高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题28an与Sn关系问题【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题28an与Sn关系问题【原卷版+解析】，共37页。

【热点聚焦】
等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成两类数列的重要内容，在历届高考中属于必考内容，既有独立考查的情况，也有二者与其它知识内容综合考查的情况．一般地，选择题、填空题往往独立考查等差数列或等比数列的基本运算，解答题往往综合考查等差数列、等比数列．数列求和问题是高考数列中的另一个易考类型，其中常见的是“裂项相消法”、“错位相减法”.数列求和与不等式证明相结合，又是，数列考题中的常见题型，关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明（数列的和）不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列的和不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”，要根据不等式的性质通过放缩，达到解题目的. 关于求数列的通项公式问题，在高考中较少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，特别是题目中给定与的关系，通过确定数列的通项公式进一步解题，常见于各类考试题中.
【重点知识回眸】
（一）依据递推关系求数列通项公式
1、累加（累乘法）
（1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式
① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和
② 的系数相同，且为作差的形式
（2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式
2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式
（1）形如的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式.
（2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题.
另外：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如（其中为关于的表达式），可两边同时除以，.设，即，进而只要可进行求和，便可用累加的方法求出，进而求出.
（3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，进而可设，递推公式变为，转变为上面的类型求解
（4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式，将，进而可转化为上面所述类型进行求解
（二）已知数列的前项和，求数列的通项公式：
求解过程分为三步：
(1)先利用求出；
(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；
(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．
（三）“构造相减”求通项公式
当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决.尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式.
（四）“观察、归纳、猜想”求通项公式
先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式（教科书的基本要求：根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．必要时再利用数学归纳法证明.
【典型考题解析】
热点一 累加法研究（通）项
【典例1】(2023·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式；
【总结提升】
由递推关系求通项公式的关键是“模型化”，即针对不同的关系选择不同的方法求解.
热点二 累乘（积）法研究（通）项
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式等于___________
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，.求的通项公式；
【典例6】(2023·全国·高三专题练习）已知数列{}满足：，，，且其前项和为，求与.
热点三 构造法研究（通）项
【典例7】（2023·浙江·高考真题）设，数列中，， ,则
A．当B．当
C．当D．当
【典例8】(2023·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则
A．B．C．D．
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式___________
【规律方法】
构造法构造的领域较广泛，如构造方程、函数、数列等.一般地，构造数列往往结合等差(比)数列的定义求解.
热点四 构造相减研究（通）项
【典例10】(2023·北京·高考真题）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【典例11】(2023·全国·高考真题（理））已知数列的前n项和，其中．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求．
【典例12】(2023·全国·高考真题（文））设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
【典例13】(2023·河南·高三阶段练习（理））已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【典例14】（2023·江西南昌·高三阶段练习）已知正项数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求使得的最大整数的值．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）若数列{}的前n项和为＝，=（ ）
A．B．C．D．
2．（安徽省部分校2023届高三上学期开学摸底考）已知数列 的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2023·山东·高三开学考试）已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为D．
5．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．数列是等差数列
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，（），则___________
四、解答题
9．(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知数列满足，且.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
10.（2023·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，前项和为，且满足
(1)求证：为等差数列；
(2)求的通项公式．
12．(2023·安徽省太和中学高三阶段练习）已知等差数列的前项和为，等差数列的公差为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
13．(2023·云南·昆明一中高三开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，求.
14．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足()，.
(1)求；
(2)求数列的通项公式．
15．(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））在数列中，，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，且数列的前项n和为，证明：.
16．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）在数列中，，
(1)设，求证：；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
17．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，
(1)求和
(2)求证：．
18．(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）.
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：
(2)当时，求证：.
