高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题09常见函数模型应用【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题09常见函数模型应用【原卷版+解析】，共42页。

【热点聚焦】
按照高考命题对“数学应用”的考查要求，应用问题的背景涉及到方方面面，如解三角形、立体几何、统计、概率、排列组合等，但较多的依然要化归为函数问题.高考对函数模型应用的考查主要有：
（1）从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解；
（2）函数的综合应用.
（3）常与二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、数列、基本不等式及导数等知识交汇．
【重点知识回眸】
一．几类常见的函数模型
【特别提醒】
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
2.“对勾”函数模型性质：
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)内单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，
当x＜0时，x＝－时取最大值－2.
二．四种函数模型的性质
三．已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
四．构建函数模型解决实际问题的步骤
五.解决函数应用问题重点解决以下几点：
（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
（2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域；
（3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值；
（4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．
【典型考题解析】
热点一 用函数图象刻画变化过程
【典例1】(2023·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：
①0时到3时只进水不出水；
②3时到4时不进水只出水；
③4时到5时不进水也不出水.
则一定正确的论断是________(填序号).
【典例3】（2023·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【规律方法】
判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
热点二 一次函数型
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【典例4】（2023·山东滨州市·高三二模）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.
【总结提升】
对于一次函数模型的考查，常常以分段函数形式进行，应特别注意自变量取值不同时对应表达式.在以往的高考题中，既有客观题，也有主观题，作为主观题，其综合性往往较强.
1.确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．
2.分段函数模型的求解策略
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．
热点三 二次函数模型
【典例5】（北京·高考真题（文））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟
【典例6】(2023·全国·高三专题练习）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本的数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（ ）
A．取得最大值时每月产量为台
B．边际利润函数的表达式为
C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值
D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
【规律方法】
1.根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
2.二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
热点四 “对号”函数型
【典例7】（2023·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
【典例8】（2023·浙江高一期末）某工厂有旧墙一面长，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为的厂房．工程条件是：①建新墙的费用为元；②修旧墙的费用是元；③拆去旧墙，用所得的材料建新墙的费用为元．利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长：
（1）向如何利用旧墙，即为多少时建墙费用最省，最省费用是多少？
（2）由于地理位置的限制，厂房另一边长（旧墙的临边）不能超过，如何利用旧墙使总费用最省？
【总结提升】
1. “对号函数”模型.
求函数解析式时要先确定函数的定义域．对于此类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足“一正、二定、三相等”，优先考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，也可借用导数来研究函数的单调性．
2.分式函数模型的应用技巧
（1）利用“配凑法”，创造应用基本不等式的条件.注意“一正、二定、三相等”.
（2）利用“对号函数”的单调性.
热点五：指数、对数函数模型
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【典例10】（2023·海南·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
【典例11】（2023·全国·高考真题（文））Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【典例12】（2023·全国·高三专题练习）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗该病有效，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为小时
【总结提升】
1.在函数应用问题考查中，对指数函数、对数函数模型的考查已成为高频热点，既能与现代科技活动、科技成果结合，又能较好的考察学生的运算能力，也能激发学生学习的浓厚兴趣.
2.指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧
(1与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
【精选精练】
一.单选题
1．(2023·全国·模拟预测（文））上高中的小黑为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平方步之间的换算关系，只记得一亩约在200—250平方步之间，则这块田地的亩数是（ ）
A．B．1C．D．2
2．（2023·全国·高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
3．(2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%．若杂质减少到原来的10%以下，则至少需要过滤（ ）
A．2次B．3次C．4次D．5次
4．（2023·全国·高三专题练习）在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：，）
A．5B．10C．15D．20
5.（2023·北京·高考真题（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
6．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为（k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：；参考时间轴：
A．战国B．汉C．唐D．宋
7．(2023·全国·模拟预测（文））在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积，这里．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的面积最大值为（ ）．
A．B．C．10D．12
8．（2023·全国·高三专题练习）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·全国·模拟预测（理））血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．当人体长时间处于高原、高空或深海环境中，容易引发血氧饱和度降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位：%）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为76．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）（结果精确到0.1，，，）
A．0.4小时B．0.5小时C．0.6小时D．0.7小时
10．(2023·云南师大附中模拟预测（理））某工厂生产的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不超过1%，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为，其中，为正常数.如果在前10小时消除了50%的污染物，则排放前至少还需过滤的时间为（参考数据：）（ ）
A．23.2hB．39.8hC．56.4hD．73.0h
