高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题29几何体的面积与体积【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题29几何体的面积与体积【原卷版+解析】，共46页。

【热点聚焦】
高考命题主要以小题的形式考查识读几何体的结构和面积体积计算，在全国不同类型的试卷中，侧重点也有所不同，其中将三视图列入考查范围的省份，三视图多与面积或体积计算结合在一起加以考查，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．题目的难度基本在中等及以下.而以考查几何体体积与表面积计算为主的题目，则有难有易；对于球与其它几何体的切接问题，涉及知识点较多，难度稍大，但无论哪种类型的题目，都需要灵活应用几何体的结构特征．
【重点知识回眸】
（一）多面体的结构特征
（二）正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
（三）旋转体的结构特征
（四）三视图与直观图
（五）常见几何体的表面积计算：
1、常见面积计算公式：
（1）三角形面积：设的底为，高为，则
（2）圆形面积：设圆的半径为，则
（3）圆柱的侧面积：设圆柱底面半径为，高为，则侧面积为
（4）圆锥的侧面积：设圆锥底面半径为 ，母线长为，则侧面积为
（5）圆台的侧面积：设圆台上下底面半径分别为，母线长为，则侧面积为
（6）棱柱（棱锥，棱台）的侧面积：只需求出每个侧面的面积并加在一起
（7）球的面积：设球的半径为，则球的表面积为
2、轴截面：对于旋转体（圆柱，圆锥，圆台），用轴所在的平面去截几何体，得到的截面称为轴截面，轴截面的边角关系与几何体的一些要素向对应.
（1）圆柱：轴截面为矩形，其中矩形的长对应圆柱的底面直径，矩形的高对应椭圆的高
（2）圆锥：轴截面为等腰三角形，其中等腰三角形的底对应圆锥的底面直径，高对应圆锥的高，腰对应圆锥的母线长
（3）圆台：轴截面为等腰梯形，其中上底对应圆台上底面直径，下底对应下底面直径，高对应圆台的高，腰对应圆台的母线
（六）常见几何体的体积计算：
1、常见几何体的体积公式：（底面积，高）
（1）柱体：
（2）锥体：
（3）台体：，其中为上底面面积，为下底面面积
（4）球：
（七）常用结论
1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2eq \r(2)S直观图．
2．多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝a，内切球半径r＝H＝a，
外接球半径R＝H＝a.
【典型考题解析】
热点一 三视图
【典例1】（2023·全国·高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
【典例3】（2023·全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
三视图
1.几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
2.三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.
热点二 空间几何体的结构特征
【典例4】（2023·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A．B．C．D．
【典例5】（2023·山东海南省高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【总结提升】
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
热点三 几何体的面积
【典例6】(2023·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例7】（2023·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
【典例8】（2023·江苏·高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
【特别提醒】
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
热点四 几何体的体积
【典例10】(2023·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例11】【多选题】(2023·全国·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例12】（2023·全国·高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【方法总结】
1.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
3.涉及体积或面积的最值（范围）问题，除利用几何特征外，往往利用函数方程思想，通过构建函数，应用函数知识、基本不等式或导数等加以解决.
热点五 三视图与几何体的面积、体积
【典例13】(2023·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．B．C．D．
【典例14】(2023·全国·高考真题（理））如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【典例15】（2023·北京·高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例16】(2023·全国·高三专题练习）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______．
【总结提升】
1.若几何体以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
2.已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·浙江·三模）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．B．2C．3D．
2．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A．3B．2C．D．1
3．（2023·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．56B．C．D．
4．（2023·北京·高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
5.（2023·全国·高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．B．C．1D．
9.（2023·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．1D．
10．(2023·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
12．(2023·湖南师大附中三模）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度为2，水槽侧面上有一个小孔E，点E到直线CD的距离为3，将该水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上）至恰有水从小孔流出，则在倾斜过程中，下列说法正确的有（ ）
A．没水的部分始终呈四棱柱形
B．水面始终经过水槽的外接球的球心
C．水面的面积为定值
D．E到桌面的最小距离为
13．(2023·全国·高三专题练习）如图，正方形的棱长为1，线段有两个动点，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．异面直线所成角为定值
C．直线与平面所成角为定值
D．以为顶点的四面体的体积不随位置的变化而变化
14．（2023·河北·高三阶段练习）如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为
三、双空题
15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A和球，圆柱的底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球则球A的体积为________，圆柱的侧面积与球B的表面积之比为___________.
