高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)期末押题卷2(原卷版+解析)

这是一份高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)期末押题卷2(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．正方体的外接球与内切球的表面积之比是（ ）
A．B．3C．D．
3．在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个位数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球个数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法错误的是（ ）
A．平均来说一队比二队防守技术好B．二队很少不失球
C．一队有时表现差，有时表现又非常好D．二队比一队技术水平更不稳定
4．从甲地开车到乙地共有，，三条路线可走，路线堵车的概率为0.06，路线堵车的概率为0.09，路线堵车的概率为0.12，且三条路线是否堵车相互独立，若小李从这三条路线中随机选一条，则堵车的概率为（ ）
A．0.06B．0.09C．0.12D．0.27
5．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为，，且A、B两点之间的距离为6米，则树的高度为（ ）米
A．B．
C．D．
6．已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边BC上一点，，且，和的面积分别为，，对于给定的正数m，当取得最小值时，等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.）
9．下列关于平面向量的判断正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．在中，角所对的边分别为，且，．若有二解，则的值可以是（ ）
A．1B．C．D．
11．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）
A．m的值是32%
B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
12．如图，在矩形中，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱，则下列说法正确的是（ ）
A．在翻折过程中，三棱锥的体积最大为
B．在翻折过程中，存在某个位置使得
C．当点的射影在的平分线上时，二面角的余弦值为
D．在翻折过程中，存在某个位置使得
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．设是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，则复数和复数在复平面内对应的两点之间的距离是______.
14．设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为______．
15．如图，为了测量河对岸的塔高，选与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得米，则塔高________米．
16．已知平面向量，，，满足，，，，则的最小值为________.
四、解答题
17．在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量.
(1)求点C对应的复数；
(2)已知点B对应的复数z满足，且，求复数z.
18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，，，
(1)当时，试判断，，三点是否共线，写出理由；
(2)若，，三点构成直角三角形，求实数的值
19．为进一步加强中华传统文化教育，提高学生的道德素养，培养学生的民族精神，更好地让学生传承和发扬中国传统文化和传统美德，某校组织了一次知识竞赛．现对参加活动的1280名学生的成绩(满分100分)做统计，得到了如图所示的频率分布直方图．
请大家完成下面问题：
(1)求参赛同学的平均数与中位数(小数点后保留2位)(以每个区间的中点作为本区间的取值)；
(2)若从该校80分至100分之间的同学按分层抽样抽取一个容量为7的样本，再从该样本任选2人参加与其他学校之间的比赛，求抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率．
20．如图，等腰梯形ABCD中，AD＝DC＝BC＝2，AB＝4，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起、得到四锥P－DEBC，F为PC的中点，M为EB的中点
(1)证明：FM平面PDE；
(2)证明：DE⊥PC；
(3)当四棱锥P－DEBC的体积最大时，求三棱锥E－DCF的体积．
21．某服装公司计划今年夏天在其下属实体店销售一男款衬衫，上市之前拟在该公司的线上旗舰店进行连续20天的试销，定价为260元/件.试销结束后统计得到该线上专营店这20天的日销售量(单位：件)的数据如图.
（1）若该线上专营店试销期间每件衬衫的进价为200元，求试销期间该衬衫日销售总利润高于9500元的频率.
（2）试销结束后，这款衬衫正式在实体店销售，每件衬衫定价为360元，但公司对实体店经销商不零售，只提供衬衫的整箱批发，大箱每箱有70件，批发价为160元/件；小箱每箱有60件，批发价为165元/件.某实体店决定每天批发大小相同的2箱衬衫，根据公司规定，当天没销售出的衬衫按批发价的8折转给另一家实体店.根据往年的销售经验，该实体店的销售量为线上专营店销售量的，以线上专营店这20天的试销量估计该实体店连续20天的销售量.以该实体店连续20天销售该款衬衫的总利润作为决策，试问该实体店每天应该批发2大箱衬衫还是2小箱衬衫？
22．在中，，为边上一点，且．
(1)若为边上的中线，求边的最大值；
(2)若为的平分线，且为锐角三角形，求边的取值范围．
期末押题卷2
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：B
【解析】
分析：
利用复数的几何意义写出复数，，再结合共轭复数、复数的乘法运算求解作答.
【详解】
因复数，对应的向量分别是，，则，，
于是得，
所以复数对应的点位于第二象限.
