高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题06函数的定义域、值域【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题06函数的定义域、值域【原卷版+解析】，共33页。

【热点聚焦】
函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.
【重点知识回眸】
1.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．
2．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
3.常见函数定义域的求法
4.复合函数关系的定义域
①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域；
②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．
5.常见函数的值域：
在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.
（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.
（2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.
（3）反比例函数：
（1）图像关于原点中心对称
（2）当 ，当.
（4）对勾函数：
① 解析式特点：的系数为1；
注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值
例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得
② 极值点：
③ 极值点坐标：

④ 定义域：
⑤ 自然定义域下的值域：
（5）函数： 注意与对勾函数进行对比
① 解析式特点：的系数为1；
② 函数的零点：
③ 值域：
（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为
（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为
（7）三角函数的有界性,如.
6.函数值域问题处理策略
（1）换元法：① ：此类问题在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围.
② ：此类函数可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可.
= 3 \* GB3 ③形如型
（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.
（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.
（4）分离常数法:一般地，
① ：换元→分离常数→反比例函数模型
② ：换元→分离常数→模型
③ ：同时除以分子：→②的模型
④ ：分离常数→③的模型
（5）单调性性质法：利用函数的单调性
（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域
（7）数形结合法
【典型考题解析】
热点一 已知函数解析式求定义域
【典例1】（广东·高考真题（文））函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是（ ）
A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)
【典例2】（山东·高考真题（文））函数的定义域为( )
A．[－2，0)∪(0，2]B．(－1，0)∪(0，2]
C．[－2，2]D．(－1，2]
【典例3】（2023·江苏·高考真题）函数的定义域是_____.
【典例4】(2023·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
【总结提升】
已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
热点二 求抽象函数的定义域
【典例5】（全国·高考真题（理））已知的定义域为，则函数的定义域为 （ ）
A．B．C．D．
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【典例7】(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
热点三 求函数的值域（最值）
【典例8】（江西·高考真题（理））若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（ ）
A．B．C．D．
【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例11】(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的值域为______．
【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为________；函数的值域为________．
【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数．
(1)求的图像在点处的切线方程；
(2)求在上的值域．
热点四 求参数的值或取值范围
【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例15】(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数a的取值范围是__．
【典例16】(2023·北京·高考真题（理））设函数.
①若，则的最大值为____________________；
②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.
【精选精练】
1．（2023·全国·高三专题练习）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．M＝N
2．(2023·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A．y＝xB．y＝lg xC．y＝2xD．y＝
3．(2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为R，则a的范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．(2023·江西·高三阶段练习（文））函数在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高三专题练习）已知的值域为R，那么a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1]B．(﹣1，)C．[﹣1，)D．(0，1)
7．（2023·全国·高三专题练习）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A． (k∈Z)B． (k∈Z)
C． (k∈Z)D． (k∈Z)
8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数的最大值为M，最小值为N，则（ ）
A．3B．4C．6D．与m值有关
9．(2023·江苏南京·高三开学考试）已知函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
10．(2023·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．-1D．0
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的定义域是
B．函数是偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数的图象关于直线对称
三、双空题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数,若，则_____，函数的值域为____．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，则实数a＝__，函数f（x）在[1，3]上的值域为__．
四、填空题
14．(2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是________．
15．(2023·上海闵行·二模）已知函数的定义域为，且对任意实数，都满足，则实数___________；
16.(2023·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为，则实数的值为________．
17．(2023·北京·清华附中模拟预测）已知函数，下列说法正确的是___________.
①当时，的值域为；
②，有最小值；
③，在上单调递增：
④若方程有唯一解，则a的取值范围是.
18．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是__．
类型
x满足的条件
(n∈N*)
f(x)≥0
(n∈N*)
f(x)有意义
与[f(x)]0
f(x)≠0
lgaf(x)(a＞0且a≠1)
f(x)＞0
af(x)(a＞0且a≠1)
f(x)有意义
tan[f(x)]
f(x)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义
专题06 函数的定义域、值域
【热点聚焦】
函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.
【重点知识回眸】
1.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．
2．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
3.常见函数定义域的求法
4.复合函数关系的定义域
①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域；
②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．
5.常见函数的值域：
在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.
（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.
（2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.
（3）反比例函数：
（1）图像关于原点中心对称
（2）当 ，当.