11．(2023·全国·高三专题练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（单位：贝尔），即．取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音强度y（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度x（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于100个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为（ ）．
A．10米B．20米C．50米D．100米
12．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚､王亚平､叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）､火箭的质量（除燃料外）m（单位：）的关系是.为使火箭的最大速度达到8100，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据）（ ）
A．13B．14C．15D．16
二、填空题
13．(2023·上海静安·模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）
14．(2023·上海市实验学校模拟预测）如图，将一张边长为的正方形纸折叠，使得点始终落在边上，则折起的部分的面积最小值为______________
三、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系．设t时刻甲、乙种群的数量分别为，（起始时刻为）．由数学家Ltka和Vlterra提出的模型是函数，满足方程，，其中a，b，c，d均为非负实数．
(1)下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图．为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：①；②，其中m，n均为大于1的正数．根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由．
(2)设，．
①函数的单调性；
②根据①中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝．
注：在题设条件下，各种群数量均有上限值．
16．(2023·河南·模拟预测）近年来随着科技的发展，药物制剂正朝着三效，即高效、速效、长效；以及三小，即毒性小、副作用小、剂量小的方向发展．缓释片是通过一些特殊的技术和手段，使药物在体内持续释放，从而使药物在体内能长时间的维持有效血药浓度，药物作用更稳定持久．某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第0.5小时起开始起效，第2小时达到最高12微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
(1)①当时，求y与x之间的函数表达式；
②当时，求y与x之间的函数表达式；
(2)如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间是多少小时．
17．(2023·全国·高三专题练习）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元.
(1)求的值；
(2)求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；
(3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值.
18．（2023·全国·高三专题练习）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点出发，沿着助滑道曲线滑到台端点起跳，然后在空中沿抛物线飞行一段时间后在点着陆，线段的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知在区间上的最大值为，最小值为．
(1)求实数，的值及助滑道曲线的长度．
(2)若运动员某次比赛中着陆点与起滑门点的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，）．
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f (x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)
对数函数模型
f(x)＝mlgax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)（较少考查）
“对号”函数模型
函数
性质
y＝ax
(a＞1)
y＝lgax
(a＞1)
y＝xn
(n＞0)
y＝kx＋b
(k＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
增函数
增函数
增函数
增函数
增长的速度
越来越快
越来越慢
相对较快
不变
图象的变化
越来越陡
越来越平
随n值而不同
直线上升
专题09 常见函数模型应用
【热点聚焦】
按照高考命题对“数学应用”的考查要求，应用问题的背景涉及到方方面面，如解三角形、立体几何、统计、概率、排列组合等，但较多的依然要化归为函数问题.高考对函数模型应用的考查主要有：
（1）从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解；
（2）函数的综合应用.
（3）常与二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、数列、基本不等式及导数等知识交汇．
【重点知识回眸】
一．几类常见的函数模型
【特别提醒】
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
2.“对勾”函数模型性质：
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)内单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，
当x＜0时，x＝－时取最大值－2.
二．四种函数模型的性质
三．已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
四．构建函数模型解决实际问题的步骤
五.解决函数应用问题重点解决以下几点：
（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
（2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域；
（3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值；
（4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．
【典型考题解析】
热点一 用函数图象刻画变化过程
【典例1】(2023·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
答案：D
【解析】
分析：
根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】
当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：
①0时到3时只进水不出水；
②3时到4时不进水只出水；
③4时到5时不进水也不出水.
则一定正确的论断是________(填序号).
答案：①
【解析】
分析：
根据图表中数据，逐一分析①②③，即可得答案.
【详解】
由甲、乙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中0时到3时直线的斜率为2，即水量增加速度为2，
只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确；
不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，3时到4时，减少速度为1，故②不正确；
4时到5时速度为0，若两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确.
故答案为：①
【典例3】（2023·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
答案：①②③
【解析】
分析：
根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】
表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【规律方法】
判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
热点二 一次函数型
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
答案：BD
【解析】
分析：
根据图表逐项判断即可
【详解】
在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；
由题中图象知，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.
故选：BD
【典例4】（2023·山东滨州市·高三二模）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.
答案：，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一)
【解析】
由题意，个数越高，系数越大，因此在上的函数是增函数即可，初始值，，设出函数式代入求解．
【详解】
由题意函数是上的增函数，设，，
由，解得，所以，
所以
故答案为：
注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．
【总结提升】
对于一次函数模型的考查，常常以分段函数形式进行，应特别注意自变量取值不同时对应表达式.在以往的高考题中，既有客观题，也有主观题，作为主观题，其综合性往往较强.
