不等式
（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于的表达式为，不等式为）
①求出的根
② 在数轴上依次标出根
③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根
④ 观察图象， 寻找轴上方的部分
寻找轴下方的部分
（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式
3、分式不等式
（1）将分母含有的表达式称为分式，即为的形式
（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即
（3）对形如的不等式，可根据符号特征得到只需 同号即可，所以将分式不等式转化为 （化商为积），进而转化为整式不等式求解
4、含有绝对值的不等式
（1）绝对值的属性：非负性
（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方
（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：
① 的解集与或的解集相同
② 的解集与的解集相同
（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理
5、指数、对数不等式的解法：
（1）利用函数的单调性：
时，
时，
（2）对于对数的两点补充：
① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当时，
② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为，可作为转换的桥梁
6、利用换元法解不等式
利用换元法解不等式的步骤通常为：
①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体
②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式
③解出新元的范围
④在根据新元的范围解的范围
（二）构造函数解不等式
1、函数单调性的作用：在单调递增，则
(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）
2、假设在上连续且单调递增，，则时，;时， (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）
3、导数运算法则：
（1）
（2）
4、构造函数解不等式的技巧：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点
（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整
（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.
（三）利用函数性质与图象解不等式：
1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：的对称轴为，且在但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合，不会影响结论），得到：距离越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系
2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如，其中的图象均可作出.再由可知的图象在图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.
【典型考题解析】
热点一 简单不等式的解法
【典例1】(2023·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高考真题（文））已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】(2023·上海·高考真题）不等式的解集为________
【典例4】（2023·江苏·高考真题）设，解不等式．
【典例5】解下列高次不等式：（1）
（2）
【规律方法】
1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法
2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.
3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.
热点二 含参数不等式问题
【典例6】(2023·浙江·高考真题）已知，若对任意，则（ ）
A．B．C．D．
【典例7】（2023·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a<0B．a>0C．b<0D．b>0
【总结提升】
关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.
关于含参数的一元二次不等式问题：
(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．
(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．
(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．
热点三 函数不等式问题
【典例9】(2023·全国·高考真题（文））设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例10】（2023·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f(x)=若，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例12】（2023·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数是奇函数（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【总结提升】
关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：
（1）利用函数的奇偶性、单调性.
（2）借助于函数的图象（数形结合法）.
（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题（文））已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·湖南·高考真题）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
3．（2023·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5.（天津·高考真题（理））设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为（ ）
A．4B．3C．9D．
7．(2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组的解集为_________.
12．（2023·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.
13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为________．
三、双空题
14．（2023·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x），则 ＝__，不等式的解集为__．
四、解答题
16．（2023·山东·高考真题）已知函数.
（1）求的值；
（2）求，求实数的取值范围.
17．（2023·全国·高考真题（理））已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．
18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；
(2)若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)已知，若方程在有解，求实数a的取值范围．
专题04 常见不等式的解法
【热点聚焦】
所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．
【重点知识回眸】
（一）常见不等式的代数解法
1、一元二次不等式：
可考虑将左边视为一个二次函数，作出图象，再找出轴上方的部分即可——关键点：图象与轴的交点
2、高次不等式
（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于的表达式为，不等式为）
①求出的根
② 在数轴上依次标出根
③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根
④ 观察图象， 寻找轴上方的部分
寻找轴下方的部分
（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式
3、分式不等式
（1）将分母含有的表达式称为分式，即为的形式
（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即
（3）对形如的不等式，可根据符号特征得到只需 同号即可，所以将分式不等式转化为 （化商为积），进而转化为整式不等式求解
4、含有绝对值的不等式
（1）绝对值的属性：非负性
（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方
（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：
① 的解集与或的解集相同
② 的解集与的解集相同
（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理
5、指数、对数不等式的解法：
（1）利用函数的单调性：
时，
时，
（2）对于对数的两点补充：
① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当时，
② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为，可作为转换的桥梁
6、利用换元法解不等式
利用换元法解不等式的步骤通常为：
①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体
②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式
③解出新元的范围
④在根据新元的范围解的范围
（二）构造函数解不等式
1、函数单调性的作用：在单调递增，则
(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）
2、假设在上连续且单调递增，，则时，;时， (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）
3、导数运算法则：
（1）
（2）
4、构造函数解不等式的技巧：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点
（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整
（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.
