高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题23平面向量的数量积及其应用【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题23平面向量的数量积及其应用【原卷版+解析】，共39页。
【热点聚焦】
近几年高考对平面向量的考查，主要集中在以下几个方面：
（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的线性运算；
（2）考查平面向量数量积及其应用，求夹角、模长或相关最值问题；
（3）常常以平面图形为载体，考查平面向量的运算，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键.
【重点知识回眸】
（一）两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
（二）平面向量的数量积
规定0·a＝0.
（三）数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
（四）向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥ba·b＝0.
3．a·a＝|a|2，.
4．cs θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
（五）平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
（六）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不同．a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
（七）平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0) ．
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0) ．
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 csθ＝eq \f(a·b,|a||b|) ．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
2.向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
（3）“爪”字型图：在中，是上的点，如果，则，其中知二可求一.特别的，如果是边上的中线，则
3.平面向量与解析几何
向量在解析几何中的作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．
4.平面向量与三角函数
解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．
5.平面向量在物理中的应用
数学中对物理背景问题主要研究下面两类：
(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．
（八）常用结论：
运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心
(1)|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|(或eq \(OA,\s\up7(→))2＝eq \(OB,\s\up7(→))2＝eq \(OC,\s\up7(→))2)⇔O是△ABC的内心；
(2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝0⇔O是△ABC的重心；
(3)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))⇔O是△ABC的垂心；
(4)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)－\f (\(AC,\s\up7(→)),|\(AC,\s\up7(→))|)))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\(BA,\s\up7(→)),|\(BA,\s\up7(→))|)－\f (\(BC,\s\up7(→)),|\(BC,\s\up7(→))|)))＝eq \(OC,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\(CA,\s\up7(→)),|\(CA,\s\up7(→))|)－\f (\(CB,\s\up7(→)),|\(CB,\s\up7(→))|)))⇔O是△ABC的内心．
【典型考题解析】
热点一 平面向量数量积的运算
【典例1】(2023·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【典例2】（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【典例3】（福建·高考真题（理））已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.
A．B．C．D．
【总结提升】
1.计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|csθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
热点二 平面向量的模、夹角
【典例4】（2023·全国高考真题（理））已知向量 ，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例5】(2023·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f (π,6) B．eq \f (π,3) C．eq \f (2π,3) D．eq \f (5π,6)
【典例6】（2023·全国·高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
【典例7】（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【规律方法】
1.求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
(2)提醒：〈a，b〉∈[0，π]．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．注意共线时，数量积为±1的特殊情况！
2．平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
热点三 两个向量垂直问题
【典例8】(2023·北京·高考真题（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
【典例10】（2023·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【总结提升】
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题：
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值：
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
热点四 平面向量与平面几何
【典例11】(2023·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
【典例12】（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
【规律方法】
1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直．
2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．
3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))成立，且AB与CD无公共点．
4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))．
5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量eq \(BA,\s\up6(→))与向量eq \(BC,\s\up6(→))的夹角即可．
6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．
热点五 平面向量与平面解析几何
【典例13】(2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．
【典例14】（2023·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【总结提升】
主要有两种类型，一是在给定的坐标系中，应用向量研究曲线问题；二是需根据几何图形特点，建立合适的坐标系，利用向量表示集合元素，研究曲线问题.
热点六 平面向量与三角函数
【典例15】【多选题】（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例16】（浙江·高考真题（文））已知平面向量，，．若为平面单位向量，则的最大值是______．
热点七 平面向量中的最值(范围)问题
【典例17】(2023·全国·高三专题练习）设向量，，满足：，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例18】(2023·浙江·高考真题）已知向量满足，则的最小值是___________，最大值是______．
【典例19】（2023·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
【典例20】(2023·江苏·盐城中学模拟预测），若与不成锐角，则t的取值范围为__________．
【总结提升】
1.平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，2.解题思路通常有两种：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·安徽·高三开学考试）已知向量均为单位向量，且，则（ ）
A．2B．C．4D．
2．(2023·云南·高三阶段练习）在中，，，，点是的中点，则（ ）
A．B．4C．6D．
3．(2023·北京八中高三阶段练习）在直角三角形中，，则（ ）
A．B．4C．D．8
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·山东·高三开学考试）在中，AB=2，BC=3，，P为边AC上的动点，则的取值范围是（ ）
A．［0，3]B．［1，3]C．［6，9]D．［3，9]
6.(2023·安徽省太和中学高三阶段练习）已知正方形的边长为2，以为边作正三角形，使得位于直线的两侧，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）在中，已知，且，则为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
8．(2023·贵州遵义·高三开学考试（文））设，，为平面内任意三点，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．
C．2D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，若，则与共线的单位向量为（ ）
A．或
B．或
C．
D．
11．（2023·全国·高三专题练习（文））已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
二、填空题
12．（2023·全国·高三专题练习）若向量满足，，，则________.
