高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题05均值不等式及其应用【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题05均值不等式及其应用【原卷版+解析】，共30页。

【热点聚焦】
高考命题对基本不等式的考查比较灵活，重点考查应用基本不等式确定最值（范围）问题、证明不等式、解答函数不等式恒成立等问题.独立考查以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何、平面向量函数等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.
【重点知识回眸】
基本不等式
eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）,：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3），
（4），
（5）同号且不为零
（6）重要不等式链
若a≥b＞0，则a≥eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)≥b.
上述不等式，当且仅当a＝b时等号成立
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)x＋y≥2eq \r(xy)，若xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(p)(简记：积定和最小)．
(2)xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)，若x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq \f(q2,4)(简记：和定积最大)．
提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．特别是：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
5、常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况
（2）已知（为常数），求的最值，
此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.
（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：
例如：已知，求的最小值
解：
所以
即，可解得，即
注：此类问题还可以通过消元求解：，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意的范围由承担，所以
【典型考题解析】
热点一 直接法求最值
【典例1】（2023·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若、，且，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【典例4】(2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
热点二 配凑法求最值
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数 的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．
【典例7】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求函数 的最大值．
【总结提升】
形如的函数，可化为的形式，再利用基本不等式求解
热点三 常数代换法求最值
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．12
【典例9】（2023·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【典例10】(2023·山东·高考真题（文））若直线过点，则的最小值为________．
【总结提升】
常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”的问题，先将eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)转化为，再用基本不等式求最值．
热点四 基本不等式的实际应用
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为（ ）．（本题中取进行计算）
A．6B．C．3D．9
【典例12】(2023·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．
【总结提升】
利用基本不等式解决实际问题的三个注意点
(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用 (a＞0)的单调性．
热点五 利用均值不等式连续放缩求最值
【典例13】(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知，且则不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例14】（2023·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【总结提升】
第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
2．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
3．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
4．（2023·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2023·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是
A．B．或
C．D．或
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．4C．D．6
8.(2023·天津·高考真题（理））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·全国·高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·海南·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A．a2＞abB．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）
C．D．a+csb＞b+csa
12．(2023·江苏省如皋中学高三开学考试）（多选）若实数x，y满足，，，则（ ）
A．且B．m的最大值为
C．n的最小值为7D．
三、填空题
13．（2023·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．
14．（2023·天津·高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________.
15．(2023·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
16．(2023·天津·高考真题（理））已知，且，则的最小值为_____________.
17．(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
四、解答题
18．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
(1)若不等式的解集，求a，b的值；
(2)若，，，求的最小值，并指出取最小值时a，b的值．
专题05 均值不等式及其应用
【热点聚焦】
高考命题对基本不等式的考查比较灵活，重点考查应用基本不等式确定最值（范围）问题、证明不等式、解答函数不等式恒成立等问题.独立考查以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何、平面向量函数等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.
【重点知识回眸】
基本不等式
eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）,：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3），
（4），
（5）同号且不为零
（6）重要不等式链
若a≥b＞0，则a≥eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)≥b.
上述不等式，当且仅当a＝b时等号成立
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)x＋y≥2eq \r(xy)，若xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(p)(简记：积定和最小)．
(2)xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)，若x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq \f(q2,4)(简记：和定积最大)．
提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．特别是：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
5、常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况
（2）已知（为常数），求的最值，
此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.
（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：
例如：已知，求的最小值
解：
所以
即，可解得，即
注：此类问题还可以通过消元求解：，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意的范围由承担，所以
【典型考题解析】
热点一 直接法求最值
【典例1】（2023·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【典例2】（2023·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
答案：C
【解析】
分析：
本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】
由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若、，且，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据基本不等式计算求解.
【详解】
因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.
故选：A.
【典例4】(2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
热点二 配凑法求最值
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数 的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】
∵， ,
∴，
当且仅当 时，即时等号成立，
因此，函数,的最大值为,
故选：C．
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．
答案：
【解析】
分析：
由对于一切实数恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，进而可得的值为1，将可化为，利用基本不等式可得结果.
【详解】
因为对于一切实数恒成立，
所以，且，所以；
再由，使成立，
可得，所以，
所以，
因为，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：
【典例7】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求函数 的最大值．
答案：2
【解析】
分析：
将变形为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】
根据题意，函数 ，
又由，则 ，则，
当且仅当时，即时取等号，
则,
故函数的最大值为2.
【总结提升】
形如的函数，可化为的形式，再利用基本不等式求解
热点三 常数代换法求最值
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．12
答案：D
【解析】
分析：
利用向量共线定理可得，再根据结合基本不等式即可得出答案．
【详解】
解：，
，
三点共线，
，
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值是12.