（4）对勾函数：
① 解析式特点：的系数为1；
注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值
例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得
② 极值点：
③ 极值点坐标：

④ 定义域：
⑤ 自然定义域下的值域：
（5）函数： 注意与对勾函数进行对比
① 解析式特点：的系数为1；
② 函数的零点：
③ 值域：
（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为
（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为
（7）三角函数的有界性,如.
6.函数值域问题处理策略
（1）换元法：① ：此类问题在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围.
② ：此类函数可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可.
= 3 \* GB3 ③形如型
（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.
（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.
（4）分离常数法:一般地，
① ：换元→分离常数→反比例函数模型
② ：换元→分离常数→模型
③ ：同时除以分子：→②的模型
④ ：分离常数→③的模型
（5）单调性性质法：利用函数的单调性
（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域
（7）数形结合法
【典型考题解析】
热点一 已知函数解析式求定义域
【典例1】（广东·高考真题（文））函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是（ ）
A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)
答案：C
【解析】
根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域.
【详解】
因为f(x)＝＋lg(1＋x)，
所以需满足，
解得且，
所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，
故选：C
【典例2】（山东·高考真题（文））函数的定义域为( )
A．[－2，0)∪(0，2]B．(－1，0)∪(0，2]
C．[－2，2]D．(－1，2]
答案：B
【解析】
【详解】
x满足，即. 解得－1【典例3】（2023·江苏·高考真题）函数的定义域是_____.
答案：.
【解析】
分析：
由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
【详解】
由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
【典例4】(2023·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
答案：
【解析】
分析：
根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
【总结提升】
已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
热点二 求抽象函数的定义域
【典例5】（全国·高考真题（理））已知的定义域为，则函数的定义域为 （ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
【详解】
试题分析：因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B．
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
答案：
【解析】
分析：
根据复合函数定义域的性质进行求解即可.
【详解】
因为的定义域为，
所以，所以．令，则．
即中，．
故的定义域为．
【典例7】(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据的定义域可知，故，即可求出答案.
【详解】
解：∵函数的定义域为
∴，
∴函数中，
∴
所以函数的定义域为[]．
故选：D
【总结提升】
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
热点三 求函数的值域（最值）
【典例8】（江西·高考真题（理））若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
【详解】
试题分析：设=t,则,从而的值域就是函数的值域，由“勾函数”的图象可知，，故选B．
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项.
【详解】
对于①，因为，则，①不满足条件；
对于②，对于函数，，则函数的值域为，②满足条件；
对于③，因为，则，③满足条件；
对于④，因为，，则，④满足条件.
故选：B.
【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】
分析：
令，转化为，令，根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，根据奇偶性，可得在最大值与最小值之和为0，分析即可得答案.
【详解】
由
令，
因为，所以；
那么转化为，，
令，，
则，
所以是奇函数
可得的最大值与最小值之和为0，
那么的最大值与最小值之和为2．
故选：B．
【典例11】(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的值域为______．
答案：
【解析】
分析：
根据指数函数的性质分析的值域，进而得到的值域即可
【详解】
∵，，
∴令，则
故函数的值域为，
故答案为：
【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为________；函数的值域为________．
答案： 2
【解析】
分析：
中设换元后化为二次函数可得最大值，函数中用三角换元，然后利用两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再由余弦函数的性质得取值范围．
【详解】
(1)设=t(t≥0)，所以x=1－t2.所以y=f(x)=x+2=1－t2+2t=－t2+2t+1=－(t－1)2+2.所以当t=1即x=0时，ymax=f(x)max=2.
(2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2，
所以设x=2cs θ(θ∈[0，π])，
则y=2cs θ－=2cs θ－2sin θ
=2cs，
因为，
所以cs∈，所以y∈[－2，2]．
故答案为：2；．
【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数．
(1)求的图像在点处的切线方程；
(2)求在上的值域．
答案：(1)；
(2)．
【解析】
分析：
对于第一小问，把点代入函数解析式，得切点坐标，通过函数求导，得到过切点的切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．
对于第二小问，解不等式，得函数增区间，解不等式，得函数减区间，结合，确定函数单调性，求得最值，进而得值域．
(1)
因为，所以，所以，，
故所求切线方程为，即．
(2)
由（1）知，．
令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
又，，
所以，即在上的值域为．
热点四 求参数的值或取值范围
【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.
