高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题17导数与函数零点【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题17导数与函数零点【原卷版+解析】，共42页。

【热点聚焦】
从高考命题看，围绕函数零点问题，常常以基本初等函数为载体，从以下几个方面考查：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根分布问题；（3）判断根的个数问题；（4）根据方程解的情况确定求参数的值或范围；（5）与函数零点相关的不等式证明问题. 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.上述情形除（1）简单，其它往往与分段函数结合或与导数的应用结合，难度往往较大.
【重点知识回眸】
一.零点基础知识：
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
提醒：函数的零点不是函数y＝f (x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．
提醒：函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点．
3.有关函数零点的三个结论
(1)若y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)一定有零点．
(2)f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
(3)若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，且f (x)的图象连续不断，则f (a)·f (b)<0⇒函数f (x)在区间[a，b]上只有一个零点．
4.函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系
（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点.
（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫.
（3）图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.
三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点.
二．常见导数与 函数零点问题
（1）分离参数法：
一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；
（2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.
【典型考题解析】
热点一 讨论或证明函数零点的个数
【典例1】（2023·全国·高考真题（文））函数在的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【典例2】(2023·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【典例3】（2023·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【典例4】（2023·河南·高三开学考试（理））已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，试讨论函数的零点个数．
【总结提升】
1.确定函数零点个数问题，一般有三中思路：解方程法、数形结合法、零点存在定理；
2.根据参数确定函数零点的个数，常常应用数形结合法，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”．
热点二 已知函数零点个数求参数的取值范围
【典例5】(2023·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
【典例6】(2023·全国·高考真题（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【典例7】（2023·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
【技法总结】
1. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．
2. 函数f (x)有零点⇔f (x)＝0有解，此时可分离参数，化为a＝g(x)的形式，则a的取值范围就是g(x)的值域．
3.导数与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
热点三 判定函数零点所在区间
【典例8】(2023·北京·高考真题（文））已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【典例9】(2023·浙江·高考真题（理））设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
【典例10】（2023·全国·高三专题练习）设函数，则（ ）
A．在区间，内均有零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有零点
【总结提升】
由f (a)·f (b)＞0，并不能说明函数f (x)在区间(a，b)上没有零点，若f (x)在(a，b)上是单调函数，则f (x)在(a，b)上无零点．
热点四 其它零点问题
【典例11】（福建·高考真题（理））对于实数a和b，定义运算“*”：
设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________
【典例12】(2023·广东·高三阶段练习）定义在R上的函数满足；且当时，．则方程所有的根之和为（ ）
A．14B．12C．10D．8
【典例13】(2023·全国·高考真题（理））已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·重庆·三模）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有5个不同的实数解，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中、，为自然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·云南省下关第一中学高三开学考试）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知函数，直线与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·四川省绵阳南山中学高二开学考试）已知函数且有两个零点，其中一个零点在区间内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数，的零点个数（ ）
A．5或6个B．3或9个C．9或10个D．5或9个
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）函数在下列哪个区间内必有零点（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为、
B．函数的值域为
C．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是
D．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是
13．（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数在单调递减，在单调递增
C．函数在定义域上有且仅有两个零点
D．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是
三、填空题
14．（2023·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
15.(2023·天津·高考真题（理））已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
四、解答题
16．(2023·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在处有极值且，当函数恰有三个零点时，求实数的取值范围.
17．（2023·全国·高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
18．(2023·全国·高考真题（理））已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路
（1）可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；
（2）证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a)·f (b)＜0.
（3）涉及两函数的交点：利用数形结合思想方法，通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围.
2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤
第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；
第二步，证明端点的导数值异号.
3.已知函数有零点求参数范围常用的方法
专题17 导数与函数零点
【热点聚焦】
从高考命题看，围绕函数零点问题，常常以基本初等函数为载体，从以下几个方面考查：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根分布问题；（3）判断根的个数问题；（4）根据方程解的情况确定求参数的值或范围；（5）与函数零点相关的不等式证明问题. 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.上述情形除（1）简单，其它往往与分段函数结合或与导数的应用结合，难度往往较大.
【重点知识回眸】
一.零点基础知识：
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
提醒：函数的零点不是函数y＝f (x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．
提醒：函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点．
3.有关函数零点的三个结论
(1)若y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)一定有零点．
(2)f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
(3)若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，且f (x)的图象连续不断，则f (a)·f (b)<0⇒函数f (x)在区间[a，b]上只有一个零点．
4.函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系
（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点.
