高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题21三角函数图象变换与性质【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题21三角函数图象变换与性质【原卷版+解析】，共41页。

【热点聚焦】
近几年高考对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，重在对基础知识的考查，强调淡化特殊技巧，注重通解通法，突出了对如下函数性质的考查：
（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；
（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；
（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.
（4）函数的零点.
【重点知识回眸】
（一）y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
（二）“五点法”画图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，eq \f (π,2)，π，eq \f (3π,2)，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为eq \f (T,4).
（三）三角函数图象的变换
由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
提醒：
(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq \f (|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
（四）常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq \f (φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
（五）确定函数解析式
1、的作用
（1）称为振幅，与一个周期中所达到的波峰波谷有关
（2）：称为频率，与的周期相关，即
（3）：称为初相，一定程度上影响的对称轴，零点
2、的常规求法：
（1）：
① 对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到
② 对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：
（2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解
① 如果相邻的两条对称轴为，则
② 如果相邻的两个对称中心为，则
③ 如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则
注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.
（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围
3、确定解析式要注意的几个问题：
（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定的值，再根据对称轴对称中心的距离确定，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定.
（2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况.如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题.
【典型考题解析】
热点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及图象变换
【典例1】(2023·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【典例2】（2023·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
三角函数图象变换中的三个注意点
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f (φ,ω)))个单位．
热点二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式
【典例4】（2023·天津·高考真题（文））已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【典例5】【多选题】（2023·海南·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
【典例6】（2023·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【规律方法】
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
热点三 三角函数图象与性质的综合应用
【典例7】（2023·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
【典例8】(2023·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例9】(2023·天津·高考真题（理））将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减
【典例10】（2023·全国·高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【典例11】(2023·山东·高考真题（理））设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
【规律方法】
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．
热点四 三角函数模型的应用
【典例12】(2023·安徽·高三开学考试）如图，某港口一天从6时到18时的水深曲线近似满足函数.据此可知当天12时的水深为（ ）
A．3.5B．4C．D．
【典例13】(2023·广西桂林·模拟预测（理））如果说最简单的正弦函数，响度是看振幅的，A越大响度越大，音调是看频率的，B越大频率越高，音色是看正弦函数复合的，也就是每一个参数都有影响，关于函数，函数的最小正周期是_____，函数的最大值______（填“大于”、“小于”或“等于”之一）．
【典例14】(2023·开封模拟)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A＞0，ω＞0，|φ|≤\f (π,2)))，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．
【规律方法】
三角函数的应用体现两个方面
(1)已知函数模型求解数学问题．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·河南·高三阶段练习（理））函数（且）在一个周期内的图象如图所示，将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．1C．－1D．
3．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A．最小正周期为B．奇函数
C．偶函数D．
5．(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）已知函数 的部分图象如图所示，点，，则下列说法中错误的是（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．的图象可由 向左平移个单位而得到
C．的最小正周期为
D．在区间上单调递增
6．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调
C．的图象关于直线对称
D．当时，函数的值域为
7．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·天津·高考真题（文））将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增D．在区间 上单调递减
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移 个单位得到 的图象，则（ ）
A． ）B．
C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示，且．将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图象．若，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最大值为，图象关于直线对称B．在上单调递增
C．最小正周期为D．图象关于点对称
12 ．(2023·云南·高三阶段练习）关于函数的描述正确的是（ ）
A．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到
B．在上单调递增
C．在上有3个零点
D．在上的最小值为
13．(2023·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
三、填空题
14．（2023·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
15．（2023·全国·高三专题练习）将最小正周期为的函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像，则函数的一个对称中心为___________
四、解答题
16．(2023·河北衡水中学模拟预测）已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
17．（2023·全国·高三专题练习）函数（其中）部分图象如图所示，是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．
(1)求的最小正周期及的值；
(2)若，求A的值．
18.(2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小正周期为．
(1)求图象的对称轴方程；
(2)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在上的值域．
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f (2π,ω)
f ＝eq \f (1,T)＝eq \f (ω,2π)
ωx＋φ
φ
专题21 三角函数图象变换与性质
【热点聚焦】
近几年高考对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，重在对基础知识的考查，强调淡化特殊技巧，注重通解通法，突出了对如下函数性质的考查：
（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；
（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；
（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.