1.确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．
2.分段函数模型的求解策略
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．
热点三 二次函数模型
【典例5】（北京·高考真题（文））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟
答案：B
【解析】
【详解】
由图形可知，三点都在函数的图象上，
所以，解得，
所以，因为，所以当时，取最大值，
故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.
【典例6】(2023·全国·高三专题练习）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本的数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（ ）
A．取得最大值时每月产量为台
B．边际利润函数的表达式为
C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值
D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
答案：BCD
【解析】
分析：
求出函数、的解析式，可判断B选项；利用二次函数的基本性质可判断A选项；求出利润函数与边际利润函数的最大值，可判断C选项；利用边际利润函数的单调性可判断D选项.
【详解】
对于A选项，，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错；
对于B选项，
，B对；
对于C选项，，
因为函数为减函数，则，C对；
对于D选项，因为函数为减函数，
说明边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.
故选：BCD.
【规律方法】
1.根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
2.二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
热点四 “对号”函数型
【典例7】（2023·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
答案：（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【解析】
分析：
（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
【详解】
（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【典例8】（2023·浙江高一期末）某工厂有旧墙一面长，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为的厂房．工程条件是：①建新墙的费用为元；②修旧墙的费用是元；③拆去旧墙，用所得的材料建新墙的费用为元．利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长：
（1）向如何利用旧墙，即为多少时建墙费用最省，最省费用是多少？
（2）由于地理位置的限制，厂房另一边长（旧墙的临边）不能超过，如何利用旧墙使总费用最省？
答案：（1）答案见解析；（2）当（米）时，建墙费用最省.
【解析】
（1）求得总费用为，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，由此可得出结论；
（2）由已知条件可得出，利用定义证明函数在区间上的单调性，由此可得出结论.
【详解】
（1）设利用旧墙的一面的矩形边长为，则矩形的另一面边长为，
利用旧墙的一段为矩形的一面边长，则修旧墙费用为元，
将剩余的旧墙拆得所得材料建新墙的费用为元，
其余建新墙费用为元，
总费用为，
当且仅当时，即当（米）时，等号成立，
所以，当（米）时，建墙费用最省，最省费用是元；
（2）下面利用定义证明函数在区间上的单调性.
任取、且，即，
则
，
因为，则，，
，即，所以，函数在区间上单调递减，
因此，当（米）时，即厂房另一边长（旧墙的临边）为米时，建墙费用最省.
【总结提升】
1. “对号函数”模型.
求函数解析式时要先确定函数的定义域．对于此类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足“一正、二定、三相等”，优先考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，也可借用导数来研究函数的单调性．
2.分式函数模型的应用技巧
（1）利用“配凑法”，创造应用基本不等式的条件.注意“一正、二定、三相等”.
（2）利用“对号函数”的单调性.
热点五：指数、对数函数模型
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
答案：C
【解析】
分析：
根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】
由，当时，，
则.
故选：C.
【典例10】（2023·海南·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
答案：B
【解析】
分析：
根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】
因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【典例11】（2023·全国·高考真题（文））Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
答案：C
【解析】
分析：
将代入函数结合求得即可得解.
【详解】
，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【典例12】（2023·全国·高三专题练习）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗该病有效，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为小时
答案：B
【解析】
分析：
根据图象求出函数的解析式，可判断A选项；解不等式可判断BD选项；将代入函数解析式，可判断C选项.
【详解】
将点的坐标代入，可得，
将点的坐标代入可得，解得，
所以，，A对；
当时，由可得，此时；
当时，由可得，此时.
故不等式的解为，
所以，注射一次治疗该病的有效时间长度为小时，B错D对；
注射该药物小时后每毫升血液含药量为（微克），故C正确.
故选：B.
【总结提升】
1.在函数应用问题考查中，对指数函数、对数函数模型的考查已成为高频热点，既能与现代科技活动、科技成果结合，又能较好的考察学生的运算能力，也能激发学生学习的浓厚兴趣.
2.指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧
(1与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
【精选精练】
一.单选题
1．(2023·全国·模拟预测（文））上高中的小黑为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平方步之间的换算关系，只记得一亩约在200—250平方步之间，则这块田地的亩数是（ ）
A．B．1C．D．2
答案：B
【解析】
分析：
先求出总的面积为（平方步），再转化为亩数为之间，对照四个选项，即可得到正确答案.
【详解】
总的面积为（平方步）.
因为一亩约在200—250平方步之间，所以转化为亩数为之间，即之间，对照四个选项，只有B正确.