故选：D．
【典例9】（2023·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
答案：4
【解析】
分析：
根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【典例10】(2023·山东·高考真题（文））若直线过点，则的最小值为________．
答案：8
【解析】
分析：
由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】
解：因为直线过点，所以，
因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8
故答案为：8
【总结提升】
常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”的问题，先将eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)转化为，再用基本不等式求最值．
热点四 基本不等式的实际应用
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为（ ）．（本题中取进行计算）
A．6B．C．3D．9
答案：B
【解析】
分析：
根据面积和周长的计算,可得,根据基本不等式即可求解最大值.
【详解】
圆弧的半径为，则，．
所以周长，面积．
所以
．
当且仅当，时等号成立．
故选：B
【典例12】(2023·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．
答案：
【解析】
【详解】
总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.
【总结提升】
利用基本不等式解决实际问题的三个注意点
(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用 (a＞0)的单调性．
热点五 利用均值不等式连续放缩求最值
【典例13】(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知，且则不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.
【详解】
对A，根据指数函数的性质，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，因为，当且仅当取等号，所以，故C正确；
对D，因为，且，故，，所以；故D正确.
故选：B
【典例14】（2023·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
答案：
【解析】
分析：
两次利用基本不等式即可求出.
【详解】
，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【总结提升】
第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
答案：A
【解析】
分析：
由基本不等式求解即可
【详解】
因为，
所以可得，
则，
当且仅当，即时，上式取得等号，
的最大值为2．
故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
答案：B
【解析】
分析：
利用基本不等式可得答案.
【详解】
∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2，
化简可得 2，
∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立，
故ab的最小值是8，
故选：B．
3．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
答案：B
【解析】
分析：
根据双曲线的标准方程可得，根据的关系可得，由基本不等式的求解即可得，进而，即可求离心率.
【详解】
由可得，所以，
故可得，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以，，又，
所以，
故选：B．
4．（2023·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】
分析：
利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】
法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
5．（2023·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
答案：B
【解析】
分析：
因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是
A．B．或
C．D．或
答案：C
【解析】
分析：
由题意化为，利用基本不等式求出的最小值，再解关于的一元二次不等式即可．
【详解】
解：，，且，
，
，
当且仅当时取“”；
若恒成立，
则，
即，
解得，
实数的取值范围是，．
故选：C．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．4C．D．6
答案：A
【解析】
分析：
根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，从而可到，再构造函数分析可得，从而得到，再根据基本不等式取得最值时的关系求解即可
【详解】
由题意得，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，令，则，当，，单调递增；当时，单调递减，所以，当且仅当时取等号，即，所以，所以，所以，所以．
故选：A
8.(2023·天津·高考真题（理））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
二、多选题
9．(2023·全国·高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：BC
【解析】
分析：
根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】
因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
10．（2023·海南·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】
分析：
根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】
对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A．a2＞abB．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）
C．D．a+csb＞b+csa
答案：ABC
【解析】
分析：
利用不等式的性质判断A，利用对数函数的单调性判断B，利用基本不等式判断C，利用构造函数判断D.
【详解】
A:∵a＜b＜0，∴a2＞ab，∴A正确，
B:∵a＜b＜0，1﹣a＞1﹣b，∴ln（1﹣a）＞ln（1﹣b），∴B正确，
C:∵a＜b＜0，∴，∴，∴C正确，
D:设f（x）＝x﹣csx，则＝1+sinx≥0，∴f（x）在R上为增函数，
∵a＜b＜0，∴a﹣csa＜b﹣csb，a+csb＜b+csa，∴D错误．
故选：ABC．
12．(2023·江苏省如皋中学高三开学考试）（多选）若实数x，y满足，，，则（ ）
A．且B．m的最大值为
C．n的最小值为7D．
答案：ABD
【解析】
分析：
根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C，根据指数幂的运算判断D；
【详解】
解：因为，若，则，又，显然不成立，即，
同理可得，所以，即且，故A正确；
又，即，
所以，当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确；
又
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误；
对于D：，
因为，所以，即，即，
即，因为，所以，即，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．（2023·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．
答案：
【解析】
分析：
根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】
∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
14．（2023·天津·高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________.
答案：.
【解析】
分析：
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．
故所求的最小值为．
15．(2023·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
答案：9
【解析】
【详解】
分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
16．(2023·天津·高考真题（理））已知，且，则的最小值为_____________.
答案：
【解析】
分析：
由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
【详解】
由可知，
且：，因为对于任意，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
17．(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
答案：##
【解析】
分析：
设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
四、解答题
18．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
(1)若不等式的解集，求a，b的值；
(2)若，，，求的最小值，并指出取最小值时a，b的值．
答案：(1)
(2)，时，的最小值是2
【解析】
分析：
（1）由根与系数的关系可得答案；
（2）由得，再利用基本不等式可得答案.
(1)
由的解集是知是方程的两根，
由根与系数的关系可得 解得，
即.
(2)
由得，，，
，
当且仅当，即，时取等号，的最小值是2．