高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题10函数值大小比较【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题10函数值大小比较【原卷版+解析】，共35页。

【热点聚焦】
比较大小的问题，是高考命题中热点问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.从近两年命题情况看，题目的难度有增大趋势，往往需要构造函数，应用导数知识求解.
【重点知识回眸】
指数函数的图象与性质
1.指数函数的图象与性质
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
对数函数的定义、图象与性质
1. 对数函数的定义、图象与性质
2.对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
（三）五种幂函数的图象和性质比较
（四）常用技巧和方法
1.判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和
（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数
例如：等
2.比较大小的基本出发点：
（1）用好函数的单调性
（2）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况
例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同
，从而只需比较底数的大小即可
（3）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较
3.常用的指对数变换公式：
（1）
（2）
（3）
（4）换底公式：
进而有两个推论： （令）
（五）利用导数比较大小
1.导数运算法则：
（1）
（2）
2.常见描述单调性的形式
（1）导数形式：单调递增；单调递减
（2）定义形式：或：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减
3.技巧与方法：
（1）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整
（2）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较
（六）数形结合比较大小
1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系
（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小
（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大
2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.
【典型考题解析】
热点一 “幂”的比较大小
【典例1】(2023·全国·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若，则a､b､c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
（1）构建幂函数、指数函数模型；
（2）利用函数的单调性.
热点二 对数值比较大小
【典例3】(2023·天津·高考真题（理））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【典例4】（2023·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a【典例5】(2023·全国·高考真题（理））设，，则
A．B．
C．D．
【总结提升】
1.比较对数值大小的常见类型及解题方法
底数为同一常数：可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母：需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同：可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同：常借助1,0等中间量进行比较
2.复杂对数式的比较大小，可注意“化同底”、应用“单调性”、结合“均值不等式”等.
热点三 “混合函数值”比较大小
【典例6】(2023·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例7】（2023·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【典例8】(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
解答步骤：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1，-1等为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，按顺序排列各数.
热点四 “函数值、常数”比较大小
【典例9】（2023·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例10】（2023·全国·高考真题（文））设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
结合函数的单调性，通过适当“放缩”，与给定数值比较.
热点五：结构复杂型比较大小
【典例12】(2023·全国·高考真题（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例13】(2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【典例14】（2023·全国·高考真题（理））设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
此类比较大小问题，难度较大，关键难点是结合给定数值的结构特点，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.近两年比较“活跃”，应倍加重视.
热点六：“条件等式”下比较大小
【典例15】(2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例16】（2023·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例17】（天津·高考真题（文））设均为正数，且，，．则（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
常见思路：
1.从题目条件出发，探求比较对象的关系；
2.根据条件等式的结构特征，发现同构特点，构造函数.
热点七：“抽象函数值”比较大小
【典例18】（2023·全国·高考真题（理））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例19】（山东·高考真题（文））已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·模拟预测（理））若，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
2．(2023·青海·模拟预测（理））若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·河南安阳·模拟预测（文））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知lgax＞lgay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．y2＜x2B．tanx＜tanyC．D．
6．(2023·河南安阳·模拟预测（理））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记a＝f（lg0．53），b＝f（lg25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜b＜c．
9．（2023·福建·莆田华侨中学高三阶段练习）设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·江西·高三阶段练习（理））设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·湖北武汉·高三开学考试）若，其中，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
12．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
13．(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
14．(2023·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．B．
C．D．
15．(2023·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则
A．B．C．D．
二、填空题
16．（2023·全国·高三专题练习）已知则a，b，c的大小关系是________.
17．(2023·福建·上杭一中模拟预测）设，则的大小关系为___________.（从小到大顺序排）
三、解答题
18．（湖北·高考真题（文））为圆周率，为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；
（3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点(0,1)
性质
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
定义
函数y＝lgax(a＞0且a≠1)叫做对数函数
图象
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up12(eq \f (1,2))
y＝x－1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；
在(0，＋∞) 上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
专题10 函数值大小比较
【热点聚焦】
比较大小的问题，是高考命题中热点问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.从近两年命题情况看，题目的难度有增大趋势，往往需要构造函数，应用导数知识求解.