专题28 与 关系问题
【热点聚焦】
等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成两类数列的重要内容，在历届高考中属于必考内容，既有独立考查的情况，也有二者与其它知识内容综合考查的情况．一般地，选择题、填空题往往独立考查等差数列或等比数列的基本运算，解答题往往综合考查等差数列、等比数列．数列求和问题是高考数列中的另一个易考类型，其中常见的是“裂项相消法”、“错位相减法”.数列求和与不等式证明相结合，又是，数列考题中的常见题型，关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明（数列的和）不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列的和不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”，要根据不等式的性质通过放缩，达到解题目的. 关于求数列的通项公式问题，在高考中较少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，特别是题目中给定与的关系，通过确定数列的通项公式进一步解题，常见于各类考试题中.
【重点知识回眸】
（一）依据递推关系求数列通项公式
1、累加（累乘法）
（1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式
① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和
② 的系数相同，且为作差的形式
（2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式
2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式
（1）形如的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式.
（2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题.
另外：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如（其中为关于的表达式），可两边同时除以，.设，即，进而只要可进行求和，便可用累加的方法求出，进而求出.
（3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，进而可设，递推公式变为，转变为上面的类型求解
（4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式，将，进而可转化为上面所述类型进行求解
（二）已知数列的前项和，求数列的通项公式：
求解过程分为三步：
(1)先利用求出；
(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；
(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．
（三）“构造相减”求通项公式
当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决.尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式.
（四）“观察、归纳、猜想”求通项公式
先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式（教科书的基本要求：根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．必要时再利用数学归纳法证明.
【典型考题解析】
热点一 累加法研究（通）项
【典例1】(2023·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】
∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
【典例2】（2023·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】
因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式；
答案：
分析：由已知条件可得，再由递推及可得，最后再检验即可得到答案.
【详解】因为，所以，
，…，所以累加可得．
又，所以，所以．
经检验，，也符合上式，所以．
【总结提升】
由递推关系求通项公式的关键是“模型化”，即针对不同的关系选择不同的方法求解.
热点二 累乘（积）法研究（通）项
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式等于___________
答案：
分析：根据给定的递推公式，结合“当时，”化简，再利用累乘法求解作答.
【详解】由得：，当时，，
两式相减得：，化简整理得：，
当时，，即有，解得，因此，，，，
，
而满足上式，所以.
故答案为：
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，.求的通项公式；
答案：，
分析：根据已知条件可利用与的关系可得，再由递推累乘可得通项公式，最后检验是否符合通项公式即可.
【详解】时，，解得.
当时，，故，所以，
故.
经检验，符合上式，
故的通项公式为，.
【典例6】(2023·全国·高三专题练习）已知数列{}满足：，，，且其前项和为，求与.
答案：，.
分析：由已知可得，然后利用累乘法可求出，再利用错位相减法可求出.
【详解】由得，
当n2时，
，
又也满足上式，故(n).
∴
相减得，
∴.
热点三 构造法研究（通）项
【典例7】（2023·浙江·高考真题）设，数列中，， ,则
A．当B．当
C．当D．当
答案：A
【解析】
若数列为常数列，，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.
【详解】
若数列为常数列，则，由，
可设方程
选项A：时，，，
，
故此时不为常数列，
，
且，
，则，
故选项A正确；
选项B：时，，，
则该方程的解为，
即当时，数列为常数列，，
则，故选项B错误；
选项C：时，，
该方程的解为或，
即当或时，数列为常数列，或，
同样不满足，则选项C也错误；
选项D：时，，
该方程的解为，
同理可知，此时的常数列也不能使，
则选项D错误.
故选：A.
【点睛】
利用函数方程思想，通过构造方程，研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.
【典例8】(2023·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.
【详解】
令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
【点睛】
构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式___________
答案：
分析：由已知条件可得，从而可得数列是等差数列，求出其通项公式后化简即可得到.
【详解】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，
∴，∴.
故答案为：.
【规律方法】
构造法构造的领域较广泛，如构造方程、函数、数列等.一般地，构造数列往往结合等差(比)数列的定义求解.
热点四 构造相减研究（通）项
【典例10】(2023·北京·高考真题）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
答案：①③④
【解析】
分析：
推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】
由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
【典例11】(2023·全国·高考真题（理））已知数列的前n项和，其中．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到数列的递推公式，即可得到是等比数列及的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前项和，结合的值，建立方程可求得的值．
试题解析：（Ⅰ）由题意得，故，，.