故选：B
2．（2023·全国·高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
答案：B
【解析】
分析：
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】
由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
3．(2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%．若杂质减少到原来的10%以下，则至少需要过滤（ ）
A．2次B．3次C．4次D．5次
答案：C
【解析】
分析：
列不等式后求解
【详解】
由题意得，n为正整数，则n最小取．
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：，）
A．5B．10C．15D．20
答案：B
【解析】
分析：
根据题意列出方程，利用指数与对数的互化即可求解.
【详解】
由题意知，，令，得，取以10为底的对数得，所以．
故选：B.
5.（2023·北京·高考真题（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
答案：A
【解析】
由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】
两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
6．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为（k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：；参考时间轴：
A．战国B．汉C．唐D．宋
答案：C
【解析】
分析：
根据“半衰期”求得，进而解方程，求得，从而可推断出该文物所属朝代.
【详解】
解：当时，，故，解得，所以，
由题意得，，解得，
而，可推断该文物属于唐.
故选：C．
7．(2023·全国·模拟预测（文））在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积，这里．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的面积最大值为（ ）．
A．B．C．10D．12
答案：D
【解析】
分析：
根据给定信息列出关于b的函数关系，再借助二次函数计算作答.
【详解】
依题意，，则，
所以，，
所以的面积最大值是12.
故选：D
8．（2023·全国·高三专题练习）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由题意可得，化简后利用换元法解此不等式可求得结果
【详解】
由题意得，小时后的电量为毫安，此时转为B模式，
可得10小时后的电量为，则由题意可得
，
化简得，
即
令，则，
由题意得，则，
令分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等，
由函数和的图象可知，
该不等式的解集为，
所以，得，
故选：C
9．(2023·全国·模拟预测（理））血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．当人体长时间处于高原、高空或深海环境中，容易引发血氧饱和度降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位：%）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为76．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）（结果精确到0.1，，，）
A．0.4小时B．0.5小时C．0.6小时D．0.7小时
答案：D
【解析】
分析：
依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数
【详解】
设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： D
10．(2023·云南师大附中模拟预测（理））某工厂生产的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不超过1%，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为，其中，为正常数.如果在前10小时消除了50%的污染物，则排放前至少还需过滤的时间为（参考数据：）（ ）
A．23.2hB．39.8hC．56.4hD．73.0h
答案：C
【解析】
分析：
根据给定的模型及已知求出常数k的表达式，再求出排放前过滤的总时间即可计算作答.
【详解】
依题意，，即，又，即，
于是得，即有，解得，
则排放前至少还需过滤的时间为.
故选：C
11．(2023·全国·高三专题练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（单位：贝尔），即．取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音强度y（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度x（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于100个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为（ ）．
A．10米B．20米C．50米D．100米
答案：B
【解析】
分析：
设甲、乙游客的声强分别为、，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，则代入两式相减可得答案.
【详解】
设甲游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，
乙游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，
则，，
两式相减得，
甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为20米．
故选：B.
12．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚､王亚平､叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）､火箭的质量（除燃料外）m（单位：）的关系是.为使火箭的最大速度达到8100，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据）（ ）
A．13B．14C．15D．16
答案：B
【解析】
分析：
将火箭的最大速度8100代入中，结合对数、指数运算即可求得答案.
【详解】
由题意可得，将火箭的最大速度8100代入中，
得：，即，
所以，故，
故选:B
二、填空题
13．(2023·上海静安·模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）
答案：2.5##
【解析】
分析：
设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，
再根据题意求，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.
【详解】
设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则
由题意可知，，
，
所以
倍.
所以最大信息传递率C会提升到原来的倍.
故答案为：2.5
14．(2023·上海市实验学校模拟预测）如图，将一张边长为的正方形纸折叠，使得点始终落在边上，则折起的部分的面积最小值为______________
答案：##
【解析】
分析：
设且，结合勾股定理、相似三角形的相似比求得、关于a的表达式，再由梯形面积公式及二次函数性质求最小值.
【详解】
如下图示，若且，则，
若，则，
由，有，可得，故，
由知：，则，，
所以，，令，则，
由，则，可得，
所以折起的部分的面积，
故当时.