【重点知识回眸】
指数函数的图象与性质
1.指数函数的图象与性质
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
对数函数的定义、图象与性质
1. 对数函数的定义、图象与性质
2.对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
（三）五种幂函数的图象和性质比较
（四）常用技巧和方法
1.判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和
（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数
例如：等
2.比较大小的基本出发点：
（1）用好函数的单调性
（2）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况
例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同
，从而只需比较底数的大小即可
（3）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较
3.常用的指对数变换公式：
（1）
（2）
（3）
（4）换底公式：
进而有两个推论： （令）
（五）利用导数比较大小
1.导数运算法则：
（1）
（2）
2.常见描述单调性的形式
（1）导数形式：单调递增；单调递减
（2）定义形式：或：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减
3.技巧与方法：
（1）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整
（2）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较
（六）数形结合比较大小
1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系
（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小
（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大
2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.
【典型考题解析】
热点一 “幂”的比较大小
【典例1】(2023·全国·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】因为，，，
因为幂函数在R上单调递增，所以，
因为指数函数在R上单调递增，所以，
即b故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若，则a､b､c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即
故选：A
【规律方法】
（1）构建幂函数、指数函数模型；
（2）利用函数的单调性.
热点二 对数值比较大小
【典例3】(2023·天津·高考真题（理））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
【典例4】（2023·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a答案：A
分析：由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【典例5】(2023·全国·高考真题（理））设，，则
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
【总结提升】
1.比较对数值大小的常见类型及解题方法
底数为同一常数：可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母：需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同：可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同：常借助1,0等中间量进行比较
2.复杂对数式的比较大小，可注意“化同底”、应用“单调性”、结合“均值不等式”等.
热点三 “混合函数值”比较大小
【典例6】(2023·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
【典例7】（2023·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
【典例8】(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据题意，结合三角函数，指数函数与对数函数的性质，得到，，，即可求解.
【详解】因为，则，，，
即，，，所以.
故选:D．
【规律方法】
解答步骤：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1，-1等为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，按顺序排列各数.
热点四 “函数值、常数”比较大小
【典例9】（2023·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
【典例10】（2023·全国·高考真题（文））设，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【总结提升】
结合函数的单调性，通过适当“放缩”，与给定数值比较.
热点五：结构复杂型比较大小
【典例12】(2023·全国·高考真题（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.
【详解】因为,因为当
所以,即,所以；
设，
，所以在单调递增，
则,所以，
所以,所以，
故选：A
【典例13】(2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
另解：令，，
（1），
，
，
所以，，即，所以，；
（2），
令，所以，，
所以，，
所以，，
故选C.
【典例14】（2023·全国·高考真题（理））设，，．则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b综上，,
故选：B.
【总结提升】
此类比较大小问题，难度较大，关键难点是结合给定数值的结构特点，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.近两年比较“活跃”，应倍加重视.
热点六：“条件等式”下比较大小
【典例15】(2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
【典例16】（2023·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【典例17】（天津·高考真题（文））设均为正数，且，，．则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，
与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．
【总结提升】
常见思路：
1.从题目条件出发，探求比较对象的关系；
2.根据条件等式的结构特征，发现同构特点，构造函数.
热点七：“抽象函数值”比较大小
【典例18】（2023·全国·高考真题（理））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
【典例19】（山东·高考真题（文））已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.
【详解】因为满足，所以，
所以函数是以8为周期的周期函数，
则.
由是定义在上的奇函数，
且满足，得.
因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，
所以在区间上是增函数，
所以，即.
【点睛】
【总结提升】
在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·模拟预测（理））若，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
答案：A
分析：根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可.
【详解】，且，
，，
故选：A
2．(2023·青海·模拟预测（理））若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：分别利用对数函数和指数函数的单调性即可判断.
【详解】对A，因为，所以，所以，故A错误；
对B，因为，所以，所以，故B正确；
对C，因为，所以，又，所以，故C错误；
对D，因为，所以，所以，故D错误.
故选：B.
3．(2023·河南安阳·模拟预测（文））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据对数函数的单调性，比较，，与1的大小关系，即可得到结果.
【详解】由题，，，，所以最大，结合选项，
故选：A
4．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据指数函数与对数函数的单调性，利用中间量法即可得出答案.
【详解】解：，
，
，
因为，
所以.
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知lgax＞lgay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．y2＜x2B．tanx＜tanyC．D．
答案：C
分析：根据对数函数的单调性判断A、D选项，取特殊值法判断B，根据对数函数的单调性以及不等式性质判断C.
【详解】∵lgax＞lgay（0＜a＜1），
∴0＜x＜y，∴y2＞x2，，故A和D错误；
选项B，当,取x，y时，,但；显然有tanx＞tany，故B错误；
选项C，由0＜x＜y可得，故C正确；
故选：C．
6．(2023·河南安阳·模拟预测（理））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：三个对数底数不同，真数也不同，选取中间值比较大小
【详解】，，
即，所以
又，
所以，所以
又，所以
所以，所以
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）已知则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：首先用作差法及基本不等式判断、，再由幂函数的性质得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可判断、.
