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高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题03等式性质与不等式性质、基本不等式(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题03等式性质与不等式性质、基本不等式(原卷版+解析)，共36页。
练高考 明方向
【2022年新高考I卷第18题】
【2022年全国高考甲卷理科第20题】
3．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知，，，则( )
A． B． C． D．
4．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．
5．【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的
A． 充分不必要条件B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件D． 既不充分也不必要条件
6、【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设，，则( )
A．B．
C．D．
8、(2023年高考山东卷理数）若，且，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
讲典例 备高考
等式性质与不等式性质、基本不等式
比较实数大小基本方法
基本不等式
不等式性质
类型一、比较两个数(式)的大小
基础知识：1.比较大小的基本方法
基本题型：
1．若，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2、设，则
A．B．
C．D．
3．已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
4、（多选题）设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C．D．
【基本方法】比较大小的常用方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
类型二、不等式的性质
基础知识：
注意：(1)倒数性质
①a＞b，ab＞0⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)； ②a＜0＜b⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)；
③a＞b＞0,0＜c＜d⇒eq \f(a,c)＞eq \f(b,d)； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒eq \f(1,b)＜eq \f(1,x)＜eq \f(1,a).
(2)两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：①eq \f(b,a)＜eq \f(b＋m,a＋m)；eq \f(b,a)＞eq \f(b－m,a－m)(b－m＞0)；②eq \f(a,b)＞eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)＜eq \f(a－m,b－m)(b－m＞0)．
基本题型：
1．若α，β满足－eq \f(π,2)＜α＜β＜eq \f(π,2)，则α－β的取值范围是( )
A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0
C．－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2) D．－eq \f(π,2)＜α－β＜0
2．已知函数满足，则的取值范围是_________.
【基本方法】
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
3、（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若则 D．若则
4．（多选题）下列说法中，正确的的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
5．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是________．
【基本方法】运用不等式的性质判断命题真假的策略
(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
(2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
类型三、基本不等式
基础知识：
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq \a\vs4\al(当且仅当a＝b时,等号成立.)
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
基本题型：
1．下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
2．（基本不等式与传统文化）《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接.作交于.则下列不等式可以表示的是( )
A．B．
C．D．
3. （与基本不等式有关的一元问题）函数的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（与基本不等式有关的一元问题）（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．函数的最小值为2 B．函数的最大值为-2
C．函数的最小值为 D．函数的最小值为3
【基本方法】
1．拼凑法求最值
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2．拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．
5．（与基本不等式有关的双元问题）已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．20B．24C．28D．32
6．（与基本不等式有关的双元问题）（多选题）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．ab的最小值为16 C．的最小值为8 D．的最小值为2
A．AB B．ABCC．ABDD．BCD
【基本方法】
1．常数代换法的运用技巧
常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算利用基本不等式解题．
2．用常数代换法求最值时应注意的两个方面
(1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身；
(2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理，
7.（基本不等式与数列）已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为B．最小值为4C．最小值为D．最大值为4或
8．（基本不等式与三角）的最小值为（ ）
A．2B．16C．8D．12
9．（基本不等式与方程的根）若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（基本不等式与立体几何）如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
11. （基本不等式与解三角形）在中，内角的对边另别是，已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．（基本不等式与不等式恒成立）已知，若不等式恒成立，则的最大值为_________．
13.（基本不等式与直线）在平面直角坐标系中，已知点，点，点在线段的延长线上.设直线与直线及轴围成的三角形面积为，则的最小值为____________.
14．（基本不等式与平面向量）如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.
【基本方法】
(1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解．
(3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
(4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致．
新预测 破高考
1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若，，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，，则.