（4）函数的零点.
【重点知识回眸】
（一）y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
（二）“五点法”画图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，eq \f (π,2)，π，eq \f (3π,2)，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为eq \f (T,4).
（三）三角函数图象的变换
由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
提醒：
(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq \f (|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
（四）常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq \f (φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
（五）确定函数解析式
1、的作用
（1）称为振幅，与一个周期中所达到的波峰波谷有关
（2）：称为频率，与的周期相关，即
（3）：称为初相，一定程度上影响的对称轴，零点
2、的常规求法：
（1）：
① 对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到
② 对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：
（2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解
① 如果相邻的两条对称轴为，则
② 如果相邻的两个对称中心为，则
③ 如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则
注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.
（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围
3、确定解析式要注意的几个问题：
（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定的值，再根据对称轴对称中心的距离确定，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定.
（2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况.如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题.
【典型考题解析】
热点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及图象变换
【典例1】(2023·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
答案：D
【解析】
分析：
根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】
因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
【典例2】（2023·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
【总结提升】
三角函数图象变换中的三个注意点
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f (φ,ω)))个单位．
热点二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式
【典例4】（2023·天津·高考真题（文））已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
只需根据函数性质逐步得出值即可．
【详解】
因为为奇函数，∴；
又
，，又
∴，
故选C．
【典例5】【多选题】（2023·海南·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】
分析：
首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】
由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【典例6】（2023·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
答案：
【解析】
分析：
首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.
【详解】
由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
【规律方法】
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
热点三 三角函数图象与性质的综合应用
【典例7】（2023·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
答案：B
【解析】
分析：
对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】
因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.
故选：B.
【典例8】(2023·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】
由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
【典例9】(2023·天津·高考真题（理））将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减
答案：A
【解析】
分析：
由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
【详解】
由函数图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得一个单调递增区间为：.
函数的单调递减区间满足：，
即，
令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.
【典例10】（2023·全国·高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
答案：2
【解析】
分析：
先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】
由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【典例11】(2023·山东·高考真题（理））设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
答案：(Ⅰ) .
(Ⅱ) .
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知及可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而.
根据得到，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，
所以，.
故，，又，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，
所以，
当，
即时，取得最小值.
【规律方法】
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．
热点四 三角函数模型的应用
【典例12】(2023·安徽·高三开学考试）如图，某港口一天从6时到18时的水深曲线近似满足函数.据此可知当天12时的水深为（ ）
A．3.5B．4C．D．
答案：A
分析：由图象可知函数的最小值为2，则可求出，周期为，则可求出，再将点代入函数中可求出，从而可求解出函数解析式，进而可求出即可.
【详解】由图象可知函数的最小值为2，所以，得，
周期，
所以，得，
所以，
因为函数图象过点，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
因为，所以，
所以，
所以，
故选：A
【典例13】(2023·广西桂林·模拟预测（理））如果说最简单的正弦函数，响度是看振幅的，A越大响度越大，音调是看频率的，B越大频率越高，音色是看正弦函数复合的，也就是每一个参数都有影响，关于函数，函数的最小正周期是_____，函数的最大值______（填“大于”、“小于”或“等于”之一）．
答案： 大于
分析：（1）根据周期的公式分析和的最小正周期即可；
（2）代入判断即可
【详解】（1）因为的最小正周期为，的最小正周期为，故的最小正周期是；
（2）因为，故函数的最大值大于
故答案为：；大于
【典例14】(2023·开封模拟)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A＞0，ω＞0，|φ|≤\f (π,2)))，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．
答案：(1) H(t)＝62sin＋83,0≤t≤30；(2)5分钟.(3)t＝10或25分钟时，h取最大值为62米．
【解析】(1)H关于t的函数关系式为H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B，
由解得A＝62，B＝83，
又函数周期为30，
所以ω＝＝，可得H(t)＝62sin＋83，
又H(0)＝62sin＋83＝21，|φ|≤，
所以sin φ＝－1，φ＝－，
所以摩天轮转动一周的解析式为：H(t)＝62sin＋83,0≤t≤30，
(2)H(t)＝62sin＋83＝－62cs＋83，
所以－62cs＋83＝52，cs＝eq \f (1,2)，
所以t＝5.