13．(2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知向量.若，则___________.
14．(2023·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习）已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为______．
15．（2023·全国·高三专题练习）若非零向量、，满足，，则与的夹角为___________.
16．（2023·全国·高三专题练习）＝（2，1），＝（2，－1），＝（0，1），则＝______；＝______.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，且与的夹角为60°，则__________，________.
18．(2023·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cs θ＝eq \f (a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f (x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|
≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·eq \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
数量积
两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__
两个向量垂直
a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__
专题23 平面向量的数量积及其应用
【热点聚焦】
近几年高考对平面向量的考查，主要集中在以下几个方面：
（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的线性运算；
（2）考查平面向量数量积及其应用，求夹角、模长或相关最值问题；
（3）常常以平面图形为载体，考查平面向量的运算，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键.
【重点知识回眸】
（一）两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
（二）平面向量的数量积
规定0·a＝0.
（三）数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
（四）向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥ba·b＝0.
3．a·a＝|a|2，.
4．cs θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
（五）平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
（六）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不同．a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
（七）平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0) ．
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0) ．
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 csθ＝eq \f(a·b,|a||b|) ．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
2.向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
（3）“爪”字型图：在中，是上的点，如果，则，其中知二可求一.特别的，如果是边上的中线，则
3.平面向量与解析几何
向量在解析几何中的作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．
4.平面向量与三角函数
解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．
5.平面向量在物理中的应用
数学中对物理背景问题主要研究下面两类：
(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．
（八）常用结论：
运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心
(1)|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|(或eq \(OA,\s\up7(→))2＝eq \(OB,\s\up7(→))2＝eq \(OC,\s\up7(→))2)⇔O是△ABC的内心；
(2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝0⇔O是△ABC的重心；
(3)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))⇔O是△ABC的垂心；
(4)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)－\f (\(AC,\s\up7(→)),|\(AC,\s\up7(→))|)))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\(BA,\s\up7(→)),|\(BA,\s\up7(→))|)－\f (\(BC,\s\up7(→)),|\(BC,\s\up7(→))|)))＝eq \(OC,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\(CA,\s\up7(→)),|\(CA,\s\up7(→))|)－\f (\(CB,\s\up7(→)),|\(CB,\s\up7(→))|)))⇔O是△ABC的内心．
【典型考题解析】
热点一 平面向量数量积的运算
【典例1】(2023·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
答案：C
【解析】
分析：
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
【典例2】（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
答案：B
分析：
考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
【典例3】（福建·高考真题（理））已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．
【总结提升】
1.计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|csθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
热点二 平面向量的模、夹角
【典例4】（2023·全国高考真题（理））已知向量 ，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
，，，.
，
因此，.
故选：D.
【典例5】(2023·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f (π,6) B．eq \f (π,3) C．eq \f (2π,3) D．eq \f (5π,6)
答案：B
【解析】法一：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cs〈a，b〉－|b|2＝0，即cs〈a，b〉＝eq \f (1,2)，又知〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq \f (π,3)，故选B．
法二：如图，令eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，则eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))＝a－b，因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°，
又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝eq \f (π,3)，即〈a，b〉＝eq \f (π,3).故选B．
【典例6】（2023·全国·高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
答案：
【解析】
分析：
整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.