故选：B
2．正方体的外接球与内切球的表面积之比是（ ）
A．B．3C．D．
答案：B
【解析】
分析：
设正方体的棱长为，求出其外接球的半径和内切球的半径，再根据表面积公式可得结果.
【详解】
设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为，
所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是.
故选：B
3．在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个位数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球个数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法错误的是（ ）
A．平均来说一队比二队防守技术好B．二队很少不失球
C．一队有时表现差，有时表现又非常好D．二队比一队技术水平更不稳定
答案：B
【解析】
分析：
利用平均数和标准差的定义及意义即可求解.
【详解】
对于A，因为一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，
所以平均说来一队比二队防守技术好，故A正确；
对于B，因为二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，
所以二队经常失球，故B错误；
对于C，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，
所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确；
对于D，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，
所以二队比一队技术水平更稳定，故D正确;
故选：B.
4．从甲地开车到乙地共有，，三条路线可走，路线堵车的概率为0.06，路线堵车的概率为0.09，路线堵车的概率为0.12，且三条路线是否堵车相互独立，若小李从这三条路线中随机选一条，则堵车的概率为（ ）
A．0.06B．0.09C．0.12D．0.27
答案：B
【解析】
分析：
根据独立事件和互斥事件概率的计算方法计算即可.
【详解】
因为路线是随机选的，所以选择每条路线的概率都是．选择走路线且堵车的概率为，
选择走路线且堵车的概率为，
选择走路线且堵车的概率为，
所以堵车的概率为．
故选：B
5．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为，，且A、B两点之间的距离为6米，则树的高度为（ ）米
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
在中由正弦定理求，再通过解直角三角形求树高.
【详解】
过点作，垂足为，
由已知可得，在中，，，
，
由正弦定理可得，
所以，所以，又，
所以，
由已知为直角三角形，又，
所以，
故选：A.
6．已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由与的夹角为钝角得，且不共线，再按照向量的坐标运算求解即可.
【详解】
因为向量，，且与夹角为钝角，
由上述条件得，，且，不反向，
由得，，.
当，共线时有，，.此时，反向，
因此实数的取值范.
故选:D.
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边BC上一点，，且，和的面积分别为，，对于给定的正数m，当取得最小值时，等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由可推出，即，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出取到最小值时，化简得解.
【详解】
由题可知，由三角形面积公式可得：
，化简得，即，
=，当今当即时能取到最小值，此时==.
故选：A .
8．如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
答案：B
【解析】
分析：
连接，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，判断出当三点共线时，则即为的最小值.分别求出,,利用余弦定理即可求解.
【详解】
连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，

设点的新位置为，连接，则有.
当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.
同理可求：
因为，所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，,,
由余弦定理得：.
故选B.
【点睛】
（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；
（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：
①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；
②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.）
9．下列关于平面向量的判断正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：AC
【解析】
分析：
根据向量减法法则判断A，根据共线向量的定义及数量积的运算律判断B、C、D；
【详解】
解：对于A：因为，
当与同向或至少有一个零向量时，当与反向或至少有一个零向量时，故A正确；
对于B：当时满足，，此时与不一定共线，故B错误；
对于C：若，若（或），则（），所以；
若且，则存在实数使得，此时，
，即，故C正确；
对于D：若，若时，此时无法确定与的关系，
若则，即，故D错误；
故答案为：AC
10．在中，角所对的边分别为，且，．若有二解，则的值可以是（ ）
A．1B．C．D．
答案：BC
【解析】
分析：
由题可得，即可求出参数的取值范围，从而得解；
【详解】
因为，，有二解，
所以，即.
故选：BC.
11．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）
A．m的值是32%
B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
答案：ACD
【解析】
分析：
对A选项，由题意参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则二星及以上的频率加和为，即可求解；对B选项，由频率只能推出可能有24人符合条件；对C选项，将评价为三星和五星的频率加和即可；对D选项，“至多1人评价五星”即为无人评价或1人评价五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可.
【详解】
对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，
则，所以，故A正确；
对B选项，随机抽取100名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B错误；
对C选项，由A选项，评价是三星或五星的概率约为，故C正确；
对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确；
故选：ACD
12．如图，在矩形中，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱，则下列说法正确的是（ ）
A．在翻折过程中，三棱锥的体积最大为
B．在翻折过程中，存在某个位置使得
C．当点的射影在的平分线上时，二面角的余弦值为
D．在翻折过程中，存在某个位置使得
答案：ACD
【解析】
分析：
对于A，当平面平面时,三棱锥的体积最大；对于B，假设推出矛盾；对于C，构造出二面角得平面角之后即可求解；对于D，利用线面垂直推线线垂直
【详解】
由题知,当平面平面时,三棱锥的体积最大,
此时,故A正确
对于B，假设, 过点作于点,连接.
