高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题31直线与圆、圆与圆的位置关系【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题31直线与圆、圆与圆的位置关系【原卷版+解析】，共35页。

【热点聚焦】
纵观近几年的高考试题，一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题、弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.
【重点知识回眸】
圆
1.定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
2、圆的标准方程：设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
3、圆的一般方程：圆方程为
（1）的系数相同
（2）方程中无项
（3）对于的取值要求：
（二）直线与圆位置关系的判定：
相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：
1.几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则：
① 当时，直线与圆相交
② 当时，直线与圆相切
③ 当时，直线与圆相离
2.代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数.设直线：，圆：，则：
消去可得关于的一元二次方程，考虑其判别式的符号
① ，方程组有两组解，所以直线与圆相交
② ，方程组有一组解，所以直线与圆相切
③ ，方程组无解，所以直线与圆相离
3.圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
（三）直线与圆相交：
弦长计算公式：
（四）圆的切线：
（1）求切线方程主要依据：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径.
（2）圆上点的切线结论：
① 圆上点处的切线方程为
② 圆上点处的切线方程为
（3）以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
（4）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程.（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线）
（五）与圆相关的最值问题
（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.
（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.
（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于
（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.
（六）圆与圆的位置关系：
外离，外切，相交，内切，内含
（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆的半径为，
① 外离
② 外切
③ 相交
④ 内切
⑤ 内含
（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系.但只能判断交点的个数.例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定
【典型考题解析】
热点一 圆的方程
【典例1】(2023·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【典例2】(2023·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【总结提升】
求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
热点二 与圆有关的最值问题
【典例3】（2023·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
【典例4】(2023·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【总结提升】
1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝eq \f (y－b,x－a)形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
热点三 与圆有关的轨迹问题
【典例5】（2023·云南高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．（x﹣5）2+y2＝16B．x2+（y﹣5）2＝9
C．（x+5）2+y2＝16D．x2+（y+5）2＝9
【典例6】(2023·江苏高三专题练习）已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点做圆的切线，切点为，若，则点P的轨迹方程是____________；的取值范围 是____________．
【规律方法】
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
热点四 直线与圆的位置关系
【典例7】(2023·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
【典例8】（2023·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【典例9】（2023·全国高考真题）已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．
【方法总结】
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
热点五 圆与圆的位置关系
【典例10】（2023·四川高考真题）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_________．
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：，其中．
(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；
(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．
【总结提升】
1.几何法判断圆与圆的位置的步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
2．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．
热点六 直线、圆的综合问题
【典例12】（2023·全国·高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例13】(2023·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【典例14】（2023·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
【总结提升】
1.主要包括切线问题、弦长问题、探索性问题.
2.几何法解决直线与圆的综合问题
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
【精选精练】
2023直线与圆
一、单选题
1．（2023·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
3.（2023·全国·高三专题练习）直线与圆相切，则（ ）
A．3B．C．或1D．3或
4．（2023·全国·高三专题练习）圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b≤1B．﹣1≤b≤1
C．b≤﹣1D．﹣1＜b≤1或b
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A．B．C．D．
11．(2023·全国·模拟预测（理））过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
12．（2023·全国·高三专题练习）直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条
A．10B．9
C．8D．7
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（ ）
A．6B．5C．4D．3
二、多选题
14．（2023·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
15．（2023·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
16．(2023·海南中学高三阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为B．在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10
C．在C上存在点M，使得D．C上的点到直线的最大距离为9
17．（2023·河北·高三阶段练习）已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，过M点的圆C的最短弦长是
C．线段的中点纵坐标最小值是
D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是
三、填空题
18．(2023·河南·高三阶段练习（文））直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
专题31 直线与圆、圆与圆的位置关系
【热点聚焦】
纵观近几年的高考试题，一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题、弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.
【重点知识回眸】
圆
1.定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
2、圆的标准方程：设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
3、圆的一般方程：圆方程为
（1）的系数相同
（2）方程中无项
（3）对于的取值要求：
（二）直线与圆位置关系的判定：
相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：
1.几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则：
① 当时，直线与圆相交
② 当时，直线与圆相切
③ 当时，直线与圆相离
2.代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数.设直线：，圆：，则：
消去可得关于的一元二次方程，考虑其判别式的符号
① ，方程组有两组解，所以直线与圆相交
② ，方程组有一组解，所以直线与圆相切
③ ，方程组无解，所以直线与圆相离
3.圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
（三）直线与圆相交：
弦长计算公式：
（四）圆的切线：
（1）求切线方程主要依据：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径.