故答案为：
三、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系．设t时刻甲、乙种群的数量分别为，（起始时刻为）．由数学家Ltka和Vlterra提出的模型是函数，满足方程，，其中a，b，c，d均为非负实数．
(1)下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图．为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：①；②，其中m，n均为大于1的正数．根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由．
(2)设，．
①函数的单调性；
②根据①中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝．
注：在题设条件下，各种群数量均有上限值．
答案：(1)应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势；理由见解析
(2)①为常函数；②答案见解析
【解析】
分析：
（1）根据图像特点即可判断答案
（2）第一小问可先求出,根据值的正负情况判断的单调性；第二小问由（i）知 为常数，，通过对种群初始数量和时刻数量的分类讨论来确定种群的变化趋势，从而得出结论
（1）由折线图知，甲种群数量的增长速度随着时间的推移而加快．而增长速度大致对应种群数量对时间的导数．如选用模型①，，是关于时间的减函数，不符合折线图；如选用模型②，，是关于时间的增函数，符合折线图．所以应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势
（2）由题设知，．（i），．消去条件中的得，所以．所以为常函数．（ii）由（i），，．由于各种群数量均有上限值，不妨设甲乙种群数量的上限值分别为，．①若，．则当时，，此时可以近似认为甲种群灭绝；②若，．则当时，，此时可以近似认为乙种群灭绝；③若，，甲乙种群数量之比保持恒定，可能不出现灭绝的情况．综上所述，对所有的情况，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝
【点睛】
本题属于中档偏难题，考察非线性回归、创新情境等,，结合生态学知识、线性微分方程组等知识，以统计学基础知识为载体，考察考生的综合能力．
16．(2023·河南·模拟预测）近年来随着科技的发展，药物制剂正朝着三效，即高效、速效、长效；以及三小，即毒性小、副作用小、剂量小的方向发展．缓释片是通过一些特殊的技术和手段，使药物在体内持续释放，从而使药物在体内能长时间的维持有效血药浓度，药物作用更稳定持久．某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第0.5小时起开始起效，第2小时达到最高12微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
(1)①当时，求y与x之间的函数表达式；
②当时，求y与x之间的函数表达式；
(2)如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间是多少小时．
答案：(1)① ；②
(2)11小时
【解析】
分析：
（1）①②分别设出和的函数表达式，代入点的坐标求解即可；
（2）直接将代入两个函数表达式，解出对应的，再作差计算有效时间即可.
(1)
①当时，设，由已知过点和，
代入得：，解得：，∴当时，y与x之间的函数表达式为；
②当时，y与x成反比例函数关系，∴设，把点代入得：，解得：，
∴当时，y与x之间的函数表达式为；
(2)
由题意得一次服药后的有效时间即时，∴把代入得，，解得：，
把代入得，，∴有效时间为（小时）．故一次服药后的有效时间是11小时．
17．(2023·全国·高三专题练习）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元.
(1)求的值；
(2)求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；
(3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值.
答案：(1)
(2)
(3)36元，最大值为
【解析】
分析：
（1）利用条件预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为万件，即可求得；
（2）根据一年的利润等于单件产品利润乘以年销售量即可列出函数关系式；
（3）利用导数求出函数的最值即可.
(1)
由题意可知，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件
即，解得，
(2)
(3)
令，，令，
∴在区间上为增函数，为减函数
即时，
∴当每年产品的售价为36元时，分公司一年的利润最大，最大值为
18．（2023·全国·高三专题练习）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点出发，沿着助滑道曲线滑到台端点起跳，然后在空中沿抛物线飞行一段时间后在点着陆，线段的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知在区间上的最大值为，最小值为．
(1)求实数，的值及助滑道曲线的长度．
(2)若运动员某次比赛中着陆点与起滑门点的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，）．
答案：(1)，，助滑道曲线的长度为米
(2)米
【解析】
分析：
（1）令，即可得到，，即可得到的几何意义，根据二次函数的性质得到，，即可求出、的值，从而求出曲线的长度；
（2）由（1）可得的解析式，依题意可得，代入解析式中解出，即可求出点坐标，根据两点间的距离公式计算可得；
(1)
解：因为，令，则，，
所以表示以为圆心，半径的圆弧，
因为由图象可知函数开口向下，
所以，又对称轴为，又，
所以当时，，
解得，所以，
即，，助滑道曲线的长度为米
(2)
解：依题意可得，，，
由（1）可得，
令，即，解得，（舍去）；
所以，所以，
即该运动员飞行距离约为米.
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f (x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)
对数函数模型
f(x)＝mlgax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)（较少考查）
“对号”函数模型
函数
性质
y＝ax
(a＞1)
y＝lgax
(a＞1)
y＝xn
(n＞0)
y＝kx＋b
(k＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
增函数
增函数
增函数
增函数
增长的速度
越来越快
越来越慢
相对较快
不变
图象的变化
越来越陡
越来越平
随n值而不同
直线上升