由，得，即.由，得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列，于是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.
解得.
【典例12】(2023·全国·高考真题（文））设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
答案：(1) ；(2).
【解析】
（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.
（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.
【详解】
（1）数列满足
时,
∴
∴
当时,,上式也成立
∴
（2）
∴数列的前n项和
【典例13】(2023·河南·高三阶段练习（理））已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
答案：(1);(2).
分析：(1)根据与关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解；
(2)利用分组求和法与等比数列的求和公式直接求解.
【详解】解：(1)当n＝1时，，
∵，∴．可得，当时，，，
两式相减，得，即，
故数列是首项为1，公比为的等比数列，则；
(2)由(1)知，，
故．
【典例14】（2023·江西南昌·高三阶段练习）已知正项数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求使得的最大整数的值．
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据得数列是等差数列，公差为，首项为，进而得其通项公式；
（2）结合（1）得，进而得，再解不等式即可得答案.
（1）
解：因为①，
所以，当时，②，
所以，①②得：，即，
因为，，
所以，
因为，当时，，解得，
所以，数列是等差数列，公差为，首项为.
所以
（2）
解：结合（1）得，
所以，数列的前项和为，
所以，，整理得：，解得.
所以，使得的最大整数的值为.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）若数列{}的前n项和为＝，=（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据已知条件，利用与的关系求得数列的通项公式，利用等比数列前项和公式求解即可.
【详解】解：当时，，解得，
当时，，即，
∴是首项为1，公比为-2的等比数列，∴，
所以.
故选：B.
2．（安徽省部分校2023届高三上学期开学摸底考）已知数列 的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：利用与关系求得通项关系，判断数列为等比数列即可求得.
【详解】当时，，∴，当时，，两式相减可得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．
故选:D．
3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据给定条件，结合变形，构造数列，再求数列通项即可求解作答.
【详解】因为，则，于是得，
因此数列是公差为1的等差数列，首项，则，所以.
故选：D
二、多选题
4．（2023·山东·高三开学考试）已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为D．
答案：BCD
分析：由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，由数列的裂项相消求和可得.
【详解】解：由即为，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，
又，可得
故选：BCD
5．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．数列是等差数列
答案：BCD
分析：先由an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，判断出是以－1为首项，d＝－1的等差数列，即可判断D,进而求出，再由求出通项公式.
【详解】∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得.
∴是以－1为首项，d＝－1的等差数列，
即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
∴Sn＝－.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＋＝，
又a1＝－1不符合上式，
∴
故A错误，BCD正确.
故选：BCD
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.
答案：
分析：由构造法和与关系求解
【详解】由题意得，而，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
，，当时，，也满足此式，
综上，
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
答案：
分析：利用与关系即得.
【详解】因为，
当时，，
当时，，
所以．
故答案为：．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，（），则___________
答案：
分析：根据给定的递推公式，结合“当时，”构造数列求出数列的通项即可求解作答.
【详解】因为，则，当时，，因此，
化简整理得，而，有，即有，，
因此，数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即，
所以.
故答案为：
四、解答题
9．(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知数列满足，且.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
答案：(1)证明见详解，
(2)
分析：（1）根据递推公式构造可证，然后借助为等比数列可得通项，再构造数列可证为等差数列，根据等差数列通项公式可解；
（2）由错位相减法可得.
(1)
因为
所以
又因为
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以
变形得
所以是以为首项，1为公差的等差数列
所以，所以
(2)
因为…①
所以…②
①-②得：
所以
10.（2023·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
答案：（1），，，证明见解析；（2）.
【解析】
分析：
（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】
（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
［方法二］：构造法
由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以．
［方法三］：累加法
由题意可得，．
由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，．
［方法四］：构造法
，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即．
（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由①②得：
，
即.