（2）圆上点的切线结论：
① 圆上点处的切线方程为
② 圆上点处的切线方程为
（3）以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
（4）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程.（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线）
（五）与圆相关的最值问题
（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.
（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.
（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于
（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.
（六）圆与圆的位置关系：
外离，外切，相交，内切，内含
（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆的半径为，
① 外离
② 外切
③ 相交
④ 内切
⑤ 内含
（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系.但只能判断交点的个数.例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定
【典型考题解析】
热点一 圆的方程
【典例1】(2023·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
答案：或或或；
【解析】
分析：
设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】
解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或.
【典例2】(2023·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
答案：
【解析】
分析：
设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】
解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
【总结提升】
求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
热点二 与圆有关的最值问题
【典例3】（2023·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
答案：A
【解析】
分析：
求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】
设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
【典例4】(2023·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
答案：
【解析】
分析：
首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】
解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
【总结提升】
1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝eq \f (y－b,x－a)形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
热点三 与圆有关的轨迹问题
【典例5】（2023·云南高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．（x﹣5）2+y2＝16B．x2+（y﹣5）2＝9
C．（x+5）2+y2＝16D．x2+（y+5）2＝9
答案：A
【解析】
设，由，得，
可得：（x+3）2+y2＝4（x﹣3）2+4y2，
即x2﹣10x+y2+9＝0
整理得，故动点的轨迹方程为.选A.
【方法点晴】
求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.
【典例6】(2023·江苏高三专题练习）已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点做圆的切线，切点为，若，则点P的轨迹方程是____________；的取值范围 是____________．
答案：
分析：
根据题意得，故设，再结合距离公式得，进而将问题转化为直线与圆有公共点，再结合圆心到直线的距离与半径的关系求解即可.
【详解】
圆，直线与轴相交于点
设，由可得，
即，满足的点P的轨迹是一个圆，
所以问题转化为直线与圆有公共点
所以，，
所以实数的取值范围是：
故答案为：；
【规律方法】
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
热点四 直线与圆的位置关系
【典例7】(2023·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
答案：
【解析】
分析：
计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
【典例8】（2023·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
答案：
【解析】
分析：
设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】
设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
【典例9】（2023·全国高考真题）已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．
答案：4
【解析】
分析：
由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.
【详解】
因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
故答案为4
【方法总结】
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
热点五 圆与圆的位置关系
【典例10】（2023·四川高考真题）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_________．
答案：4
【解析】
【详解】
依题意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4.
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：，其中．
(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；
(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．
答案：(1)；
(2).
【解析】
分析：
（1）解方程即得解；
（2）解方程即得解.
（1）解：由圆，可得，则圆心，半径，由圆，可得圆心，半径，因为两圆外切，则，解得．
（2）解：圆的圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离，又直线与圆相交所得的弦长为，，解得．的值为．
【总结提升】
1.几何法判断圆与圆的位置的步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
2．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．
热点六 直线、圆的综合问题
【典例12】（2023·全国·高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】
圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【典例13】(2023·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
答案：或或
【解析】
分析：
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
【典例14】（2023·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
答案：
【解析】
分析：
由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可.
【详解】
设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
故答案为：
【总结提升】
1.主要包括切线问题、弦长问题、探索性问题.
2.几何法解决直线与圆的综合问题
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
【精选精练】
2023直线与圆
一、单选题
1．（2023·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
圆的圆心为，半径为，得到圆方程.
【详解】
根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.
故选：B.
2．(2023·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
答案：A
【解析】
分析：
若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】
由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
3.（2023·全国·高三专题练习）直线与圆相切，则（ ）
A．3B．C．或1D．3或
答案：D
【解析】
分析：
利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为
又直线与圆相切，
则，解之得或，
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为3
设点关于直线的对称点为，
则 ，解之得
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为
则该圆的方程为，
故选：D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
由直线与圆的位置关系列出不等式求解即可得答案.
【详解】
解：因为直线与圆有两个不同的交点，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据直线与圆相切的几何性质可知，当取得最小值时，最大，的值最小，当时，取得最小值，进而可求此时
【详解】
圆是以为圆心，2为半径的圆，由题可知，当最小时，的值最小. ，当取得最小值时，最大，最小，点到直线的距离，故当时，最大，且最大值为，此时，则.
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.
【详解】
解：因为圆的圆心为,半径，
又因为直线过定点A(-1,1),
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，即，解得.