2．（多选题）若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若且，则
4．若，且，则的最小值是（ ）
A．10B．4C．8D．6
5．设且，“不等式”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．且C．D．
6、若正数满足，则的最小值为
A．B．
C．D．3
7、（多选题）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
8、（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．，B．若，则
C．若，则D．若，，，则
9．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
10．已知 QUOTE lg2?−2+lg2?−1?1 lg2a−2+lg2b−1e1，则 QUOTE 2?+? 2a+b取到最小值时， QUOTE ??= ab=
A． QUOTE 3 3B． QUOTE 4 4
C． QUOTE 6 6D． QUOTE 9 9
11、设，若，，，则下列关系式中正确的是
A．B．
C．D．
12．设，，且，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
13．已知函数的图像恒过定点A，若点A在直线 上，其中 ，则的最小值是（ ）
A．9B．4C．D．8
14、已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．
15、已设都是正数，则“”是“”的 条件 .（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
16、已知x17．已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c<0，则下列结论正确的是________
①b>0；②b<0； ③； ④.
18、已知，，且，则最小值为__________．
19．已知正实数，满足，则的最小值是 ．
20．如图，在三棱锥中两两垂直，且，设是底面三角形内一动点，定义：，其中分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积。若，且恒成立，则正实数的最小值是_____
关系
方法
作差法
作商法
a>b
a－b>0
eq \f(a,b)>1(a，b>0)或eq \f(a,b)<1(a，b<0)
a＝b
a－b＝0
eq \f(a,b)＝1(b≠0)
aa－b<0
eq \f(a,b)<1(a，b>0)或eq \f(a,b)>1(a，b<0)
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔ba
可逆
传递性
a>b，b>c⇒a>c；a同向
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acc的符号
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
同向同正可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向，
同正可乘方性
a>b>0，n∈N*⇒an>bn
同正
可开方性
a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)
同正
2023高考一轮复习讲与练
03 等式性质与不等式性质、基本不等式
练高考 明方向
【2022年新高考I卷第18题】
【解析】（1）略，
（2）
【2022年全国高考甲卷理科第20题】
【解析】（1）略，
（2）
3．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知，，，则( )
A． B． C． D．
答案：B
【解析】，，，故．
4．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．
答案：
【解析】方法一：.
因为，所以，即，
当且仅当时取等号成立.又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.
方法二：
.
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
5．【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的
A． 充分不必要条件B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件D． 既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
6、【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】化简不等式，可知 推不出，由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，故选B.
7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设，，则( )
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】一方面，，所以，，，所以，所以，即，而，
所以，所以，综上可知，故选B
8、(2023年高考山东卷理数）若，且，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
讲典例 备高考
等式性质与不等式性质、基本不等式
比较实数大小基本方法
基本不等式
不等式性质
类型一、比较两个数(式)的大小
基础知识：1.比较大小的基本方法
基本题型：
1．若，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为：对于A：当,所以,故A错误；对于B：因为,所以,故B错误；对于C：因为,所以,故C错误；对于D：因为,所以,又因为,则,故不取等,即,故D正确；
2、设，则
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】 ， ,即，故.又，所以.故，所以选A.
【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.
3．已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】对于，令，，，满足，但不满足，故排除
对于，令，，故排除，对于，为减函数，当时，，故恒成立，对于，令，，故排除故选
【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。
4、（多选题）设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C．D．
答案：CD
【解析】当，满足条件．但不成立，故A错误，当时，，故B错误，
，，则，故C正确，，
，故D正确.
【基本方法】比较大小的常用方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
类型二、不等式的性质
基础知识：
注意：(1)倒数性质
①a＞b，ab＞0⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)； ②a＜0＜b⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)；
③a＞b＞0,0＜c＜d⇒eq \f(a,c)＞eq \f(b,d)； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒eq \f(1,b)＜eq \f(1,x)＜eq \f(1,a).
(2)两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：①eq \f(b,a)＜eq \f(b＋m,a＋m)；eq \f(b,a)＞eq \f(b－m,a－m)(b－m＞0)；②eq \f(a,b)＞eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)＜eq \f(a－m,b－m)(b－m＞0)．
基本题型：
1．若α，β满足－eq \f(π,2)＜α＜β＜eq \f(π,2)，则α－β的取值范围是( )
A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0
C．－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2) D．－eq \f(π,2)＜α－β＜0
答案：B
【解析】从题中－eq \f(π,2)＜α＜β＜eq \f(π,2)可分离出三个不等式－eq \f(π,2)＜α＜eq \f(π,2) ①，－eq \f(π,2)＜β＜eq \f(π,2) ②，α＜β ③.根据不等式的性质，②式同乘以－1得－eq \f(π,2)＜－β＜eq \f(π,2) ④，根据同向不等式的可加性，
可得－π＜α－β＜π.由③式得α－β＜0，所以－π＜α－β＜0，故选B.