（三）利用函数性质与图象解不等式：
1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：的对称轴为，且在但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合，不会影响结论），得到：距离越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系
2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如，其中的图象均可作出.再由可知的图象在图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.
【典型考题解析】
热点一 简单不等式的解法
【典例1】(2023·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
求出集合后可求.
【详解】
，故，
故选：B.
【典例2】（2023·全国·高考真题（文））已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】
由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
【典例3】(2023·上海·高考真题）不等式的解集为________
答案：
【解析】
【详解】
由题意，不等式，得，所以不等式的解集为.
【典例4】（2023·江苏·高考真题）设，解不等式．
答案：
【解析】
分析：
根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果
【详解】
或或
或或
所以解集为：
【典例5】解下列高次不等式：（1）
（2）
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）解：
则的根
作图可得： 或
不等式的解集为
（2）思路：可知，所以只要，则恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解 ，可得且
不等式的解集为
【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.
穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为 的部分，下方为的部分.以例2（1）为例，当时，每一个因式均大于0，从而整个的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时的符号一定为正），当经过 时，由正变负，而其余的式子符号未变，所以的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，的符号再次发生改变，曲线也就跑到 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是在经历每一个根时，式子符号的交替变化.
【规律方法】
1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法
2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.
3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.
热点二 含参数不等式问题
【典例6】(2023·浙江·高考真题）已知，若对任意，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
将问题转换为，再结合画图求解．
【详解】
由题意有：对任意的，有恒成立．
设，，
即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示：
由图可知，，，或，，
故选：D．
【典例7】（2023·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a<0B．a>0C．b<0D．b>0
答案：C
【解析】
分析：
对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【详解】
因为，所以且，设，则的零点
为
当时，则，，要使，必有，且，
即，且，所以；
当时，则，，要使，必有.
综上一定有.
故选：C
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式．
答案：详见解析.
【解析】
分析：
分类讨论，求不等式的解集即可.
【详解】
原不等式变形为．
①当时，；
②当时，不等式即为，
当时，x或；
由于，于是
当时，；
当时，；
当时，．
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．
【总结提升】
关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.
关于含参数的一元二次不等式问题：
(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．
(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．
(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．
热点三 函数不等式问题
【典例9】(2023·全国·高考真题（文））设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
【典例10】（2023·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】
因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f(x)=若，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
【解析】
分析：
由于的范围不确定，故应分和两种情况求解.
【详解】
当时，，
由得，
所以，可得：，
当时，，
由得，
所以，即，即，
综上可知：或.
故选：C
【典例12】（2023·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数是奇函数（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
答案：D
【解析】
分析：
构造函数，求导结合题意可得的单调性与奇偶性，结合求解即可
【详解】
由题意设，则
∵当x＞0时，有，
∴当x＞0时，，
∴函数在（0，+∞）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数，
∴g（﹣x）＝g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
g（x）在（﹣∞，0）上递减，
由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，
∵不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0，
∴或，
即有x＞1或﹣1＜x＜0，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故选：D．
【总结提升】
关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：
（1）利用函数的奇偶性、单调性.
（2）借助于函数的图象（数形结合法）.
（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题（文））已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】
由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
2．（2023·湖南·高考真题）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
答案：C
【解析】
分析：
根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.
【详解】
由可得：，解得：，
所以原不等式的解集为：，
故选：C.
3．（2023·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B，再进行交集运算即可.
【详解】
由题意得，，所以，
故选：C.
4．(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
求出集合、，再由交集的定义求解即可
【详解】
集合，，
则.
故选：B.
5.（天津·高考真题（理））设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】
分析：
求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.
【详解】
由，可得，即；
由，可得或，即；
∴是的真子集，
故“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为（ ）
A．4B．3C．9D．
答案：C
【解析】
分析：
根据函数的值域求出与的关系，然后根据不等式的解集可得的两个根为，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.