【详解】
当时，，
当且仅当时，等号成立；
即当时，函数的最小值为，
当时，，
要使得函数的最小值为，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
【典例15】(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数a的取值范围是__．
答案：[1，+∞）
【解析】
分析：
等价于ax2+2x+1≥0恒成立，再对分类讨论得解.
【详解】
解：函数的定义域为，
即为ax2+2x+1≥0恒成立，
若a＝0，则2x+1≥0不恒成立；
当a＞0，＝4﹣4a≤0，
解得a≥1；
当a＜0，ax2+2x+1≥0不恒成立．
综上可得，a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【典例16】(2023·北京·高考真题（理））设函数.
①若，则的最大值为____________________；
②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.
答案：2
【解析】
分析：
试题分析：如图，作出函数与直线 的图象，它们的交点是，由 ，知是函数 的极小值点，
①当时， ，由图象可知的最大值是 ；
②由图象知当时， 有最大值；只有当 时，，无最大值，所以所求 的取值范围是．
【精选精练】
1．（2023·全国·高三专题练习）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．M＝N
答案：B
【解析】
分析：
利用集合间的基本关系来进行运算即可.
【详解】
集合M表示函数的定义域，由2x－1>0，解得.
集合N表示函数的值域，值域为，
故选：B.
2．(2023·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A．y＝xB．y＝lg xC．y＝2xD．y＝
答案：D
【解析】
分析：
求出函数的定义域和值域，对选项逐一判断即可.
【详解】
因函数的定义域和值域均为，
对于A，的定义域和值域均为，故A错误；
对于B，的定义域和值域分别为，故B错误；
对于C，的定义域和值域均为，故C错误；
对于D，定义域和值域均为，故D正确；
故选：D．
3．(2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为R，则a的范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
分、、讨论即可求解.
【详解】
若的定义域为R，则当时，满足题意；
当时，，解得：；
当时，无法满足定义域为R．
综上所述：，D正确．
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：C
【解析】
分析：
由可求出函数的定义域，由于的图象是由的图象向左平移2个单位得到，所以其值域不变，从而可得答案
【详解】
令得，即为函数的定义域，
而将函数的图象向左平移2个单位即得的图象，
故其值域不变．
故选：C．
5．(2023·江西·高三阶段练习（文））函数在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据指数函数与正弦函数的单调性可得函数在上单调递增，从而可求的值域.
【详解】
解：易知函数在上单调递增，且，，
所以在上的值域为．
故选:B．
6．(2023·全国·高三专题练习）已知的值域为R，那么a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1]B．(﹣1，)C．[﹣1，)D．(0，1)
答案：C
【解析】
分析：
先求出的值域，然后确定的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得．
【详解】
当x≥1时，f(x)=lnx，其值域为[0，+∞)，
那么当x<1时，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，
∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，
解得：，且a≥﹣1.
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A． (k∈Z)B． (k∈Z)
C． (k∈Z)D． (k∈Z)
答案：B
【解析】
分析：
由题意可得，然后利用正弦函数的性质求解即可
【详解】
由题意，得，
，
所以，
解得，
所以函数的定义域为，
故选：B
8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数的最大值为M，最小值为N，则（ ）
A．3B．4C．6D．与m值有关
答案：C
【解析】
分析：
利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.
【详解】
由题意可知，，
设，则的定义域为，
所以，
所以为奇函数，
所以，
所以,
故选：C.
9．(2023·江苏南京·高三开学考试）已知函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
答案：B
【解析】
分析：
记，，由三角函数的性质即可求出的最大值.
【详解】
记，则，
所以，
且，所以最大为.
故选：B.
10．(2023·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．-1D．0
答案：C
【解析】
分析：
根据题意得到为偶函数，由时，，利用导数求得函数的的单调区间，进而求得函数的最小值.
【详解】
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，所以为偶函数，当时，，
可得，在单调递增，
又由为偶函数，所以在单调递减，单调递增，
所以.
故选：C.
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的定义域是
B．函数是偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数的图象关于直线对称
答案：BD
【解析】
分析：
求出函数定义域为，A选项错误；利用定义证明函数是偶函数，B选项正确；函数在区间上是增函数，故C选项错误；可以证明f (x)的图象关于直线对称，故D选项正确.