(3)由题意知，经过t分钟后游客甲距离地面高度解析式为H甲＝－62cs ＋83，
乙与甲间隔的时间为eq \f (30,36)×6＝5分钟，
所以乙距离地面高度解析式为H乙＝－62＋83,5≤t≤30，
所以两人离地面的高度差h＝|H甲－H乙|＝＝62||，5≤t≤30，
当，或时，即t＝10或25分钟时，h取最大值为62米．
【规律方法】
三角函数的应用体现两个方面
(1)已知函数模型求解数学问题．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：根据三角函数图象的平移变换规律可得答案.
【详解】将函数的图象向左平移后，
所得图象对应的函数为.
故选：B
2．(2023·河南·高三阶段练习（理））函数（且）在一个周期内的图象如图所示，将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．1C．－1D．
答案：A
分析：由图象得的解析式，再由三角函数的图象变换可得函数的解析式，即可求.
【详解】解：由图象可知，则．由，得．
则．
∵点在函数图象上，∴，∴，．
∵，∴.
∴函数解析式为．
将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得．
故．
故选:A．
3．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：先利用平移变换和伸缩变换得到的图象，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】解：将的图象向右平移个单位长度得：
的图象，
再将图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）得：
的图象，
因为，
所以，
所以．
所以函数的值域为．
故选：D
4．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A．最小正周期为B．奇函数
C．偶函数D．
答案：D
分析：根据平移变换和周期变换的原则求出函数，再根据余弦函数的性质及诱导公式逐一判断各个选项即可.
【详解】解：把函数的图象向右平移个单位长度，
得，
再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，
得，即，
则最小正周期为，故A错误；
因为，所以函数是非奇非偶函数，故BC错误；
，故D正确.
故选：D.
5．(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）已知函数 的部分图象如图所示，点，，则下列说法中错误的是（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．的图象可由 向左平移个单位而得到
C．的最小正周期为
D．在区间上单调递增
答案：B
分析：根据五点作图法可得，然后利用正弦函数的性质，代入逐一进行检验即可.
【详解】由函数部分图象，点，故 ，由于点 在单调递增的区间上，或 （舍去），
再根据五点法作图可得 ，求得，故 ．
对于A,令，求得，为最大值，故直线是图象的一条对称轴，故A正确；
对于B,把向左平移个单位，可得的图象，故B错误；
对于C,的最小正周期为 ，故C正确；
对于D，， ，故单调递增，故D对.
故选：B
6．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调
C．的图象关于直线对称
D．当时，函数的值域为
答案：D
分析：利用三角函数的图象变换得到的解析式，进而可以判断选项A；特例验证法否定选项B；代入法验证直线是否为的图象的对称轴判断选项C；求得函数在上的值域判断选项D.
【详解】将的图象向右平移个单位长度得，
再将图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）得，
则，故A项错误；
，
则，.则在上不单调.故B项错误；
由，
可知的图象不关于直线对称.故C项错误；
因为，所以，所以，
所以函数在上的值域为，D项正确．
故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据平移法则求出函数的解析式，进而求出的含有数0的单调区间，再借助集合的包含关系即可解出.
【详解】依题意，，由，得：，于是得的一个单调递增区间是，因在上为增函数，因此，，即有，解得，即最大值为．
故选：A.
8．(2023·天津·高考真题（文））将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增D．在区间 上单调递减
答案：A
【解析】
【详解】
分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.