四、填空题
16．(2023·四川成都·模拟预测（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为________.
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为______．
18．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱，则球表面积为___________.
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
互相平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直
于底面
长度相等且相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
旋转图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
三视图
画法规则：长对正、高平齐、宽相等
直观图
斜二测画法：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.
专题29 几何体的面积与体积
【热点聚焦】
高考命题主要以小题的形式考查识读几何体的结构和面积体积计算，在全国不同类型的试卷中，侧重点也有所不同，其中将三视图列入考查范围的省份，三视图多与面积或体积计算结合在一起加以考查，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．题目的难度基本在中等及以下.而以考查几何体体积与表面积计算为主的题目，则有难有易；对于球与其它几何体的切接问题，涉及知识点较多，难度稍大，但无论哪种类型的题目，都需要灵活应用几何体的结构特征．
【重点知识回眸】
（一）多面体的结构特征
（二）正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
（三）旋转体的结构特征
（四）三视图与直观图
（五）常见几何体的表面积计算：
1、常见面积计算公式：
（1）三角形面积：设的底为，高为，则
（2）圆形面积：设圆的半径为，则
（3）圆柱的侧面积：设圆柱底面半径为，高为，则侧面积为
（4）圆锥的侧面积：设圆锥底面半径为 ，母线长为，则侧面积为
（5）圆台的侧面积：设圆台上下底面半径分别为，母线长为，则侧面积为
（6）棱柱（棱锥，棱台）的侧面积：只需求出每个侧面的面积并加在一起
（7）球的面积：设球的半径为，则球的表面积为
2、轴截面：对于旋转体（圆柱，圆锥，圆台），用轴所在的平面去截几何体，得到的截面称为轴截面，轴截面的边角关系与几何体的一些要素向对应.
（1）圆柱：轴截面为矩形，其中矩形的长对应圆柱的底面直径，矩形的高对应椭圆的高
（2）圆锥：轴截面为等腰三角形，其中等腰三角形的底对应圆锥的底面直径，高对应圆锥的高，腰对应圆锥的母线长
（3）圆台：轴截面为等腰梯形，其中上底对应圆台上底面直径，下底对应下底面直径，高对应圆台的高，腰对应圆台的母线
（六）常见几何体的体积计算：
1、常见几何体的体积公式：（底面积，高）
（1）柱体：
（2）锥体：
（3）台体：，其中为上底面面积，为下底面面积
（4）球：
（七）常用结论
1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2eq \r(2)S直观图．
2．多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝a，内切球半径r＝H＝a，
外接球半径R＝H＝a.
【典型考题解析】
热点一 三视图
【典例1】（2023·全国·高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.
【详解】
由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，
所以其侧视图为
故选：D
【典例2】（2023·全国·高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
答案：③④（答案不唯一）
分析：
由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.
【详解】
选择侧视图为③，俯视图为④，
如图所示，长方体中，，
分别为棱的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥.
故答案为：③④.
【典例3】（2023·全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
根据三视图，画出多面体立体图形，
上的点在正视图中都对应点M,直线上的点在俯视图中对应的点为N,
∴在正视图中对应,在俯视图中对应的点是,线段,上的所有点在侧试图中都对应,∴点在侧视图中对应的点为.
故选：A
【总结提升】
三视图
1.几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
2.三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.
热点二 空间几何体的结构特征
【典例4】（2023·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选：C.
【典例5】（2023·山东海南省高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
答案：.
【解析】
如图：
取的中点为，的中点为，的中点为，
因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，
因为，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得.
故答案为：.
【总结提升】
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
热点三 几何体的面积
【典例6】(2023·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】
设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
【典例7】（2023·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
答案：C
【解析】
分析：
由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
【典例8】（2023·江苏·高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.
【详解】
根据题意作图，
设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .
若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
则有，.
该圆锥的底面积与侧面积比值为.
故选：C.
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
答案：
分析：
利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】
∵
∴
∴
∴.
故答案为：.
【特别提醒】
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
热点四 几何体的体积
【典例10】(2023·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】
∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
【典例11】【多选题】(2023·全国·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【解析】
分析：
直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.