2．已知函数满足，则的取值范围是_________.
答案：
【解析】由题意得解得所以,
因为，所以；因为，所以．
两式相加得，故的取值范围是.
【基本方法】
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
3、（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若则 D．若则
答案：BC
【解析】若，，则，故A错；若，，则，化简得，故B对；若，则，又，则，故C对；若，，，，则，，，故D错；故选：BC．
4．下列说法中，正确的的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
答案：ABD
【解析】A选项，若，，则，故A正确；B选项，若，根据不等式的可乘性，可得，故B正确；C选项，若，，则满足，，但，故C错；D选项，若，，则，所以，故D正确.
5．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是________．
答案：3
【解析】若ab>0，bc－ad>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0，即ab>0，bc－ad>0⇒
eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0；若ab>0，eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0成立，不等式eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0两边同乘ab，可得bc－ad>0，即ab>0，eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0⇒
bc－ad>0；若eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0，bc－ad>0成立，则eq \f(c,a)－eq \f(d,b)＝eq \f(bc－ad,ab)>0，又bc－ad>0，则ab>0，即eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0，
bc－ad>0⇒ab>0.
综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个．
【基本方法】运用不等式的性质判断命题真假的策略
(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
(2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
类型三、基本不等式
基础知识：
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq \a\vs4\al(当且仅当a＝b时,等号成立.)
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
基本题型：
1．下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】试题分析：当时， ,当且仅当时取等号. ，当且仅当时取等号.
2．（基本不等式与传统文化）《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接.作交于.则下列不等式可以表示的是( )
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故选：A.
3. （与基本不等式有关的一元问题）函数的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：D
分析：将函数化成的形式，然后用均值不等式可求出答案.
【详解】.当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为6.故选：D
4．（与基本不等式有关的一元问题）（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．函数的最小值为2 B．函数的最大值为-2
C．函数的最小值为 D．函数的最小值为3
答案：ABD
分析：利用均值不等式及其成立的条件可判断ABC，利用对勾函数的单调性可判断D
【详解】对于A中，当时，，当且仅当时，等号成立，所以A正确；对于B中，函数，当即时等号成立，所以B成立；对于C中，当时，函数无最小值，所以C不正确；对于D中，函数．令，所以，由对勾函数的性质，在单调递增，可得其最小值为3，D正确．
【基本方法】
1．拼凑法求最值
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2．拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．
5．（与基本不等式有关的双元问题）已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．20B．24C．28D．32
答案：A
【解析】均为正实数，且，则
当且仅当时取等号.
的最小值为20.故选A.
6．（与基本不等式有关的双元问题）（多选题）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．ab的最小值为16 C．的最小值为8 D．的最小值为2
A．AB B．ABCC．ABDD．BCD
答案：C
分析：对于A，由，，可得，从而可求得结果，对于B，由，得，然后利用基本不等式可得答案，对于C，由于，化简后利用基本不等式可判断，对于D，利用基本不等式判断
【详解】对于A，因为，，且，所以，解得，所以A正确，对于B，由，得，当且仅当，即时取等号，解得，所以的最小值为16，所以B正确，对于C，，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为9，所以C错误，对于D，由，得，因为，，所以，，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，所以D正确，
【基本方法】
1．常数代换法的运用技巧
常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算利用基本不等式解题．
2．用常数代换法求最值时应注意的两个方面
(1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身；
(2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理，
7.（基本不等式与数列）已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为B．最小值为4C．最小值为D．最大值为4或
答案：B
分析：根据等差数列的通项公式可用表示出.由数列单调递增可得.用表示出,结合基本不等式即可求得最值.
