高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题34离心率及其范围问题【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题34离心率及其范围问题【原卷版+解析】，共35页。

【热点聚焦】
纵观近几年的高考试题，圆锥曲线中的离心率问题是热点之一.从命题的类型看，有小题，也有大题.一般说来，小题的难度基本处于中低档，而大题中则往往较为简单.小题中单纯考查椭圆、双曲线的离心率的确定较为简单，而将三种曲线结合考查，难度则大些..
【重点知识回眸】
1．求解椭圆离心率的问题时，解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用 解题.
(2)由a与b的关系求离心率，利用公式
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
2．双曲线的渐近线与离心率
的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
3．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.
(2) .
（3）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
4.离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：
【典型考题解析】
热点一 椭圆的离心率
【典例1】(2023·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】(2023·全国·高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】(2023·全国·高三专题练习）已知A，B为椭圆E的左，右焦点，点M在E上，为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或
【规律方法】
注意椭圆几何性质的挖掘：
(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．
(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．
(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.
4．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．
热点二 双曲线的离心率
【典例4】（2023·全国·高考真题（文））设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）
A．B．
C．2D．
【典例5】【多选题】(2023·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【典例6】(2023·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
热点三 椭圆离心率范围问题
【典例7】（2023·全国·高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，若，则该椭圆的离心率不可能是（ ）
A．B．C．D．
【典例9】（·重庆·高考真题（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．
【典例10】(2023·浙江·高考真题（理））如图，设椭圆（a＞1）.
（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（Ⅱ）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
【总结提升】
综合应用椭圆的定义、性质及焦点三角形，特别是离心率的计算（变形）公式，用椭圆的范围来求解离心率的范围．
热点四 双曲线离心率的范围问题
【典例11】(2023·湖南·模拟预测）已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．以上选项均不正确
【典例12】（湖北·高考真题（理））已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A．B．C．3D．2
【典例13】（2023·四川·成都七中高三开学考试（理））已知双曲线，，是实轴顶点，F是右焦点，是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设双曲线：的右焦点为，双曲线的一条渐近线为，以为圆心的圆与交于点，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是______．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．.
7．（2023·河南·高三开学考试（文））已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（湖北省“宜荆荆恩”2023-2024学年高三上学期起点考试数学试题）已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为1
三、填空题
9．(2023·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则椭圆离心率的取值范围为____．
10．(2023·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
11．(2023·贵州黔南·高三开学考试（理））《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积暅相等，则它们的体积相等．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为______．
12.(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________.
13．(2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．
14．(2023·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
15．(2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．
17．(2023·四川成都·高三期末（理））已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．
18．(2023·湖南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足． 联结，满足． 若该双曲线的离心率为，求的值_______．
专题34 离心率及其范围问题
【热点聚焦】
纵观近几年的高考试题，圆锥曲线中的离心率问题是热点之一.从命题的类型看，有小题，也有大题.一般说来，小题的难度基本处于中低档，而大题中则往往较为简单.小题中单纯考查椭圆、双曲线的离心率的确定较为简单，而将三种曲线结合考查，难度则大些..
【重点知识回眸】
1．求解椭圆离心率的问题时，解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用 解题.
(2)由a与b的关系求离心率，利用公式
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
2．双曲线的渐近线与离心率
的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
3．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.
(2) .
（3）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
4.离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：
【典型考题解析】
热点一 椭圆的离心率
【典例1】(2023·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】解：，
设，则，
则，
故，
又，则，
所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
【典例2】(2023·全国·高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得,
所以，故选D.
【典例3】(2023·全国·高三专题练习）已知A，B为椭圆E的左，右焦点，点M在E上，为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或
答案：D
分析：依题意设椭圆方程为，对等腰三角形的顶角分两种情况讨论，结合图形及椭圆的性质计算可得.
【详解】解：依题意设椭圆方程为，
①若为等腰三角形的顶角，则在椭圆的上（下）顶点，如下图所示：
则，所以，则，
又，所以，所以；
②若（或）为等腰三角形的顶角，不妨取为顶角，如下图所示：
即，，又，
所以，
由余弦定理，
即，
即，
所以，解得或（舍去）
综上可得或.
故选：D．
【规律方法】
注意椭圆几何性质的挖掘：
(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．
(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．
(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.