【详解】
解：函数，
由可得，故函数定义域为，A选项错误；
的定义域为，设所以
即是偶函数，B选项正确；
，
当时，是减函数，外层也是减函数，所以函数在区间上是增函数，故C选项错误；
由，可得f (x)的图象关于直线对称，故D选项正确.
故选：BD
三、双空题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数,若，则_____，函数的值域为____．
答案： 2
【解析】
分析：
根据可解得的值，代入分段函数，结合对数函数及指数函数的值域求解分段函数的值域即可.
【详解】
由得，即，即函数,
当时，；当时，．故函数的值域为．
故答案为：2；.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，则实数a＝__，函数f（x）在[1，3]上的值域为__．
答案：
【解析】
分析：
由是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x），代入可求出实数a；再判断数f（x）在[1，3]上单调性，即可求出答案.
【详解】
解：∵f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
即aa，
即aa，
则2a1，
则a，
则f（x）在[1，3]为减函数，
则f（3）≤f（x）≤f（1），
即f（x），
即函数的值域为[，]，
故答案为：；[，]
四、填空题
14．(2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是________．
答案：
【解析】
分析：
要使该函数表达式有意义，只需，，同时成立，解不等式即可求出结果．
【详解】
函数的解析式有意义，
由，即，所以或，
故该函数的定义域为．
故答案为：
15．(2023·上海闵行·二模）已知函数的定义域为，且对任意实数，都满足，则实数___________；
答案：1
【解析】
分析：
根据条件得到，即为偶函数，根据列出方程，求出实数的值.
【详解】
因为的定义域为R，所以恒成立，
故，
又因为对任意实数，都满足，
则对于实数，都满足，
所以，
所以为偶函数，
从而，
化简得：，
要想对任意，上式均成立，则，解得：
故答案为：1
16.(2023·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为，则实数的值为________．
答案：
【解析】
分析：
根据已知条件及奇函数的定义求出当时函数的解析式，再利用函数的单调性对进行分类讨论，确定单调性即可求解.
【详解】
由题意可知，因为，所以，
所以，
因为函数是定义域为的奇函数，所以.
因为函数在上的最小值为
当时，由函数的性质知，函数在上单调递增；
当时，取得最小值为，
因为函数在上的最小值为，所以，解得（舍），
当时，由函数的性质知，函数在上单调递增；
当时，取得最小值为，
因为函数在上的最小值为，所以，解得，
当时，由对勾函数的性质知，函数在上单调递增；在上单调递减；
当时，取得最小值为，
因为函数在上的最小值为，所以，解得（舍），
综上，实数的值为.
故答案为：.
17．(2023·北京·清华附中模拟预测）已知函数，下列说法正确的是___________.
①当时，的值域为；
②，有最小值；
③，在上单调递增：
④若方程有唯一解，则a的取值范围是.
答案：①②
【解析】
分析：
由分段函数解析式，讨论参数a，结合二次函数、对数函数的性质研究的单调性、最值及对应值域，利用函数与的交点情况判断参数范围.
【详解】
由的对称轴，
当时，则，且上递减，上递增，值域为，
当时，则上递减，值域为，
当时，则，上递减，值域为，
对于在上递增，且值域为，
综上，时的值域为，①正确；
当时最小值为0，当时最小值为，②正确；
由恒成立，故在上不可能递增，③错误；
要使有唯一解，
当时，在上必有一个解，此时只需，即；
当时，在R上有两个解，不合题设；
当时，在上必有一个解，此时，无解.
所以④错误.
故答案为：①②
18．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是__．
答案：
【解析】
分析：
将分为 三种情况讨论：当时， 满足条件；当时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当时，只需二次函数的即可，解出的取值范围，综上得的取值范围.
【详解】
解：当时，，值域是[0，+∞），满足条件；
令 ，
当m＜0时，的图象开口向下，故f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；
当m＞0时，的图象开口向上，只需的，
即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0，
∴，又 ，所以
综上，，
∴实数m的取值范围是：，
故答案为：.类型
x满足的条件
(n∈N*)
f(x)≥0
(n∈N*)
f(x)有意义
与[f(x)]0
f(x)≠0
lgaf(x)(a＞0且a≠1)
f(x)＞0
af(x)(a＞0且a≠1)
f(x)有意义
tan[f(x)]
f(x)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义