【详解】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得
因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知
，由,结合基本不等式可得
，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。
【点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.
8．（基本不等式与三角）的最小值为（ ）
A．2B．16C．8D．12
答案：B
【解析】
分析：利用将变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.
【详解】∵，∴
，当且仅当，时“=”成立，故的最小值为16.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.
9．（基本不等式与方程的根）若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.
【详解】因为两个不等的实根是和，不妨令，
故可得，解得，则=，故选：C.
【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.
10．（基本不等式与立体几何）如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.
【详解】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为,所以,所以,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,设外接球的半径为,所以,
所以,当且仅当时,等号成立,，所以,所以该三棱锥外接球体积为.故选:C
【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.
11. （基本不等式与解三角形）在中，内角的对边另别是，已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：由已知可得，结合余弦定理，求出用表示，用基本不等式求出的最小值，即可求解.
【详解】,由正弦定理得，
由余弦定理得，，
，当且仅当时，等号成立，，
所以的最大值为.
【点睛】本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题.
12．（基本不等式与不等式恒成立）已知，若不等式恒成立，则的最大值为_________．
答案：16
【解析】因为，所以恒成立等价于 恒成立，因为( 时等号成立) ，所以 ，的最大值为，故答案为.
13.（基本不等式与直线）在平面直角坐标系中，已知点，点，点在线段的延长线上.设直线与直线及轴围成的三角形面积为，则的最小值为____________.
答案：12
分析：求出直线方程，设点坐标，求出直线的方程，进而求出直线与轴交点的坐标，将所求三角形的面积表示成点坐标的函数，根据函数特征，利用基本不等式求出最小值.
【详解】点，直线方程为，点在线段的延长线上，设，
当时，，当，且时，直线方程为，
令，，
当且仅当时，等号成立.所以的最小值为12.故答案为:12.
【点睛】本题考查三角形面积的最小值，解题时认真审题，注意基本不等式的应用，属于中档题.
14．（基本不等式与平面向量）如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.
答案：．
分析：根据重心的性质有,再表达成的关系式,再根据,,三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.
【详解】根据条件：,,又,.
又,,三点线,.,,
.
的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为：.
【基本方法】
(1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解．
(3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
(4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致．
新预测 破高考
1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若，，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，，则.
答案：CD
【解析】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，当时，，故B错误；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.
2．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】由，得，即，所以，A正确；若，满足，但，B错误；，则，所以，C正确；由得，，所以，D错．
3．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若且，则
答案：BC
【解析】对于A中，若，当时，则，所以A不正确；对于B中，若，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，由，可得，又由，根据不等式的性质，可得，所以C正确；对于D中，若，可得，由，可得，所以D不正确。
4．若，且，则的最小值是（ ）
A．10B．4C．8D．6
答案：C
分析：利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.
【详解】因为（即 取等号），所以最小值为.
【点睛】已知，求解（ ）的最小值的处理方法：利用
，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.
5．设且，“不等式”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．且C．D．
答案：A
分析：求解不等式，根据不等式的解集，即可求得必要条件.
【详解】不等式，可整理得，解得且.故当是且的必要不充分条件；而其它选项都不满足必要性.故选：A.
【点睛】本题考查分式不等式的求解，以及命题的必要条件的求解，属综合基础题.
6、若正数满足，则的最小值为
A．B．
C．D．3
答案：A
【解析】由题意，因为，则，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.
【名师点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7、（多选题）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
【解析】对A，由指数函数的单调性可知，当，有，故A 正确；对B，当时，不成立，故B错误；对C，当时，不成立，故C错误；
对D，成立，从而有成立，故D正确；
8、（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．，B．若，则
C．若，则D．若，，，则
答案：BD
【解析】当时，为负数，所以A不正确；若，则，考虑函数在R上单调递增，所以，即，所以B正确；若，则，，所以C不正确；若，，，根据基本不等式有，所以D正确.
9．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
答案：D
分析：将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.