4．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．
热点二 双曲线的离心率
【典例4】（2023·全国·高考真题（文））设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）
A．B．
C．2D．
答案：A
分析：准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【典例5】【多选题】(2023·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
分析：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
【典例6】(2023·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
答案：
分析：联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
热点三 椭圆离心率范围问题
【典例7】（2023·全国·高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，若，则该椭圆的离心率不可能是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：设，则，代入中，可得，再利用，即可求出离心率的取值范围，从而可判断出离心率不可能的值
【详解】设．因为点M在椭圆C上，所以，所以．
因为，所以，解得．
由题意可知，
即．
由，可得，即，显然成立．
由，可得，则．
又，所以，
因为，，，，
故选：A．
【典例9】（·重庆·高考真题（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．
答案：
【详解】试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：，
即：a|PF1|=|cPF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）
解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a
整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)．
点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围．
【典例10】(2023·浙江·高考真题（理））如图，设椭圆（a＞1）.
（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（Ⅱ）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【详解】试题分析：（Ⅰ）先联立和，可得，，再利用弦长公式可得直线被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有个，再利用对称性及已知条件可得任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）设直线被椭圆截得的线段为，由得，
故，．
因此．
（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足
．
记直线，的斜率分别为，，且，，．
由（Ⅰ）知，，，
故，
所以．
由于，，得，
因此， ①
因为①式关于，的方程有解的充要条件是，
所以．
因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，
由得，所求离心率的取值范围为．
【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．
【思路点睛】（Ⅰ）先联立和，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点，求得的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．
【总结提升】
综合应用椭圆的定义、性质及焦点三角形，特别是离心率的计算（变形）公式，用椭圆的范围来求解离心率的范围．
热点四 双曲线离心率的范围问题
【典例11】(2023·湖南·模拟预测）已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．以上选项均不正确
答案：D
分析：设切线方程为，代入双曲线方程后，方程应为一元二次方程，二次项系数不能为0，然后由判别式得关于的方程，此方程有两个不等的实根，由此可得的范围，从而求得的范围，注意满足二次项系数不为0的条件，即可得结论．
【详解】设切线方程是，
由得，
显然时，所得直线不是双曲线的切线，所以，
由得，整理为，
由题意此方程有两不等实根，
所以，，则（为双曲线的半焦距），，即，
代入方程，得，此时，
综上，的范围是．
故选：D．
【典例12】（湖北·高考真题（理））已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A．B．C．3D．2
答案：A
【详解】试题分析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设，椭圆和双曲线的离心率分别为
由余弦定理可得，①
在椭圆中，①化简为即即
在双曲线中，①化简为即即③
联立②③得，
由柯西不等式得即（
即，当且仅当时取等号，故选A
【典例13】（2023·四川·成都七中高三开学考试（理））已知双曲线，，是实轴顶点，F是右焦点，是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
答案：B
分析：将题意转化为以，为直径的圆与线段BF有两个不同的交点，再数形结合列不等式化简求解即可.
【详解】以，为直径的圆与线段BF有两个不同的交点，
所以，，
解得；
且圆心到直线BF：的距离，
化简得，
所以，，
又，解得，
所以双曲线离心率的取值范围是．
故选：B
【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设双曲线：的右焦点为，双曲线的一条渐近线为，以为圆心的圆与交于点，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是______．
答案：
分析：取直线的方程为，过点作于，则有，为等腰直角三角形，所以,,,由，可得，即可得，即可得出离心率的取值范围.
【详解】解：由题可知，点，如图所示，不妨取直线的方程为，过点作于，则到直线的距离，
，且，
为等腰直角三角形，
，，
，，，
，，即，
离心率，
令，，则，即]，
．
故答案为：.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
答案：D
分析：根据双曲线的几何性质可知：双曲线与没有公共点，则，即可求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，若双曲线（，）与直线无公共点，则应有，所以离心率，
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：根据椭圆性质结合离心率运算处理．
【详解】由题得：，所以
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据角平分线的性质得出，，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.
【详解】设双曲线的半焦距为， 离心率为，
由，则，，
因为是的平分线，
所以,
又因为，
所以，
所以，解得，即，
所以双曲线的离心率取值范围为.
故选：B
4．(2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】由双曲线定义可得：
|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，
当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.此时
由双曲线的几何性质可得，，即可，又双曲线的离心率，∴.
故选:C.
5．(2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用点差法可得直线AB的斜率，从而可得AB垂直平分线直线方程，由点P在AB垂直平分线上，结合AB的中点在椭圆内可解.