【详解】解：
因为，即，
所以，即，
又，
令，则，所以当时，当时，所以，
即，当且仅当时取等号，所以，
令，则，所以当时，
所以在上单调递增，显然，又，所以，
即，
所以，即；
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记a＝f（lg0．53），b＝f（lg25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜b＜c．
答案：B
分析：先求出m＝0，进而判断出的图像过原点，且关于y轴对称，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．由0＜lg23＜lg25，即可得到c＜a＜b．
【详解】由函数为偶函数，
所以，即，解得m＝0，
即f（x）＝2|x|－1，其图像过原点，且关于y轴对称，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．
又a＝f（lg0．53）＝f（－lg23）＝f（lg23），b＝f（lg25），
c＝f（0），且0＜lg23＜lg25，所以c＜a＜b．
故选：B
9．（2023·福建·莆田华侨中学高三阶段练习）设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：由奇偶性和单调性求解即可
【详解】为奇函数，
∴，
又∵
∴，，，
又∵，且函数在区间上是增函数，
∴，
∴，，
故选：A.
10．(2023·江西·高三阶段练习（理））设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：根据a、b、c算式特征构建函数，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系.
【详解】令，则，
因此在上单调递减，
又因为，，，
因为，所以．
故选：B．
11．(2023·湖北武汉·高三开学考试）若，其中，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：由题知，进而根据得，再构造函数，结合其单调性得，即，进而得答案.
【详解】解：因为，其中，，
所以，其中，，
令，，
故时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以，
所以
故令，则等价于，
因为，故函数在单调递增，
所以等价于，即
所以，即.
故选：D
12．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：根据式子结构构造函数，利用导数判断出在上单调递减，得到，进而得到，即可得到答案.
【详解】令,则.
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减.
而
所以在上有.
所以在上单调递减.
所以，即
故.故.
故选：D
13．(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：设，，利用导数可求得和在上的单调性，由单调性得，，由此可得的大小关系.
【详解】由题意知：，，；
设，则，
当时，，在上单调递增，
，即，又，，即；
设，则；
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，，
在上单调递减，，
即，，即；
综上所述：.
故选：B.
14．(2023·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：观察，发现都含有，把换成，自变量在或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较的大小.
【详解】令，，
令，，
当时，，单调递增，
又，所以，又，
所以，在成立，所以即，
令，，在为减函数，所以，即，
令，，在为减函数，所以，即，
所以，成立，
令，则上式变为，所以
所以，
所以.
故答案为：B.
15．(2023·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则
A．B．C．D．
答案：B
分析：先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.
【详解】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
二、填空题
16．（2023·全国·高三专题练习）已知则a，b，c的大小关系是________.
答案：或
分析：利用指数函数的单调性比较大小即可
【详解】因为是R上的减函数，且，
所以，所以，
因为是R上的增函数，且，
所以，所以，
所以
故答案为：或
17．(2023·福建·上杭一中模拟预测）设，则的大小关系为___________.（从小到大顺序排）
答案：
分析：构造函数和，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.
【详解】记，则，当时，,故在上单调递增，故，故，
记，则，当时，,故在单调递减，故，故，因此
故答案为：
三、解答题
18．（湖北·高考真题（文））为圆周率，为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；
（3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
答案：（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）最大数为，最小数为；（3），，，，，.
【详解】试题分析：（1）先求函数的定义域，用导数法求函数的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函数根据函数、、的性质，确定，，，，，这6个数中的最大数与最小数；（3）由（1），（2）的结论只需比较与和与的大小，时，，即，在上式中，令，又，则，即得，整理得，估算的值，比较与3的大小，从而确定与的大小关系，再根据，确定与的大小关系，最后确定6个数从小到大的顺序.
（1）函数的定义域为，因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
故函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2）因为，所以，，即，，
于是根据函数、、在定义域上单调递增，
所以，，
故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中，
由及（1）的结论得，即，
由得，所以，
由得，所以，
综上，6个数中的最大数为，最小数为.
（3）由（2）知，，，又由（2）知，，
故只需比较与和与的大小，
由（1）知，当时，，即，
在上式中，令，又，则，即得①
由①得，，
即，亦即，所以，
又由①得，，即，所以，
综上所述，，即6个数从小到大的顺序为，，，，，.
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点(0,1)
性质
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
定义
函数y＝lgax(a＞0且a≠1)叫做对数函数
图象
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up12(eq \f (1,2))
y＝x－1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；
在(0，＋∞) 上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)