【详解】当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立
即等价于；而因为，故,当且仅当时取得最大值.故：。
【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.
10．已知 QUOTE lg2?−2+lg2?−1?1 lg2a−2+lg2b−1e1，则 QUOTE 2?+? 2a+b取到最小值时， QUOTE ??= ab=
A． QUOTE 3 3B． QUOTE 4 4
C． QUOTE 6 6D． QUOTE 9 9
答案：D
【解析】由 QUOTE lg2?−2+lg2?−1?1 lg2a−2+lg2b−1e1，可得 QUOTE ?−2>0 a−2>0， QUOTE ?−1>0 b−1>0且 QUOTE ?−2?−1?2 a−2b−1e2.所以 QUOTE 2?+?=2?−2+?−1+5≥22?−2?−1+5≥22×2+5=9 2a+b=2a−2+b−1+5≥22a−2b−1+5≥22×2+5=9，当 QUOTE 2?−2=?−1 2a−2=b−1且 QUOTE ?−2?−1=2 a−2b−1=2时等号成立，解得 QUOTE ?=?=3 a=b=3.所以 QUOTE 2?+? 2a+b取到最小值时 QUOTE ??=3×3=9 ab=3×3=9.故选D.
【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.
11、设，若，，，则下列关系式中正确的是
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以．
12．设，，且，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用基本不等式可求出的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出的最小值.
【详解】，，且，，，
，当且仅当时取等号.，则的最小值是.故选：B.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
13．已知函数的图像恒过定点A，若点A在直线 上，其中 ，则的最小值是（ ）
A．9B．4C．D．8
答案：C
【解析】由题得A(-2,-2),所以-2m-2n+4=0,所以m+n=2,所以=.当且仅当时取到最小值.故答案为：C
【点睛】(1)本题主要考查对数函数的定点问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 本题的解题关键是常量代换，即把化成，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.
14、已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．
答案：
【解析】由可知，且，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：．当且仅当，即时等号成立．综上可得的最小值为．
15、已设都是正数，则“”是“”的 条件 .
（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
答案：必要不充分
分析：由和分别求出a，b的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案．
【详解】由，得或或，由，得，“”是“”的必要不充分条件．
【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，属于中档题．
16、已知x【解析】因为x0，则f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2 eq \r(5－4x\f(1,5－4x))＋3
＝－2＋3＝1。当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立。故f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为1。
17．已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c<0，则下列结论正确的是________
①b>0；②b<0；③；④.
答案：②③
【解析】因为，，所以，，即，所以，即，又，所以，即.故正确的是②③.
18、已知，，且，则最小值为__________．
答案：
【解析】，结合可知原式，
且，
当且仅当时等号成立.即的最小值为.
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
19．已知正实数，满足，则的最小值是 ．
答案：．
【解析】∵，∴，当且仅当时，等号成立，
∴，即的最小值是．
20．如图，在三棱锥中两两垂直，且，设是底面三角形内一动点，定义：，其中分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积。若，且恒成立，则正实数的最小值是_____
答案：
分析：由垂直关系可知平面，进而求得三棱锥体积，通过体积桥可得；利用可构造出符合基本不等式的形式，得到，由恒成立关系可得关于的不等式，解不等式求得最小值.