（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫.
（3）图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.
三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点.
二．常见导数与 函数零点问题
（1）分离参数法：
一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；
（2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.
【典型考题解析】
热点一 讨论或证明函数零点的个数
【典例1】（2023·全国·高考真题（文））函数在的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：B
【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
【典例2】(2023·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
答案：AC
分析：利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.
故选：AC.
【典例3】（2023·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
答案：①②④
分析：由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
【典例4】（2023·河南·高三开学考试（理））已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，试讨论函数的零点个数．
答案：(1)
(2)当时，有1个零点；当时，有2个零点
分析：（1）利用导数，结合切点和斜率求得切线方程.
（2）求得，对进行分类讨论，结合函数的单调性、零点的存在性定理求得正确答案.
（1）
，，所以，
由题意知，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）
时，，
令，解得，，
（ⅰ）当时，在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，故函数在上有且只有一个零点；
（ⅱ）当时，此时，
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
因为，所以在上有且只有一个零点，
由在上单调递减知，
构造函数，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，即，
所以，所以，
又因为当时，，
所以，
所以，
所以，使得，
所以当时，在上有且仅有两个零点．
综上所述，当时，有1个零点；当时，有2个零点．
【总结提升】
1.确定函数零点个数问题，一般有三中思路：解方程法、数形结合法、零点存在定理；
2.根据参数确定函数零点的个数，常常应用数形结合法，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”．
热点二 已知函数零点个数求参数的取值范围
【典例5】(2023·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
答案：
分析：设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
【典例6】(2023·全国·高考真题（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
答案：(1)
(2)
分析：（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
（1）当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；
（2），则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.
【典例7】（2023·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
答案：（1）详见解析；(2).
分析：（1），对分和两种情况讨论即可；
（2）有三个零点，由（1）知，且，解不等式组得到的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.
【详解】（1）由题，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
令，得或，所以在上单调递减，在
，上单调递增.
（2）由（1）知，有三个零点，则，且
即，解得，
当时，，且，
所以在上有唯一一个零点，
同理，，
所以在上有唯一一个零点，
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为.
【技法总结】
1. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．
2. 函数f (x)有零点⇔f (x)＝0有解，此时可分离参数，化为a＝g(x)的形式，则a的取值范围就是g(x)的值域．
3.导数与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
热点三 判定函数零点所在区间
【典例8】(2023·北京·高考真题（文））已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
【典例9】(2023·浙江·高考真题（理））设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】，因为，所以，，因此在上有零点，故在上有零点；
，而，即，因此，故在上一定存在零点；
虽然，但，又，即，从而，于是在区间上有零点，也即在上有零点，
排除B，C，D，那么只能选A．
【典例10】（2023·全国·高三专题练习）设函数，则（ ）
A．在区间，内均有零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有零点
答案：D
分析：先对函数进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．
【详解】解：由题得，令解得；
令解得；
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在点处有极小值；
又，，，
即，，
所以在区间内无零点，在区间内有零点.
故选：D．
【总结提升】
由f (a)·f (b)＞0，并不能说明函数f (x)在区间(a，b)上没有零点，若f (x)在(a，b)上是单调函数，则f (x)在(a，b)上无零点．
热点四 其它零点问题
【典例11】（福建·高考真题（理））对于实数a和b，定义运算“*”：
设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________
答案：
【详解】由定义运算“*”可知
即，该函数图像如下：
由，假设
当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，
m的取值范围是，且满足方程，所以
令则，
所以
令
所以，
又在递增的函数，
所以，所以，所以在递减，
则当时，；当时，
所以.
【典例12】(2023·广东·高三阶段练习）定义在R上的函数满足；且当时，．则方程所有的根之和为（ ）
A．14B．12C．10D．8
答案：A
分析：根据题中所给的函数性质可得的周期为4且关于，再画图分析与的交点对数，进而根据对称性可得根之和即可.
【详解】由可得为奇函数，且关于对称.
又由题意，故，所以关于对称，且，故的周期为4.
又当时，，此时，故在为增函数.综上可画出的函数部分图象.
又方程的根即与的交点，易得在区间上均有3个交点，且关于对称，加上共7个交点，其根之和为
故选：A
【典例13】(2023·全国·高考真题（理））已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
答案：(1)
(2)证明见的解析
分析：（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.