【详解】
∵函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）＝x2+ax+b＝0只有一个根，即Δ＝a2﹣4b＝0则b，
不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），
即为x2+axc解集为（m，m+6），
则x2+axc＝0的两个根为m，m+6
∴|m+6﹣m|6
解得c＝9
故选：C．
7．(2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据函数为奇函数求出当时，函数的函数解析式，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.
【详解】
解：因为函数是奇函数，所以，且
当时，则，
则，
所以当时，，
则，解得，
，解得，
所以不等式的解集是.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，
当时函数单调递减，且，
当时函数单调递减，且，
所以函数在上是单调递减，
所以不等式等价于，解得．
即不等式的解集为；
故选：C
9．（2023·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
10．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
答案：D
【解析】
分析：
构造新函数，利用导数说明其单调性，将变形为，利用函数的单调性即可求解.
【详解】
令 ，
则，由于,
故,故在单调递增，
而 ，
由，得 ，
∴ ，即 ,
∴不等式的解集为,
故选：D．
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组的解集为_________.
答案：
【解析】
分析：
解一元二次不等式取交集即可.
【详解】
原不等式组化简为
故答案为：.
12．（2023·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.
答案：
【解析】
分析：
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.
【详解】
使得，
使得令，则原不等式转化为存在，
由折线函数，如图
只需，即，即的最大值是
【点睛】
对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为________．
答案：(1，2]
【解析】
分析：
先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.
【详解】
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴＋ex－cs x.
∵x>0，∴ex>1，∴>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x－1)≤f(1)，
∴0则原不等式的解集为(1，2]．
故答案为：(1，2]
三、双空题
14．（2023·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
答案： 130. 15.
【解析】
分析：
由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】
(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
【点睛】
本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x），则 ＝__，不等式的解集为__．
答案： ## 0.5 {x|x或x＞5}
【解析】
分析：
第一空先求出 的值，再求 的值；第二空将分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.
【详解】
解：f（2），，
∴，
当x﹣3＞1时，即x＞4时，，解得x＞5，
当x﹣3≤1时，即x≤4时，x﹣3，解得x，
综上所述不等式f（x﹣3）＜f（2）的解集为
故答案为：，．
四、解答题
16．（2023·山东·高考真题）已知函数.
（1）求的值；
（2）求，求实数的取值范围.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；
（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.
【详解】
解：（1）因为，
所以，因为，
所以.
（2）因为，
则，
因为，所以，
即，解得.
17．（2023·全国·高考真题（理））已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．
答案：（1）.（2）.
【解析】
分析：
（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）[方法一]：绝对值的几何意义法
当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，
当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.
[方法二]【最优解】：零点分段求解法
当时，．
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得．
综上，的解集为．
（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值
依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，
,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.
[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值
由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.
[方法三]：分类讨论+分段函数法
当时，
则，此时，无解．
当时，
则，此时，由得，．
综上，a的取值范围为．
[方法四]：函数图象法解不等式
由方法一求得后，构造两个函数和，
即和，
如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，
由图易知，则．
【整体点评】
（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．
方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，
方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；
（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；
方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得的最小值，最有简洁快速，为最优解法
方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；
方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形结合思想求解关于的不等式.
18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；
(2)若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)已知，若方程在有解，求实数a的取值范围．
答案：(1)，，
(2)
(3)[0，1）．
【解析】
分析：
（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出，然后解一元二次不等式即可；
（2）问题转化为在，恒成立，令，，，根据函数的单调性求出的范围即可；
（3）利用参数分离法进行转化求解即可．
（1）解：若不等式的解集为，，即1，2是方程的两个根，则，即，则，由得，即得，得或，即不等式的解集为，，．
（2）解:不等式恒成立，即在，恒成立，令，，，则，令，解得：，故在，递增，在，递减，故（1）或，而（1），，故．
（3）解：由得，，即，若方程在，有解，等价为有解，设，，，，，即，即，则，即实数的取值范围是，．