【详解】
因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【典例7】（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
答案：1
分析：
设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】
设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
【规律方法】
1.求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
(2)提醒：〈a，b〉∈[0，π]．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．注意共线时，数量积为±1的特殊情况！
2．平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
热点三 两个向量垂直问题
【典例8】(2023·北京·高考真题（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
答案：C
【解析】
分析：
根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
因为向量均为单位向量
所以
所以“”是“”的充要条件
故选：C
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
答案：D
【解析】
分析：
根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】
由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
【典例10】（2023·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
答案：
【解析】
由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【总结提升】
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题：
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值：
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
热点四 平面向量与平面几何
【典例11】(2023·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
答案：C
【解析】
分析：
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，同理证明即可求解.
【详解】
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，故是的内心.
故选：C.
【典例12】（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
答案：或0
【解析】
分析：
根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】
∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
【规律方法】
1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直．
2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．
3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))成立，且AB与CD无公共点．
4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))．
5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量eq \(BA,\s\up6(→))与向量eq \(BC,\s\up6(→))的夹角即可．
6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．
热点五 平面向量与平面解析几何
【典例13】(2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．
答案：3
【解析】
【详解】
分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.
详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，
由得或，
因为，所以
【典例14】（2023·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.
【详解】
解：（1）由椭圆可知，，
所以，，则，
因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
（2）由椭圆可知，，
若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.
所以直线的斜率存在，设为，直线过点，
则直线的方程为，
设点，，
联立方程组，
消去，得.①
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
则，
因为，且，
所以，
解得或，
因为，且，
所以不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，
即.
【总结提升】
主要有两种类型，一是在给定的坐标系中，应用向量研究曲线问题；二是需根据几何图形特点，建立合适的坐标系，利用向量表示集合元素，研究曲线问题.
热点六 平面向量与三角函数
【典例15】【多选题】（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
分析：
A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
【典例16】（浙江·高考真题（文））已知平面向量，，．若为平面单位向量，则的最大值是______．
答案：
【解析】
【详解】
试题分析：由已知得，不妨取，，设，
则
，取等号时与同号．
所以（其中，取为锐角）．
显然，
易知当时，取最大值1，此时为锐角，同为正，
因此上述不等式中等号能同时取到，故所求最大值为．
热点七 平面向量中的最值(范围)问题
【典例17】(2023·全国·高三专题练习）设向量，，满足：，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：构造向量，，，根据题意，证明其终点、、、四点共圆，使为圆的弦，进而得到其最大值为圆的直径，求出圆的直径得答案.
【详解】由题意可得，，，
，又，，
设，，，则，，
又，，
、、、四点共圆，
当最大时，有，为该圆的半径，
由，所以，
在中，由正弦定理可得，
当且仅当是的平分线时，取等号，此时的最大值为圆的直径大小为.
故选：A．
【典例18】(2023·浙江·高考真题）已知向量满足，则的最小值是___________，最大值是______．
答案： 4
【解析】
【详解】
设向量的夹角为，由余弦定理有：，
，则：
，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是．
【典例19】（2023·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
答案：
【解析】
分析：
利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】
，
，
，
.
故答案为：.
【典例20】(2023·江苏·盐城中学模拟预测），若与不成锐角，则t的取值范围为__________．
答案：
分析：不成锐角则可能夹角为0或者为直角、钝角和平角，再分别列式求解即可
【详解】由题意，，因为与不成锐角，故夹角为0或者为直角、钝角和平角.
当夹角为0时，与同向，故，故，解得；
当夹角为直角、钝角或平角时，，即，解得；
故t的取值范围为
故答案为：
【总结提升】
1.平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，2.解题思路通常有两种：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·安徽·高三开学考试）已知向量均为单位向量，且，则（ ）
A．2B．C．4D．
答案：B
分析：根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解.
【详解】解：因为向量均为单位向量，且，
所以，，
所以，
故选：B.
2．(2023·云南·高三阶段练习）在中，，，，点是的中点，则（ ）
A．B．4C．6D．
答案：D
分析：利用平面向量线性运算、数量积运算以及模长公式进行求解.
【详解】在中，，则，
又，，所以，
因为点是的中点，所以，
所以
，故A，B，C错误.
故选：D．
3．(2023·北京八中高三阶段练习）在直角三角形中，，则（ ）
A．B．4C．D．8
答案：A
分析：根据数量积的定义即可求得结果.