（1）的定义域为，令,得当单调递减当单调递增，若,则,即所以的取值范围为
（2）由题知,一个零点小于1,一个零点大于1不妨设要证,即证因为,即证因为,即证即证即证下面证明时，设，则设所以,而所以,所以所以在单调递增即,所以令所以在单调递减即,所以；综上, ,所以.
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：令，即可得到，则函数的零点个数转化为函数与的交点个数，画出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】解：由题意，令，即，
则函数的零点个数，等价于两个函数与的交点个数，
与两函数的图象如下图所示：
由图知，两个函数有个交点，故函数的零点个数是.
故选：B．
2．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：分别求出、、、的值，即可判断其正负号，利用零点存在定理则可选出答案.
【详解】由题意知：，，
，.
由零点存在定理可知在区间一定有零点.
故选：C.
3．(2023·重庆·三模）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
答案：C
分析：解方程可得结果.
【详解】当时，由可得，解得（舍去）；
当时，由可得，即或，解得或.
综上所述，函数的零点个数为.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有5个不同的实数解，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：解方程得或，根据的取值分类讨论即可.
【详解】方程，解得或，
若，，
解得或0或2，不符合题意，所以，
由，可得原方程有3个不等实根或0或2；
所以只要有2个不等实根即可．
由可得，
即有，
综上可得．
故选：A．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中、，为自然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：由可得，作出函数函数与的图象在上有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则，可得，
所以，，则，
由可得，
因为函数在区间内有两个零点，
所以，函数与的图象在上有两个交点，
作出与的函数图象，如图所示：
若直线经过点，则，
若直线经过点，则，
结合图形可知，实数的取值范围是.
故选：A．
6．(2023·云南省下关第一中学高三开学考试）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：由已知可得在上有个不同零点即可，利用正弦函数的性质列出不等式，解出正实数的范围．
【详解】令，解得，即在上仅有一个零点，所以只需在上有个不同零点即可．
当时，，所以，即
故选：A
7．（2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知函数，直线与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：首先考查临界情况，利用导数求得切线的斜率，据此可求得实数的取值范围
【详解】
当过原点的直线与函数的图象相切时，设切点为，
由，可得过点的切线方程为，
代入点可得，解得，此时切线的斜率为，
由函数的图象可知，若直线与函数的图象有两个交点，直线的斜率的取值范围为．
故答案选：D
8．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：由函数在在上为单调函数，且当时单调递减，则满足，可得到的范围；再将有三个不同的零点问题转化为函数和有三个交点问题，画出两个函数的图象，可先判断当时存在两个交点，则只需满足时有且仅有一个交点即可，进而求解，综合得到的范围.
【详解】由题，因为在上为单调函数，
且时，单调递减，
所以，解得，
在同一坐标系中画出和的图象，如图所示：
由图象可知当时，和的图象有两个交点，
故只需当时，和的图象有且只有一个交点，
当，即，即时，满足题意；
当，即时，只需与相切，
联立可得，则，解得，
综上，的取值范围是
故选：D
9．（2023·四川省绵阳南山中学高二开学考试）已知函数且有两个零点，其中一个零点在区间内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：由题意知，一个根在区间内，得关于的不等式，再利用线性规划的方法求出的取值范围
【详解】解：由题意得，即，且，
即或（不合题意舍去）
视为变量，作出可行域如图，
设，∴，得到一簇斜率为1，截距为的平行线，
∴由图可得当直线过与b轴的交点时截距最大，此时z最小；
在可行域里面不能找到截距最小的时候，所以z无最大值，
因为，∴，
∴的最小值为：，
∴的取值范围为：，
故选：B
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数，的零点个数（ ）
A．5或6个B．3或9个C．9或10个D．5或9个
答案：D
分析：设，求导分析的最值与极值，画出图形，再分析与的根的范围与个数即可
【详解】设，则由，
得，即，
又，
由得或，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，
即函数在处取得极大值，
函数在处取得极小值，
又由，可得图象：
若，，则方程有三个解，
满足，，，
则当时，方程，有3个根，
当时，方程，有3个根，
当时，方程，有3个根，
此时共有9个根，
若，，则方程有两个解，
满足，，
则当时，方程，有3个根，
当，有2个根，
此时共有5个根，
同理，，也共有5个根
故选：D．
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）函数在下列哪个区间内必有零点（ ）
A．B．
C．D．
答案：AD
分析：由零点的存在性定理求解即可
【详解】，，
，，
，
因为，
所以在和内存在零点.