【详解】
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
【典例12】（2023·全国·高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
答案：
【解析】
分析：
将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【详解】
易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为，
由于，故，
设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：.
故答案为：.
【方法总结】
1.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
3.涉及体积或面积的最值（范围）问题，除利用几何特征外，往往利用函数方程思想，通过构建函数，应用函数知识、基本不等式或导数等加以解决.
热点五 三视图与几何体的面积、体积
【典例13】(2023·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为，圆台的下底面半径为，所以该几何体的体积．
故选：C．
【典例14】(2023·全国·高考真题（理））如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A．8B．12C．16D．20
答案：B
【解析】
分析：
由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.
【详解】
由三视图还原几何体，如图，
则该直四棱柱的体积.
故选：B.
【典例15】（2023·北京·高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.
【详解】
根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥，
其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为，
故选：A.
【典例16】(2023·全国·高三专题练习）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______．
答案：##
【解析】
分析：
由三视图可知，此几何体是一个半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组成,分别计算表面积，再求和后减去重叠的部分的面积即可.
【详解】
由三视图可知，此几何体是一个半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组成．
．
故答案为：.
【总结提升】
1.若几何体以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
2.已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·浙江·三模）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．B．2C．3D．
答案：C
【解析】
分析：
从三视图可以得到直观图为直六棱柱，分别求出直六棱柱的底面积和高，由体积公式即可得出答案.
【详解】
从三视图可以得到直观图为直六棱柱，如图所示，
在俯视图中，可以求出底面积为，从正视图和侧视图可知直六棱柱的高为1，所以该几何体的体积是.
故选：C.
2．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A．3B．2C．D．1
答案：D
【解析】
分析：
若外接球的半径为R，由外接球体积可得，补全四棱锥为长方体，结合长方体外接球直径与体对角线关系及已知各棱的数量关系求棱长，最后由棱锥体积公式求体积.
【详解】
设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即．
由题意，易知，得，
设，得，解得，
所以四棱锥P-ABCD的体积为．
故选：D
3．（2023·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．56B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据已知条件作出图形，求出棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求解.
【详解】
如图所示，
在正四棱台中，点分别为上、下底面的中心，连接，则由题意可知底面，，过点作交于点，则底面，四边形为矩形，，所以，因为，所以，
即正四棱台的高为，所以正四棱台的体积为.
故选：B.
4．（2023·北京·高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
答案：B
【解析】
分析：
计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【详解】
由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，
所以积水厚度，属于中雨.
故选：B.
5.（2023·全国·高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.
【详解】
，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
6．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
求得四棱锥的高和斜高，利用等体积法求得内切球的半径，即可求得其体积.
【详解】
如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO,OE,PE,
则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，
因为,故 ,则 ，
设该四棱锥的内切球的半径为r，
则 ，
即 ，解得 ，
故内切球的体积为 ,
故选：B
7．(2023·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
画出截面图，设储物盒所在球的半径为，从而利用表达出小球最大半径和正方体棱长，进而求出比值.
【详解】
设储物盒所在球的半径为，如图，
小球最大半径满足，所以，
正方体的最大棱长满足，解得：，
∴，
故选：D.
8．(2023·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．B．C．1D．
答案：D
【解析】
分析：
易证平面，然后由求解.
【详解】
解：如图所示：
连接，
因为，，且，
所以平面，
所以，
，
故选：D
9.（2023·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．1D．
答案：C
【解析】
分析：
根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.
【详解】
设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
10．(2023·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
【详解】
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又
则
当且仅当即时等号成立，
故选：C
11．（2023·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】
如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
二、多选题
12．(2023·湖南师大附中三模）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度为2，水槽侧面上有一个小孔E，点E到直线CD的距离为3，将该水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上）至恰有水从小孔流出，则在倾斜过程中，下列说法正确的有（ ）
A．没水的部分始终呈四棱柱形
B．水面始终经过水槽的外接球的球心
C．水面的面积为定值
D．E到桌面的最小距离为
答案：AB
【解析】
分析：
根据四棱柱的定义判断A；水槽绕CD倾斜过程中利用体积不变确定水面变化规律判断B，C；计算出E到桌面的最小距离判断D.