【详解】因为为直角三角形，且，所以,
且,
所以.
故选:A.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：先根据条件求出，再根据求向量夹角的坐标运算公式，代入计算即可.
【详解】，，，
.
，
因此，.
故选:D.
5．（2023·山东·高三开学考试）在中，AB=2，BC=3，，P为边AC上的动点，则的取值范围是（ ）
A．［0，3]B．［1，3]C．［6，9]D．［3，9]
答案：D
分析：结合向量数量积的定义求得正确答案.
【详解】依题意，
由于是边上的动点，所以，
所以，即，
所以.
故选：D
6.(2023·安徽省太和中学高三阶段练习）已知正方形的边长为2，以为边作正三角形，使得位于直线的两侧，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.
【详解】以为坐标原点，以为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，
由正三角形及正方形的边长为2可知，
，
所以.
故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习）在中，已知，且，则为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
答案：A
分析：由推出，由求得角，则答案可求．
【详解】解：，分别表示，方向上的单位向量，
在的角平分线上，
，，
又，，
则与的夹角为，即，
可得是等边三角形．
故选：A.
8．
(2023·贵州遵义·高三开学考试（文））设，，为平面内任意三点，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
分析：设与的夹角为，，利用利用数量积的运算性质及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】设与的夹角为（），，
当与的夹角为钝角时，
因为
，
，
所以，
当时，
所以，
所以，
所以，所以为钝角或，
所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件，
故选：B
9．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．
C．2D．
答案：A
分析：设，利用题意能够确定所表示的点的轨迹，一个为两条射线，一个为圆，再通过画图观察的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，并通过点到线的距离公式进行求解
【详解】解：设，则由得即整理得
设的起点在原点，则终点在不含端点的两条射线上
由得
设的起点在原点，则终点在圆心，半径为1的圆上，
则的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心到直线的距离减去半径，
不妨以即为例，则的最小值为，
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，若，则与共线的单位向量为（ ）
A．或
B．或
C．
D．
答案：A
分析：根据向量垂直的坐标表示，可得的值，从而得到的坐标，再求其单位向量即可.
【详解】由题意得，
因为
所以，
即，
，
解得，
所以，
所以与共线的单位向量为.
故选: A.
11．（2023·全国·高三专题练习（文））已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
答案：B
分析：利用平面向量基本定理及向量数量积的运算可求得，由此可得点I在的平分线上，同理可得，点I在的平分线上，由三角形内心的性质可得选项.
【详解】因为，所以
，
所以，所以
，
所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上，
同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心，
故选：B.
二、填空题
12．（2023·全国·高三专题练习）若向量满足，，，则________.
答案：
分析：将两边进行平方后展开，再将其他条件代入即可得到答案
【详解】由得，即，
结合，，得，
所以即，
故答案为：
13．(2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知向量.若，则___________.
答案：
分析：由向量平行的坐标表示求出参数，然后由模的坐标表示计算．
【详解】因为，所以，解得.所以.
所以.
故答案为：．
14．(2023·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习）已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为______．
答案：
【详解】因为
所以 ，即 ，
根据向量的数量积运算，则
代入化简得 ，
由 ，
所以 .
故答案为： .
15．（2023·全国·高三专题练习）若非零向量、，满足，，则与的夹角为___________.
答案：##
分析：设与的夹角为，根据，，由数量积的定义和运算律求解.
【详解】解：设与的夹角为，
因为，，
所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）＝（2，1），＝（2，－1），＝（0，1），则＝______；＝______.
答案： 0 3
分析：直接利用向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标运算即可求得.
【详解】∵＝（2，1），＝（2，－1），＝（0，1），
∴＝（4，0），
∴＝4×0＋0×1＝0，
＝2×2＋1×（－1）＝3.
故答案为：0；3
17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，且与的夹角为60°，则__________，________.
答案：
分析：把模平方转化为数量积运算即可求得答案
【详解】因为，与的夹角为60°，
所以，
所以，
，
所以，
故答案为：；
18．(2023·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________
答案：
分析：法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cs θ＝eq \f (a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f (x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|
≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·eq \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
数量积
两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__
两个向量垂直
a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__