高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题19三角函数化简、求值【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题19三角函数化简、求值【原卷版+解析】，共29页。
【热点聚焦】
高考命题中对三角函数的化简、求值证明问题，主要以公式的基本运用、计算为主，经常要求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．
【重点知识回眸】
一.三角函数公式：
1.同角三角函数的基本关系式
= 1 \* GB3 ①平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
= 2 \* GB3 ②商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.六组诱导公式
对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”
3.两角和差的正余弦，正切公式：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
4.辅助角公式：，其中
5.倍半角公式：
①
②
③
提醒：
(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况．
(2)二倍角是相对的，如eq \f (α,2)是eq \f (α,4)的2倍，3α是eq \f (3α,2)的2倍．
二.常用结论
1.同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
(2)(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
(3)sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f (π,2)，k∈Z)).
2．和差倍半公式的常用变式
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,1＋tan2α)；
cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α).
3．降幂公式
sin2α＝eq \f (1－cs 2α,2)；
cs2α＝eq \f (1＋cs 2α,2)；
sin αcs α＝eq \f (1,2)sin 2α.
4．升幂公式
1＋cs α＝2cs2eq \f (α,2)；
1－cs α＝2sin2eq \f (α,2)；
1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)＋cs \f (α,2)))eq \s\up12(2)；
1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)－cs \f (α,2)))eq \s\up12(2).
5．半角正切公式
tan eq \f (α,2)＝eq \f (sin α,1＋cs α)＝eq \f (1－cs α,sin α).
三.确定所涉及角的范围
当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解.确定角的范围有以下几个层次：
（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如： ，则）
（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限.
（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为）
（4）通过题目中隐含条件判断角的范围.例如：，可判断出在第一象限.
【典型考题解析】
热点一 同角三角函数基本关系式“知一求二”
【典例1】(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2】(2023·福建·高考真题（文））若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
对sin α，cs α，tan α的知一求二问题
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用eq \f (sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
热点二 已知tan α求sin α，cs α齐次式的值
【典例4】（辽宁·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例5】（四川·高考真题（文））已知sinα＋2csα＝0，则2sinαcsα－cs2α的值是______________.
【技法总结】
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2α＋cs2α做分母求解．
热点三 sin α±cs α与sin αcs α关系的应用
【典例6】已知x∈(－π，0)，sin x＋cs x＝.求sin x－cs x的值；
【规律方法】
1.对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cs α＝t(t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)])，则sin αcs α＝eq \f (t2－1,2)，sin α－cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
2.利用sin αcs α＞0(sin αcs α＜0)可知sin α，cs α同号还是异号，再结合角α的范围或sin α±cs α的正负，可进一步确定sin α，cs α的正负．
热点四 诱导公式的应用
【典例7】（安徽·高考真题（理））设函数满足当时，，则（ ）
A．B．C．0D．
【典例8】(2023·全国·高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=___________.
【规律方法】
应用诱导公式：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
诱导公式与同角关系综合问题：
（1）基本思路
①分析结构特点，选择恰当公式；
②利用公式化成单角三角函数；
整理得最简形式
（2）化简要求
①化简过程是恒等变换；
②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值
热点五 两角和、差及倍角公式的应用
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．
【典例10】（2023·全国·高考真题（理））已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
【规律方法】
应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
热点六 两角和、差及倍角公式的逆用和变形
【典例12】（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例13】（2023·江苏·高考真题）已知，则的值是_____.
【典例14】(2023·全国·高考真题（理））已知，，则__________．
【总结提升】
1.两角和、差及倍角公式的逆用和变形
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)公式的一些常用变形
①sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
②cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
③1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)±cs \f (α,2)))2；
④sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,tan2α＋1)；
⑤cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α)；
⑥tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
2.常用技巧
(1)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
热点七 巧用“角的变换”
【典例15】(2023·江苏·高考真题）若,则____________.
【典例16】(2023·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
【总结提升】
1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝（）－（）等.
3.提醒：求角时，一定要注意所求角的范围，并在解题过程中根据三角函数值的正负进一步缩小有关角的范围，以保证所求角在最小的范围内．
【精选精练】
一、单选题
1．（重庆·高考真题（理））若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（上海·高考真题（文））已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.
A．B．
C．D．
3．(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
4.（2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
6.(2023·全国·高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（2023·全国·高考真题（文））若，则__________．
9．（2023·江苏·高考真题）已知 =，则的值是____.
10．(2023·全国·高考真题（文））已知，则__________．
11.(2023·上海·高考真题）已知，则的值为_________.
12.(2023·全国·高考真题（文））已知，则__________．
13．(2023·全国·高考真题（文））已知，tanα=2，则cs(α−π4)=______________．
14.(2023·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
15.(2023·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
四、解答题
16．（广东·高考真题（文））已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
17.(2023·江苏·高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
19.（四川·高考真题）已知