【详解】
设水面与棱交于点，与棱交于点，与棱交于点，与棱交于点，
由四棱柱的定义，几何体为直四棱柱，故A正确；
水槽绕CD倾斜至恰有水从小孔流出过程中，
水的体积不变，，
所以线段分别恒过正方形的中心，即水面恒过正方体体心，又因为正方体体心为其外接球球心，B显然正确；
对于C选项：水面的面积，由于不为定值，所以水面面积不为定值，故C错误；对于D选项；易知水槽绕CD倾斜至恰有水从小孔流出时E到桌面的距离最小，如图，桌面，到桌面的距离等于到桌面的距离，，故D错误.
故选：AB.
13．(2023·全国·高三专题练习）如图，正方形的棱长为1，线段有两个动点，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．异面直线所成角为定值
C．直线与平面所成角为定值
D．以为顶点的四面体的体积不随位置的变化而变化
答案：ACD
【解析】
分析：
A.连接BD交AC于O，连接OE，由正方体特征易证平面判断；B.易证是平行四边形，得到，则是异面直线所成的角求解判断；C.由平面，得到是直线与平面所成的角求解判断；D.由四面体的体积为判断.
【详解】
如图所示：
连接BD交AC于O，连接OE，
由正方体特征知：，且，则平面，所以，故A正确；
因为，所以是平行四边形，则，所以是异面直线所成的角，又平面，则，因为OE变化，则变化，故B错误；
由平面，得是直线与平面所成的角，且为定值，故C正确；
以为顶点的四面体的体积为 为定值，故正确；
故选：ACD
14．（2023·河北·高三阶段练习）如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为
答案：BCD
【解析】
分析：
当时，BP最小，结合正三角形性质，求得B到直线的距离判断A，将平面翻折到平面上，求得PA+PC的最小值判断B，由题可得平面，进而可得三棱锥的体积不变，判断C，根据球的截面的性质可得以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可判断D.
【详解】
对于A，当时，BP最小，由于
到直线的距离，故A错误；
对于B，将平面翻折到平面上，如图，
连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC，
在三角形ADC中，,，故B正确；
对于C，由正方体的性质可得，平面，
平面，到平面的距离为定值，
又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故正确；
对于D，由于平面，设与平面交于点，
，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，
，，
在以为圆心，为半径的圆上，
由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，
故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，
交线长为，故正确．
故选：BCD.
三、双空题
15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A和球，圆柱的底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球则球A的体积为________，圆柱的侧面积与球B的表面积之比为___________.
答案：

【解析】
分析：
根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的体积；根据球的表面积和圆柱的侧面积公式可求出圆柱的侧面积与球B的表面积之比.
【详解】
设圆柱的底面半径为R，小球的半径为r，且，
由圆柱与球的性质知，
即，，
球A的体积为
（2）球B的表面积，
圆柱的侧面积，
圆柱的侧面积与球B的表面积之比为
故答案为：；
四、填空题
16．(2023·四川成都·模拟预测（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为________.
答案：
【解析】
分析：
根据三视图可知这是一个四面体，根据长度即可根据三角形面积公式求每一个面的面积，进而可得表面积.
【详解】
该几何体的直观图是正方体中的四面体，， 故答案为： .
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为______．
答案：
【解析】
分析：
作出图形，确定几何体的外接球的球心的位置，结合球的体积公式即可求解
【详解】
由题可得均为等腰直角三角形，如图，
设的中点为，
连接，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面平面，
易得，
则几何体的外接球的球心为，半径，
所以几何体的外接球的体积为．
故答案为：
18．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱，则球表面积为___________.
答案：
【解析】
分析：
由题可得外接球的球心O是上下底面外接圆的圆心连线的中点，然后构造直角三角形，可得半径，从而得到表面积.
【详解】
设三角形ABC和三角形的外心分别为D，E．可知其外接球的球心O是线段DE的中点，连结OC，CD，设外接球的半径为R，三角形ABC的外接圆的半径r，可得，由正弦定理得，，
而在三角形OCD中，可知，
即，因此三棱柱外接球的表面积为．
故答案为：
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
互相平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直
于底面
长度相等且相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
旋转图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
三视图
画法规则：长对正、高平齐、宽相等
直观图
斜二测画法：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.