高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题12导数与函数的单调性【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题12导数与函数的单调性【原卷版+解析】，共33页。
【热点聚焦】
单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.从高考命题看，对函数单调性的考查主要有：利用导数求函数的单调区间、判断单调性、已知单调性，求参数等．
【重点知识回眸】
（一）函数的单调性与导数的关系
提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
（二）常用结论
1．在某区间内f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
（三）常见问题解题方法
1.导数求单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格.
2.求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解
3.求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式
4.含参数问题分类讨论的时机
分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，当参数的不同取值对下一步的结果影响不相同时，就是分类讨论开始的时机.
【典型考题解析】
热点一 不含参数的函数的单调性
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是 （ ）
A．B．(0,3)C．(1,4)D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cs x，则f(x)的单调递增区间为________．
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的单调递增区间为__．
【规律方法】
(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降．
(2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．
热点二 含参数的函数的单调性
【典例5】（2023·全国·高考真题（文））设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数在区间内的单调性.
【方法总结】
解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
热点三 已知函数的单调性求参数的取值范围
【典例7】（全国·高考真题（文））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例8】（全国·高考真题（理））若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______.
【典例9】（2023·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【规律方法】
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．
(2)可导函数在区间D上存在单调区间，实际上就是f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)在该区间上存在解集，即f ′(x)max＞0(或f ′(x)min＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f (x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
热点四 函数单调性与函数图像
【典例10】(2023·全国·高考真题（文））函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例12】（2023·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【规律方法】
有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
热点五 函数单调性与比较大小、解不等式
【典例13】(2023·全国·高考真题（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例14】(2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【典例15】(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【典例16】（全国·高考真题（理））设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【典例17】（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【典例18】(2023·湖北·襄阳五中高三阶段练习）设，则的大小关系是___________.
【规律方法】
构造函数解不等式或比较大小
一般地，在不等式中若同时含有f (x)与f ′(x)，常需要通过构造含f (x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．
常见构造的辅助函数形式有：
(1)f (x)＞g(x)→F(x)＝f (x)－g(x)；
(2)xf ′(x)＋f (x)→[xf (x)]′；
(3)xf ′(x)－f (x)→；
(4)f ′(x)＋f (x)→[exf (x)]′；
(5)f ′(x)－f (x)→eq \s\up12(′).
（6）→
（7）→
（8）→.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数B．在区间上，是减函数
C．为的极小值点D．2为的极大值点
3．（2023·全国·高三专题练习）函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
4．(2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河北深州市中学高三阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·四川成都·高三期末（理））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））若且，且，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
11．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知，且满足，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的单调递减区间是________ ．
13．（2023·河南宋基信阳实验中学高三开学考试（文））若函数在上为单调减函数，则实数的取值范围是_________.
14．(2023·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）函数的单调递增区间为__________.
15．（2023·全国·高三专题练习），若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______
16．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数的定义域为，当讨，，且，则不等式的解集为___________.
三、解答题
17．(2023·四川成都·高三期末（理））设函数，其中．若函数的图象在处的切线与x轴平行．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
条件
结论
函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导
f ′(x)＞0
f (x)在(a，b)内单调递增
f ′(x)＜0
f (x)在(a，b)内单调递减
f ′(x)＝0
f (x)在(a，b)内是常数函数
专题12 导数与函数的单调性
【热点聚焦】
单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.从高考命题看，对函数单调性的考查主要有：利用导数求函数的单调区间、判断单调性、已知单调性，求参数等．
【重点知识回眸】
（一）函数的单调性与导数的关系
提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
（二）常用结论
1．在某区间内f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
（三）常见问题解题方法
1.导数求单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格.
2.求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解
3.求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式
4.含参数问题分类讨论的时机
分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，当参数的不同取值对下一步的结果影响不相同时，就是分类讨论开始的时机.
【典型考题解析】
热点一 不含参数的函数的单调性
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：求导，解不等式可得.
【详解】的定义域为
解不等式，可得，
故函数的递减区间为.
故选：B．
【典例2】（广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是 （ ）
A．B．(0,3)C．(1,4)D．
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得，，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故选D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cs x，则f(x)的单调递增区间为________．
答案：，
分析：对求导，令f′(x)＝0，得x＝或x＝，求出 的解即可求出答案.
【详解】f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝，
当0