【详解】两两垂直，平面，
，即
（当且仅当，即时取等号），又恒成立，，解得：，
正实数的最小值为
【点睛】本题考查与立体几何有关的新定义运算中的最值问题的求解；关键是能够对“”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得式子的最值，进而根据恒成立的关系得到不等式，从而求得结果.关系
方法
作差法
作商法
a>b
a－b>0
eq \f(a,b)>1(a，b>0)或eq \f(a,b)<1(a，b<0)
a＝b
a－b＝0
eq \f(a,b)＝1(b≠0)
aa－b<0
eq \f(a,b)<1(a，b>0)或eq \f(a,b)>1(a，b<0)
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔ba
可逆
传递性
a>b，b>c⇒a>c；a同向
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acc的符号
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
同向同正可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向，
同正可乘方性
a>b>0，n∈N*⇒an>bn
同正
可开方性
a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)
同正
练高考 明方向
【2022年新高考I卷第18题】
【2022年全国高考甲卷理科第20题】
3．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知，，，则( )
A． B． C． D．
4．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．
5．【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的
A． 充分不必要条件B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件D． 既不充分也不必要条件
6、【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设，，则( )
A．B．
C．D．
8、(2023年高考山东卷理数）若，且，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
讲典例 备高考
等式性质与不等式性质、基本不等式
比较实数大小基本方法
基本不等式
不等式性质
类型一、比较两个数(式)的大小
基础知识：1.比较大小的基本方法
基本题型：
1．若，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2、设，则
A．B．
C．D．
3．已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
4、（多选题）设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C．D．
【基本方法】比较大小的常用方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
类型二、不等式的性质
基础知识：
注意：(1)倒数性质
①a＞b，ab＞0⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)； ②a＜0＜b⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)；
③a＞b＞0,0＜c＜d⇒eq \f(a,c)＞eq \f(b,d)； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒eq \f(1,b)＜eq \f(1,x)＜eq \f(1,a).
(2)两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：①eq \f(b,a)＜eq \f(b＋m,a＋m)；eq \f(b,a)＞eq \f(b－m,a－m)(b－m＞0)；②eq \f(a,b)＞eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)＜eq \f(a－m,b－m)(b－m＞0)．
基本题型：
1．若α，β满足－eq \f(π,2)＜α＜β＜eq \f(π,2)，则α－β的取值范围是( )
A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0
C．－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2) D．－eq \f(π,2)＜α－β＜0
2．已知函数满足，则的取值范围是_________.
【基本方法】
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
3、（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若则 D．若则
4．（多选题）下列说法中，正确的的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
5．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是________．
【基本方法】运用不等式的性质判断命题真假的策略
(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
(2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
类型三、基本不等式
基础知识：
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq \a\vs4\al(当且仅当a＝b时,等号成立.)
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
基本题型：
1．下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
2．（基本不等式与传统文化）《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接.作交于.则下列不等式可以表示的是( )
A．B．
C．D．
3. （与基本不等式有关的一元问题）函数的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（与基本不等式有关的一元问题）（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．函数的最小值为2 B．函数的最大值为-2
C．函数的最小值为 D．函数的最小值为3
【基本方法】
1．拼凑法求最值
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2．拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．
5．（与基本不等式有关的双元问题）已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．20B．24C．28D．32
6．（与基本不等式有关的双元问题）（多选题）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．ab的最小值为16 C．的最小值为8 D．的最小值为2
A．AB B．ABCC．ABDD．BCD
【基本方法】
1．常数代换法的运用技巧
常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算利用基本不等式解题．
2．用常数代换法求最值时应注意的两个方面
(1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身；
(2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理，
7.（基本不等式与数列）已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为B．最小值为4C．最小值为D．最大值为4或
8．（基本不等式与三角）的最小值为（ ）
A．2B．16C．8D．12
9．（基本不等式与方程的根）若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（基本不等式与立体几何）如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
11. （基本不等式与解三角形）在中，内角的对边另别是，已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．（基本不等式与不等式恒成立）已知，若不等式恒成立，则的最大值为_________．
13.（基本不等式与直线）在平面直角坐标系中，已知点，点，点在线段的延长线上.设直线与直线及轴围成的三角形面积为，则的最小值为____________.
14．（基本不等式与平面向量）如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.
【基本方法】
(1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解．
(3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
(4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致．
新预测 破高考
1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若，，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，，则.