由于平面, 所以平面.
又平面, 所以, 所以.
又, 所以,
所以, 这与矛盾, 故B错误.
对于C，设点在平面上的射影为，连接，
过作，垂足为，连接
因为平面，平面，所以
因为，，，平面，平面
所以平面，又平面
所以，所以即为二面角的平面角
中，，
设，则解之得
所以，
在中，
在中中，，故C正确
对于D，取中点，连接，
则，若，则
当时，，所以
因为，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，故D正确
故选：ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．设是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，则复数和复数在复平面内对应的两点之间的距离是______.
答案：
【解析】
分析：
整理，由实部与虚部相等可得，则，进而求解.
【详解】
由题，，则，所以，
因此，在复平面内对应的两点之间的距离是，
故答案为：
14．设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为______．
答案：1
【解析】
分析：
根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】
根据题意，一组样本数据，，，的方差，
则数据，，，的方差为；
故答案为：.
15．如图，为了测量河对岸的塔高，选与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得米，则塔高________米．
答案：20
【解析】
分析：
设塔高为，利用和分别表示出、，然后在中利用余弦定理，求出即可.
【详解】
设塔高为，
在中，
在中，
在中，由余弦定理得：

即： 解得 .
故答案为：20.
16．已知平面向量，，，满足，，，，则的最小值为________.
答案：
【解析】
分析：
设出向量坐标，根据题目条件得到，进而得到，求出的最小值.
【详解】
因为，不妨设，
因为，
不妨设
所以，
因为，
所以，，
故，
所以，当且仅当时等号成立，
所以
故答案为：
四、解答题
17．在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量.
(1)求点C对应的复数；
(2)已知点B对应的复数z满足，且，求复数z.
答案：(1)
(2)或
【解析】
分析：
（1）利用复数的几何意义和复数的乘法运算求解；
（2）根据题意，由向量对应的复数或求解.
(1)
解：因为点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°，
所以；
(2)
因为点B对应的复数z满足，且，
所以向量对应的复数，
或，
∴或，
∴或.
18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，，，
(1)当时，试判断，，三点是否共线，写出理由；
(2)若，，三点构成直角三角形，求实数的值
答案：(1)共线，理由见解析
(2)或
【解析】
分析：
（1）利用向量共线的条件进行运算求解即可；
（2）分三种情况分别计算数量积为0时，实数k的值即可.
(1)
因为,
,
所以，且有公共点A,故，，三点共线.
(2)
由(1)知，，，，
若，则，即，.
若，则，即，
若，则，即，，无实根.
故实数的值为或.
19．为进一步加强中华传统文化教育，提高学生的道德素养，培养学生的民族精神，更好地让学生传承和发扬中国传统文化和传统美德，某校组织了一次知识竞赛．现对参加活动的1280名学生的成绩(满分100分)做统计，得到了如图所示的频率分布直方图．
请大家完成下面问题：
(1)求参赛同学的平均数与中位数(小数点后保留2位)(以每个区间的中点作为本区间的取值)；
(2)若从该校80分至100分之间的同学按分层抽样抽取一个容量为7的样本，再从该样本任选2人参加与其他学校之间的比赛，求抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率．
答案：(1)平均数为分，中位数为分
(2)
【解析】
分析：
（1）先利用频率和为1求出，分别套公式求平均数和中位数；
（2）列举基本事件，利用古典概型求概率．
(1)
由题意得，可得，
所以，平均数为分，
由，，
则中位数位于，
若中位数为x，则，可得分．
(2)
由（1）知：与的样本比例为5∶2，
所以7个个体有5个取自，2个取自，
若中5个分别为a，b，c，d，e，中2个分别为x，y，
则从中抽取2人的所有组合为{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey，xy}，有21种情况，
其中两人至少来一人自为{xy，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey}，11种情况；
所以抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率为．
20．如图，等腰梯形ABCD中，AD＝DC＝BC＝2，AB＝4，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起、得到四锥P－DEBC，F为PC的中点，M为EB的中点
(1)证明：FM平面PDE；
(2)证明：DE⊥PC；
(3)当四棱锥P－DEBC的体积最大时，求三棱锥E－DCF的体积．
答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】
分析：
（1）连接并延长与延长线交于，在△中，根据线面平行的判定即可证结论.