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以．
［方法三］：构造法
当时，，设，即，则，解得．
所以，即为常数列，而，所以．
故．
［方法四］：
因为，令，则
，
，
所以．
故．
【整体点评】
（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；
方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式；
方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式；
方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式．
（2）
方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；
方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；
方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出；
方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，前项和为，且满足
(1)求证：为等差数列；
(2)求的通项公式．
答案：(1)见详解
(2)n＋2
分析：（1）利用可得答案；
（2）由（1）得，，代入等差数列的通项公式可得答案.
（1）
当时，有，即，
解得 (舍去)，，
当时，有，
两式相减得，
即，也即，
因此或，
若，则，而，所以，
这与数列的各项均为正数矛盾，所以，
即，因此为公差为1的等差数列；
（2）
由（1）知，，所以数列的通项公式，
即．
12．(2023·安徽省太和中学高三阶段练习）已知等差数列的前项和为，等差数列的公差为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
答案：(1)，
(2)
分析：（1）利用当时，，可求得，进而求得数列的公差为，再由，解得，从而求得数列和数列的通项公式（2）利用裂项相消法求和即得所求
（1）
由可得，
当时，
则
所以
即数列的公差为，又
所以，解得，
故数列的通项公式为，数列的通顶公式为；
（2）
由（1）可知，，所以.
13．(2023·云南·昆明一中高三开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，求.
答案：(1)
(2)
分析：（1）先用替换原式中的，然后两式作差，结合与的关系，即可得到为等差数列，从而得到其通项.
（2）由（1）的结论，求得及，代入化简，得到的式子，裂项相消即可.
（1）
，
，
两式作差得:，
，
成等差数列，
又当时，，
所以
即
（2）
由（1）知，
则，
即
，
故
.
14．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足()，.
(1)求；
(2)求数列的通项公式．
答案：(1)
(2)
分析：(1) 利用, 化简已知条件, 转化推出. 即可证明数列是等差数列 ;
(2)利用（1）求出数列的和, 通过已知条件转化求解即可.
（1）
由题意可得, 当时，,
当时，, 即 , 可得 ,
即数列 是首项为2 ,公差为2的等差数列 , , 可得.
经检验，时，满足上式，
故.
（2）
由(1)可得，当时，,
当时，,不符合，
综上所述, 结论是:
.
15．(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））在数列中，，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，且数列的前项n和为，证明：.
答案：(1)
(2)证明见解析
分析：（1）由已知得当，再和已知的式子相减化简后利用累乘法可求出通项公式，
（2）由（1）得当时，，利用裂项相消法可求得，从而可证得结论.
（1）
解：因为，
所以当，
两式相减，得，即，
当时，，
所以当时，，
所以当时，，
当时，上式成立；当时，上式不成立，
所以
（2）
证明：由（1）知
当时，，
所以当，；
当时，
.
综上，.
16．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）在数列中，，
(1)设，求证：；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3).
分析：（1）依题意将转化为，将代入即可得到，结论成立；
（2）根据第（1）问，运用累加法得到，进而求出；
（3）根据第（1）、（2）问知，，，则，运用分组转化求和以及错位相减求和，得出数列的前项和.
（1）
由条件可知：，，
，
，；
（2）
由第（1）问可知，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
以上各式相加，得，
，，，即；
（3）
由第（1）、（2）问知，，，则，
设数列的通项公式，前项和为，
则，
，
两式相减，得
，
，
数列的前项和.
17．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，
(1)求和
(2)求证：．
答案：(1)，
(2)证明见解析
分析：（1）利用可得，从而可求及.
（2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.
（1）
时，，时，，
所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．
所以，即，
当时，，
当时，，不满足上式，
所以，
（2）
当时，，原式成立．
当时，
所以．
18．(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）.
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：
(2)当时，求证：.
答案：(1)证明见解析，
(2)证明见解析
分析：（1）利用和的关系即可得到结果；
（2）利用裂项相消法，即可证明不等式.
（1）
∵（且），
当时，，
，
又，所以，
，
数列是以为首项，公差为1的等差数列，
，所以.
当时，，
又满足上式，
数列的通项公式为.
（2）
当时，，
故
所以对，都有.