故选：AD
12．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为、
B．函数的值域为
C．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是
D．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是
答案：ACD
分析：利用函数的单调性与导数之间的关系可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；数形结合可判断CD选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，
当时，，则，由可得，
所以，函数的单调减区间为、，A对；
对于B选项，当时，，
当时，，
因此，函数的值域为，B错；
对于CD选项，作出函数的图像如下图所示：
若，由可得，则方程只有两个不等的实根；
若，由可得或或，
由图可知，方程有个不等的实根，方程只有一个实根，
若关于的方程有个不相等的实数根，则，C对；
若关于的方程有个不相等的实数根，则，D对.
故选：ACD.
13．（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数在单调递减，在单调递增
C．函数在定义域上有且仅有两个零点
D．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是
答案：AB
分析：对于A，不等式转化为，从而可求出其解集，对于B，对函数求导后，利用导数可求出函数的单调区间，对于C，令直接求解零点，对于D，由选项B可求出函数的值域，从而可求出实数m的取值范围.
【详解】对于A，由，得，因为，所以，解得，所以不等式的解集为，所以A正确，
对于B，的定义域为，由，得，令，得或，令，得或，所以在和上递增，在和上递减，所以B正确，
对于C，令，得，所以在定义域内有且只有一个零点，所以C错误，
对于D，由选项B可知在和上递增，在和上递减，因数，，且当从1的左侧趋近于1时，，当从1的右侧趋近于1时，，所以的值域为，所以若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是，所以D错误，
故选：AB
三、填空题
14．（2023·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
答案：.
分析：分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
15.(2023·天津·高考真题（理））已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
答案：
【详解】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
详解：分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.
四、解答题
16．(2023·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在处有极值且，当函数恰有三个零点时，求实数的取值范围.
答案：(1)答案见解析
(2)
分析：（1）求导，分情况讨论导数的正负情况及函数的单调性；
（2）根据极值情况可得，函数有三个零点，可转化为函数与函数有三个交点，数形结合可得参数范围.
（1）
由，得，
令，解得或，
当时，，和时，，单调递增，时，，单调递减；
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，，和时，，单调递增，当时，，单调递减；
综上所述：
当时，的单调递增区间为和，的单调递减区间为；
当时，在上单调递增，无减区间；
当时，的单调递增区间为和，的单调递减区间为；
（2）
因为函数在处有极值且
所以，即，解得，
当时，，，
令，解得或，
所以函数在处取极小值，即成立；
的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，，
如图所示，
函数有三个零点，可转化为函数与函数有三个交点，
数形结合可知，，
解得，
所以的取值范围为.
17．（2023·全国·高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
答案：（1）上单调递增；上单调递减；（2）.
分析：（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.
【详解】（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数,
则,令，得,
在内,单调递增；
在上,单调递减；
,
又，当趋近于时，趋近于0，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,
所以的取值范围是.
[方法二]：构造差函数
由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解．
构造函数，求导数得．
当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意；
当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为．
由于，
当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即．
构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且．
所以，实数a的取值范围为．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解．
因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点．
①当时，与只有一个交点，不符合题意．
②当时，取上一点在点的切线方程为，即．
当与为同一直线时有得
直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点．
记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所当且时有．
综上所述，实数a的取值范围为．
[方法四]：直接法
．
因为，由得．
当时，在区间内单调递减，不满足题意；
当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减．
因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即．
令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即．
故实数a的范围为．]
【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成与两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
18．(2023·全国·高考真题（理））已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
答案：(1)
(2)
分析：（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对分类讨论,对分两部分研究
(1)
的定义域为
当时,,所以切点为,所以切线斜率为2
所以曲线在点处的切线方程为
(2)
设
若,当,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若,当,则
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若
(1)当,则,所以在上单调递增
所以存在,使得,即
当单调递减
当单调递增
所以
当
当
所以在上有唯一零点
又没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设
所以在单调递增
所以存在,使得
当单调递减
当单调递增,
又
所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减
有
而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点
即在上有唯一零点
所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为
1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路
（1）可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；
（2）证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a)·f (b)＜0.
（3）涉及两函数的交点：利用数形结合思想方法，通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围.
2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤
第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；
第二步，证明端点的导数值异号.
3.已知函数有零点求参数范围常用的方法
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增