高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题38排列组合与古典概型【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题38排列组合与古典概型【原卷版+解析】，共34页。
【热点聚焦】
近几年的高考试题，计数原理常与古典概型综合考查.排列组合、古典概型问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．对排列组合除了独立考查外，也常与古典概型综合考查，也有在解答题中与古典概型等概率计算相结合进行考查的情况．另外，古典概型与统计、与数学文化、与时代气息等综合考查成为一种趋势.
【重点知识回眸】
（一）基础知识
1．两个计数原理
2.排列、组合的定义
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
（二）处理排列组合问题的策略与原则：
1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素.
例如：用组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？
2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.
3、先取再排（先分组再排列）：排列数是指从个元素中取出个元素，再将这个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列.
（三）排列组合的常见模型
1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.
2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序
注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边
（2）要从题目中判断是否需要各自排序
3、错位排列：排列好的个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这个元素的一个错位排列.例如对于，则是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住
4、依次插空：如果在个元素的排列中有个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这个元素排好位置，再将个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空）
5、不同元素分组：将个不同元素放入个不同的盒中
6、相同元素分组：将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子.
7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.
（四）古典概型
1. 随机事件的概率
（1）事件的相关概念
（2）频率与概率的关系
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率f n(A)＝eq \f (nA,n)会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
（3）事件的关系与运算
（4）概率的基本性质
= 1 \* GB3 ①任何事件A的概率都在[0,1]内，即0≤P(A)≤1，不可能事件的概率为0，必然事件Ω的概率为1.
= 2 \* GB3 ②如果事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
= 3 \* GB3 ③事件A与它的对立事件eq \x\t(A)的概率满足P(A)＋P(eq \x\t(A))＝1.
= 4 \* GB3 ④结论：
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
3．古典概型的特点
4．古典概型的概率计算公式
P(A)＝eq \f (A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
【典型考题解析】
热点一 两个计数原理的综合应用
【典例1】(2023·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【典例2】（2023·全国·高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i