【详解】记中点为，则，
由题意点在线段的中垂线上，
将坐标代入椭圆方程得
两式相减可得，
所以，得，
所以的中垂线的方程为，令得，
由题意，，故，所以
所以
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．.
答案：B
分析：由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.
【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以.
故选：B
7．（2023·河南·高三开学考试（文））已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围．
【详解】，是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，所以，代入得，当且仅当时取等号，即，又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，.
故选：C．
二、多选题
8．（湖北省“宜荆荆恩”2023-2024学年高三上学期起点考试数学试题）已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为1
答案：BCD
分析：根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A，根据离心率求出，则，即可判断B，设上顶点，得到，即可判断C，利用基本不等式判断D.
【详解】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，故C正确；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，故D正确．
故选：BCD
三、填空题
9．(2023·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则椭圆离心率的取值范围为____．
答案：
分析：先根据椭圆定义可知，再利用余弦定理化简整理得，进而根据均值不等式确定的范围，从而确定的最小值，求得和的关系，然后得和的关系，确定椭圆离心率的取值范围．
【详解】解：设，由椭圆的定义得:,
由余弦定理，得:．
又，当且仅当时，取最大值，
于是，
所以
且，．
故答案为: .
10．(2023·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
答案：
分析：设，，由得，求出点坐标，代入渐近线方程得用表示的式子，求得其范围后可得离心率范围．
【详解】设，，，
，则，
，则，，
，则，，点在渐近线上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案为：．
11．(2023·贵州黔南·高三开学考试（理））《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积暅相等，则它们的体积相等．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为______．
答案：
分析：利用点到直线距离公式可知；联立和渐近线、双曲线方程可得交点横坐标，由此可表示出旋转后所得几何体的体积，从而构造出关于的齐次方程，进而解得离心率.
【详解】由题意知：渐近线方程为，右焦点为，，
由得：；由得：，
阴影部分绕轴旋转一周所得几何体的体积，即，
，即，
，解得：，.
故答案为：.
12.(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________.
答案：
分析：利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时四点分别变换为四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点，当为多少时，能使得过的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.
【详解】作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆，点坐标分别为，过作两条平行的弦分别与圆交于四点.
由平行四边形性质易知，三角形的面积为四点所形成的平行四边形面积的，故只需令三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到即可.当时，三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到.
故此题离心率的取值范围为.
故答案为：.
13．(2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．
答案：
分析：根据直线与的一条渐近线平行，得到，再结合双曲线与椭圆共焦点得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：设的半焦距为c（），则，又，
所以，又直线与的一条渐近线平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为．
故答案为：
14．(2023·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
答案：
分析：根据已知条件等式，结合正弦定理，得出的关系，利用椭圆定义和的范围，即可求出的取值范围.
【详解】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由椭圆的几何性质，知，
所以且，
所以且，
即且，
结合，可解得．
故答案为：.
15．(2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．
答案：
分析：表示出，建立关于的齐次式，即可求出离心率的范围.
【详解】，是双曲线的左右焦点，以圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，
则焦点到渐近线的距离：，
所以，
，
，
可得，
即：，可得，
所以，
所以，又，
所以双曲线的离心率的取值范围是：．
故答案为：．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．
答案：(，]
分析：设，由已知得到的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e的范围.
【详解】设，由，知，
因为，在椭圆上，，
所以四边形为矩形，；
由，可得1，
由椭圆的定义可得， ①，
平方相减可得②，
由①②得；
令t，
令，
所以，即，
所以，
所以，
所以，解得.
故答案为： .
17．(2023·四川成都·高三期末（理））已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．
答案：
分析：根据题意可得，且，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可
【详解】由题意，因为线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．
故半径,即 ，且.
又离心率，
因为，结合题意有，
设，则，易得对勾函数在上单调递增，
故在上单调递增，
故，即
故答案为：
18．(2023·湖南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足． 联结，满足． 若该双曲线的离心率为，求的值_______．
答案：
分析：先假设，由得，再由点在双曲线上，得到，进而得到，又由点在渐近线上，得到，平方后将，代入得到齐次方程，求得，再平方即可求得离心率.
【详解】不妨设，由得，化简得（1）， 在双曲线上，所以，即， 代入（1）解得，
，又在渐近线上，，即．
两边平方得（2）
将和代入（2）得
化简得，解得，即． 化简得
故答案为：