高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题26等差数列、等比数列基本问题【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题26等差数列、等比数列基本问题【原卷版+解析】，共43页。
【热点聚焦】
等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成两类数列的重要内容，在历届高考中属于必考内容，既有独立考查的情况，也有二者与其它知识内容综合考查的情况．一般地，选择题、填空题往往独立考查等差数列或等比数列的基本运算，解答题往往综合考查等差数列、等比数列．
【重点知识回眸】
（一）等差数列
1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示
2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：
（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式
（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差
（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数
3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项
（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即
（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项
（3）如果为等差数列，则
注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等.
比如，则不一定成立
② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项.例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一”
4、等差数列通项公式与函数的关系：
，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质.例如：，递增；，递减.
5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：
（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可
（2）由通项公式可得：
作用：① 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式
② ，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式.从而可将的变化规律图像化.
（3）当时，
因为
而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系
当时
，即偶数项和与中间两项和的联系
6、由等差数列生成的新等差数列
（1）在等差数列中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列
例如在，以3为间隔抽出的项仍为等差数列.
如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距
（2）已知等差数列，
设，
，则相邻项和成等差数列
（3）已知为等差数列，则有：
① 为等差数列，其中为常数
② 为等差数列，其中为常数
③ 为等差数列
①②③可归纳为也为等差数列
7、等差数列的判定：设数列，其前项和为
（1）定义（递推公式）：
（2）通项公式：（关于的一次函数或常值函数）
（3）前项和公式：
注：若，则从第二项开始呈现等差关系
（4）对于，，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项
（二）等比数列
1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比
注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列
2、等比数列通项公式：，也可以为：
3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项
（1）若为的等比中项，则有
（2）若为等比数列，则，均为的等比中项
（3）若为等比数列，则有
4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为
当时，则为常数列，所以
当时，则
可变形为：，设，可得：
5、由等比数列生成的新等比数列
（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列
（2）已知等比数列，则有
① 数列（为常数）为等比数列
② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列
③ 数列为等比数列
④ 数列为等比数列
6、相邻项和的比值与公比相关：
设，则有：
特别的：若
，则成等比数列
7、等比数列的判定：（假设不是常数列）
（1）定义法（递推公式）：
（2）通项公式：（指数类函数）
（3）前项和公式：
注：若，则是从第二项开始成等比关系
（4）等比中项：对于，均有
8、非常数等比数列的前项和 与前项和的关系
，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有
（三）等差数列性质与等比数列性质：
（四）等差数列与等比数列的互化：
（1）若为等差数列，，则成等比数列
证明：设的公差为，则为一个常数
所以成等比数列
（2）若为正项等比数列，，则成等差数列
证明：设的公比为，则为常数
所以成等差数列
【典型考题解析】
热点一 等差数列基本量的运算
【典例1】（2023·全国·高考真题（理））记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【总结提升】
解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
热点二 等差数列的判定与证明
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝lg2(an＋1)．
(1)判断是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列的通项公式．
【典例4】（2023·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【规律方法】
等差数列的判定与证明的方法
热点三 等差数列性质的应用
【典例5】（2023·浙江·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【典例6】(2023·云南省下关第一中学高三开学考试）等差数列的前n项和为，若，，则（ ）．
A．27B．45C．18D．36
【规律方法】
利用等差数列的性质解题的两个关注点
(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝eq \f (na1＋an,2)中，Sn与a1＋an可相互转化．
(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.
热点四 等差数列的前n项和及其最值
【典例7】（2023·北京·高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．
【规律方法】
求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d0，d1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
14．(2023·云南省玉溪第一中学高三开学考试）数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式.
答案：(1)证明见解析
(2)
分析：（1）将代入等式，即可化简出，即可得出结论；
（2）由（1）可求出，再由，即可求出数列的通项公式.
（1）
由，
得，
，且，
故数列为以2位首项，2为公差的等差数列.
（2）
由（1）知数列的首项为，公差，则数列，
即，
则.
15．(2023·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
答案：(1)证明见解析；
(2)．
分析：（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
（1）
解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）
解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
16．(2023·河南·高三阶段练习（理））已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
答案：(1);(2).
分析：(1)根据与关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解；
(2)利用分组求和法与等比数列的求和公式直接求解.
【详解】解：(1)当n＝1时，，
∵，∴．可得，当时，，，
两式相减，得，即，
故数列是首项为1，公比为的等比数列，则；
(2)由(1)知，，
故．
17．(2023·湖北武汉·高三开学考试）记为数列{}的前项和，已知
(1)证明：{}是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最小值.
答案：(1)证明见解析
(2)
分析：（1）利用与的关系结合等差数列的定义即可证明；
（2）利用等差数列的通项公式与等比中项的性质求出，从而得到，再结合基本不等式求解即可.
（1）由已知①∴②由①-②，得即∴，且∴是以2为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，∵，，成等比数列，∴即，解得∴∴当且仅当，即时，的最小值为
18．(2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，数列{bn}为等比数列，且满足bn(an＋1－an)＝bn＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，若________，记数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前2n项和T2n．
在①2S2=S3-2，②b2，2a3， b4成等差数列，③S6＝126这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．
答案：(1)an＝2n-1
(2)
分析：（1）由题意可求出数列{an}是以1为首项2为公差的等差数列，再求出等差数列的通项公式即可得出答案.
（2）由（1）知数列{bn}为公比为2的等比数列，选①②③，代入可求出b1＝2，即可求出{bn}，再由分组求和可求出数列{cn}的前2n项和T2n．
（1）
因为bn(an＋1－an)＝bn＋1，a1＝1，a2＝3，
令n=1得2b1＝b2，
又数列{bn}为等比数列，所以公比为2，即bn＋1=2bn，
则an＋1－an＝2，所以数列{an}是以1为首项2为公差的等差数列，
所以an＝2n-1
（2）
由（1）知数列{bn}为公比为2的等比数列
若选①，由2S2=S3-2得2（b1+2b1）＝b1+2b1+4b1-2，所以b1＝2，则bn =
若选②，由b2，2a3， b4成等差数列得4a3= b2+ b4，即2b1+8b1＝20，
所以b1＝2，则bn =
若选③，由S6＝126得，所以b1＝2，则bn =
所以cn＝
数列{cn}的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，
所以T2n＝
等差数列
等比数列
递推公式
通项公式
等差（比）中项
等间隔抽项
仍构成等差数列
仍构成等比数列
相邻项和
成等差数列
成等比数列
方法
解读
适合题型
定义法
若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
方法
解读
适合题型
定义法
若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列