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）若直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b≤1B．﹣1≤b≤1
C．b≤﹣1D．﹣1＜b≤1或b
答案：D
【解析】
分析：
对曲线两边平方，结合范围，得到曲线是右半个圆，画出曲线的图象，再画出斜率为1的直线，平移直线，找到只有一个公共点的b的取值范围.
【详解】
解：曲线x即 x2+y2＝1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．
当直线y＝x+b经过点A（0，1）时，求得b＝1，
当直线y＝x+b经过点B（1，0）时，求得b＝﹣1，
当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y＝x+b的距离等于半径，
可得1，求得b，或b（舍去）．
故当直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1＜b≤1或b，
故选：D.
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
答案：A
【解析】
分析：
利用平面几何知识得点轨迹是圆，然后求出与圆心距离减去半径得最小值．
【详解】
解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，
由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝
在直角中，，由得，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y2＝3；
|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝﹣＝．
故选：A．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
圆心到直线的距离为，则,而，所以，解方程即可求出答案.
【详解】
圆的圆心，
所以圆心到直线的距离为，则，
而，所以，解得：.
故选：B.
11．(2023·全国·模拟预测（理））过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
答案：B
【解析】
分析：
求出点P的轨迹为圆，再由圆心到直线的距离减去半径即可得出最小值.
【详解】
∵过圆C: 外一点向圆C引两条切线，
切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以，
所以点的轨迹E是以C(1,0)为圆心，为半径的圆，
圆心到直线的距离，
所以点P到直线的最短距离为，
故选：B
12．（2023·全国·高三专题练习）直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条
A．10B．9
C．8D．7
答案：C
【解析】
分析：
求出过定点的直线与圆的最短弦长为，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案.
【详解】
直线过定点，圆半径为5，
最短弦长为，恰有一条，但不是整数；
弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去；
最长的弦长为直径10，也恰有1条；
弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条，
故选：C．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（ ）
A．6B．5C．4D．3
答案：D
【解析】
分析：
建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得，进而由向量模的计算公式可得，分析可得在以为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【详解】
根据题意，设，，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系，
则，，设，则，
若，则有，
则在以为圆心，半径为2的圆上，
设为点，则，则有，
即，
则的取值范围为；
故选：D．
二、多选题
14．（2023·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
答案：ABD
【解析】
分析：
转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】
圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
15．（2023·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
答案：ACD
【解析】
分析：
计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
16．(2023·海南中学高三阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为B．在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10
C．在C上存在点M，使得D．C上的点到直线的最大距离为9
答案：AD
【解析】
分析：
由题意可设点，由两点的距离公式代入化简可判断A选项；由两点的距离公式和圆的圆心得出点（1，1）到圆上的点的最大距离，由此可判断B选项.设，由已知得，联立方程求解可判断C选项；由点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此可判断D选项.
【详解】
解：由题意可设点，由，，，得，
化简得，即，故A正确；
点（1，1）到圆上的点的最大距离，故不存在点D符合题意，故B错误.
设，由，得，又，联立方程消去得，解得无解，故C错误；
C的圆心（-4，0）到直线的距离为，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确；
故选：AD.
17．（2023·河北·高三阶段练习）已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，过M点的圆C的最短弦长是
C．线段的中点纵坐标最小值是
D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是
答案：CD
【解析】
分析：
根据给定条件可得点在线段的垂直平分线上，对于A，利用弦长公式求得线段的长，由线段的垂直平分线平行于轴，即可判断出A；对于B，当 时，点在圆内，结合弦长和半径即可判断出结果；对于C，令线段的中点，根据勾股定理结合放缩法即可求得结果；对于D，利用切线长定理即可求得的取值范围，即可判断出D．
【详解】
解：圆的圆心，半径，令圆心到直线距离为，
对于A，令直线，即，显然有，
线段的垂直平分线平行于轴，此时点不存在，即不存在，A不正确；
对于B，当 时，点在圆内，而圆的直径长为2，则过 点的圆的最短弦长小于2，而，B不正确；
对于C，令线段的中点，则，
则，即，解得，当且仅当时取等号，
所以，C正确；
对于D，依题意及切线长定理得：，
解得或，
所以的取值范围是，D正确．
故选：CD．
三、填空题
18．(2023·河南·高三阶段练习（文））直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
答案：4
【解析】
分析：
利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.
【详解】
解：圆C：，其圆心坐标为，半径为3．
圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，
则．
故答案为:4.