详解：由函数图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足：，
即，
令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；
本题选择A选项.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移 个单位得到 的图象，则（ ）
A． ）B．
C． D．
答案：D
分析：由图象可知，由此可求得，得到的解析式，根据三角函数图象的平移变换结合三角函数的诱导公式，即可求得答案.
【详解】由图象知，，
∵，
∴，
又，∴，
∴，
∵将函数的图象向左平移个单位得到的图象，
∴，
故选：D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示，且．将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图象．若，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据函数图象求得，再根据图象变换可得的解析式，结合，，，求得的值，可得答案.
【详解】设的最小正周期为T，则由图可知，得，则，所以，
又由题图可知图象的一个对称中心为点，
故，，故，，
因为，所以，所以.
又因为，
故，
所以；
将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，
得到的图象；
因为，所以 同时令取得最大值3，
由，可得，，
又，要求的最大值，故令，得；
令，得，所以的最大值为，
故选：C.
二、多选题
11．(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最大值为，图象关于直线对称B．在上单调递增
C．最小正周期为D．图象关于点对称
答案：BCD
分析：根据题意利用三角函数的平移变换求出函数解析式，再由余弦函数的值域、对轴性、单调性、周期性求解即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象；
它的最大值为，由于当时，，不是最值，故的图象不关于直线对称，故A错误；
由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；
最小正周期为，故C正确；
当时，，故函数的图象关于点对称，故D正确.
故选：BCD.
12 ．(2023·云南·高三阶段练习）关于函数的描述正确的是（ ）
A．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到
B．在上单调递增
C．在上有3个零点
D．在上的最小值为
答案：AD
分析：利用三角恒等变换对函数进行化简，结合三角函数的性质，逐项判断即可求解.
【详解】解：，
对于A，由的图象向左平移个单位长度，得到，故选项A正确；
对于B，令，，解得，，
所以的单调递增区间为，，
所以在上单调递增，在上单调递减，故选项B不正确；
对于C，令，得，，解得，，
因为，所以，；，，所以在上有2个零点，故选项C不正确；
对于D，因为，所以，所以，
所以，所以在上的最小值为，故选项D正确.
故选：AD．
13．(2023·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
答案：AD
【解析】
分析：
根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】
由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
三、填空题
14．（2023·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
答案：
【解析】
分析：
先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）将最小正周期为的函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像，则函数的一个对称中心为___________
答案：，不唯一
分析：根据最小正周期求出 ，再根据函数平移规则即可求出 的解析式.
【详解】由题意， ， ，即 ，
向左平移 得 ，
，
令 ，∴ 的一个对称中心为 ；
故答案为： .
四、解答题
16．(2023·河北衡水中学模拟预测）已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
答案：(1)最小正周期为，对称轴方程为，
(2)
分析：（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；
（2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可.
（1）
，
，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，
（2）
将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，
所以.又，
所以在上的单调递减区间为.
17．（2023·全国·高三专题练习）函数（其中）部分图象如图所示，是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．
(1)求的最小正周期及的值；
(2)若，求A的值．
答案：(1)2；；
(2).
分析：（1）利用的解析式求出周期，再由给定的最高点P求出作答.
（2）由（1）求出点M，N的坐标，结合图形求出和的正切，再利用和角公式计算作答.
(1)
函数的最小正周期，
因是函数图象的最高点，则，而，有，，
所以函数的最小正周期为2，.
(2)
由（1）知，，由得，即点，由得，即点，
于是得，，而，
则，又，解得，
所以.
18.(2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小正周期为．
(1)求图象的对称轴方程；
(2)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在上的值域．
答案：(1)；
(2)
分析：（1）先由诱导公式及倍角公式得，再由周期求得，由正弦函数的对称性求对称轴方程即可；
（2）先由图象平移求出，再求出，即可求出在上的值域．
(1)
，
则，解得，则，令，解得，
故图象的对称轴方程为.
(2)
，，则，，则在上的值域为.
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f (2π,ω)
f ＝eq \f (1,T)＝eq \f (ω,2π)
ωx＋φ
φ