（2）为中点，连接，易得为平行四边形、△为等边三角形且，进而可得、，再根据线面垂直的判定、性质证明结论.
（3）首先确定四棱锥P－DEBC的体积最大时面面，再确定P－DEBC的体高，并求得到面的距离，由及棱锥的体积公式求体积.
(1)
连接并延长与延长线交于，则在面内，
M为EB的中点，则为中点，
在△中，又面，面，
所以FM平面PDE.
(2)
若为中点，连接，
由题设且，即为平行四边形，则，
所以△为等边三角形，故，又ABCD为等腰梯形，则
所以，又，，易知：，
又，则面，面，故.
(3)
当四棱锥P－DEBC的体积最大时，面面，
则△的高即为四棱锥P－DEBC的体高，又F为PC的中点，
所以到面的距离，由（2）易知为边长为2的菱形，
又，所以.
21．某服装公司计划今年夏天在其下属实体店销售一男款衬衫，上市之前拟在该公司的线上旗舰店进行连续20天的试销，定价为260元/件.试销结束后统计得到该线上专营店这20天的日销售量(单位：件)的数据如图.
（1）若该线上专营店试销期间每件衬衫的进价为200元，求试销期间该衬衫日销售总利润高于9500元的频率.
（2）试销结束后，这款衬衫正式在实体店销售，每件衬衫定价为360元，但公司对实体店经销商不零售，只提供衬衫的整箱批发，大箱每箱有70件，批发价为160元/件；小箱每箱有60件，批发价为165元/件.某实体店决定每天批发大小相同的2箱衬衫，根据公司规定，当天没销售出的衬衫按批发价的8折转给另一家实体店.根据往年的销售经验，该实体店的销售量为线上专营店销售量的，以线上专营店这20天的试销量估计该实体店连续20天的销售量.以该实体店连续20天销售该款衬衫的总利润作为决策，试问该实体店每天应该批发2大箱衬衫还是2小箱衬衫？
答案：（1）；（2）该实体店应该每天批发2大箱衬衫.
【解析】
分析：
（1）先利用不等式性质求得要使得日销售总利润高于9500元时日销售衬衫的件数的取值范围，然后根据频数分布图计算对应的天数，从而求得响应频率；.
（2）由题可知，该实体店20天的日销售量情况为3天日销售量为48件，6天日销售量为80件，7天日销售量为128件，4天日销售量为160件.
分别就选择批发2小箱时和2大箱时各种情况下的日利润列举计算，并求得相应的总利润，进行比较大小即可做出判断.
【详解】
解：（1）因为试销期间每件衬衫的利润为元，
所以要使得日销售总利润高于9500元，则日销售衬衫的件数大于，
故所求频率为.
（2）由题可知，该实体店20天的日销售量情况为3天日销售量为48件，6天日销售量为80件，7天日销售量为128件，4天日销售量为160件.
若选择批发2小箱，则批发成本为元，
当日销售量为48件时，
当日利润为元；
当日销售量为80件时，
当日利润为；
当日销量为128件或160件时，
当日利润为元.
所以这20天销售这款衬衫的总利润为元.
若选择批发2大箱，则批发成本为元，
当日销售量为48件时，
当日利润为元；
当日销售量为80件时，
当日利润为元；
当日销量为128件时，
当日利润为元.
当日销售量为160件时，
当日利润为元.
所以这20天销售这款衬衫的总利润为元.
因为，所以该实体店应该每天批发2大箱衬衫.
22．在中，，为边上一点，且．
(1)若为边上的中线，求边的最大值；
(2)若为的平分线，且为锐角三角形，求边的取值范围．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）在与中分别用余弦定理，再应用基本不等式即可求解的最大值；
（2）设，由已知确定范围，在与中分别用正弦定理，得到与的关系求解即可.
(1)
设，，又为边上的中线，所以，
在中，由余弦定理得，，又，
所以，①
在中，由余弦定理得，，
即，②
由①＋②得，
又由①得（当且仅当时取等号），
所以，
所以，即．
综上，当且仅当时，边取得最大值．
(2)
因为为的平分线，
所以可设，则，，
因为为锐角三角形，所以，
所以.
在中，由正弦定理得，③
在中，由正弦定理得，④
④÷③得，又，
所以，设，又，
所以，所以在上为增函数，
所以．