2．（多选题）若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若且，则
4．若，且，则的最小值是（ ）
A．10B．4C．8D．6
5．设且，“不等式”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．且C．D．
6、若正数满足，则的最小值为
A．B．
C．D．3
7、（多选题）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
8、（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．，B．若，则
C．若，则D．若，，，则
9．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
10．已知 QUOTE lg2?−2+lg2?−1?1 lg2a−2+lg2b−1e1，则 QUOTE 2?+? 2a+b取到最小值时， QUOTE ??= ab=
A． QUOTE 3 3B． QUOTE 4 4
C． QUOTE 6 6D． QUOTE 9 9
11、设，若，，，则下列关系式中正确的是
A．B．
C．D．
12．设，，且，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
13．已知函数的图像恒过定点A，若点A在直线 上，其中 ，则的最小值是（ ）
A．9B．4C．D．8
14、已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．
15、已设都是正数，则“”是“”的 条件 .（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
16、已知x
①b>0；②b<0； ③； ④.
18、已知，，且，则最小值为__________．
19．已知正实数，满足，则的最小值是 ．
20．如图，在三棱锥中两两垂直，且，设是底面三角形内一动点，定义：，其中分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积。若，且恒成立，则正实数的最小值是_____
关系
方法
作差法
作商法
a>b
a－b>0
eq \f(a,b)>1(a，b>0)或eq \f(a,b)<1(a，b<0)
a＝b
a－b＝0
eq \f(a,b)＝1(b≠0)
a
eq \f(a,b)<1(a，b>0)或eq \f(a,b)>1(a，b<0)
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔b
可逆
传递性
a>b，b>c⇒a>c；a
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
同向同正可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向，
同正可乘方性
a>b>0，n∈N*⇒an>bn
同正
可开方性
a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)
同正
2023高考一轮复习讲与练
03 等式性质与不等式性质、基本不等式
练高考 明方向
【2022年新高考I卷第18题】
【解析】（1）略，
（2）
【2022年全国高考甲卷理科第20题】
【解析】（1）略，
（2）
3．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知，，，则( )
A． B． C． D．
答案：B
【解析】，，，故．
4．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．
答案：
【解析】方法一：.
因为，所以，即，
当且仅当时取等号成立.又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.
方法二：
.
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
5．【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的
A． 充分不必要条件B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件D． 既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
6、【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】化简不等式，可知 推不出，由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，故选B.
7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设，，则( )
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】一方面，，所以，，，所以，所以，即，而，
所以，所以，综上可知，故选B
8、(2023年高考山东卷理数）若，且，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
讲典例 备高考
等式性质与不等式性质、基本不等式
比较实数大小基本方法
基本不等式
不等式性质
类型一、比较两个数(式)的大小
基础知识：1.比较大小的基本方法
基本题型：
1．若，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为：对于A：当,所以,故A错误；对于B：因为,所以,故B错误；对于C：因为,所以,故C错误；对于D：因为,所以,又因为,则,故不取等,即,故D正确；
2、设，则
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】 ， ,即，故.又，所以.故，所以选A.
【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.
3．已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】对于，令，，，满足，但不满足，故排除
对于，令，，故排除，对于，为减函数，当时，，故恒成立，对于，令，，故排除故选
【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。
4、（多选题）设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C．D．
答案：CD
【解析】当，满足条件．但不成立，故A错误，当时，，故B错误，
，，则，故C正确，，
，故D正确.
【基本方法】比较大小的常用方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
类型二、不等式的性质
基础知识：
注意：(1)倒数性质
①a＞b，ab＞0⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)； ②a＜0＜b⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)；
③a＞b＞0,0＜c＜d⇒eq \f(a,c)＞eq \f(b,d)； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒eq \f(1,b)＜eq \f(1,x)＜eq \f(1,a).
(2)两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：①eq \f(b,a)＜eq \f(b＋m,a＋m)；eq \f(b,a)＞eq \f(b－m,a－m)(b－m＞0)；②eq \f(a,b)＞eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)＜eq \f(a－m,b－m)(b－m＞0)．
基本题型：
1．若α，β满足－eq \f(π,2)＜α＜β＜eq \f(π,2)，则α－β的取值范围是( )
A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0
C．－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2) D．－eq \f(π,2)＜α－β＜0
答案：B
【解析】从题中－eq \f(π,2)＜α＜β＜eq \f(π,2)可分离出三个不等式－eq \f(π,2)＜α＜eq \f(π,2) ①，－eq \f(π,2)＜β＜eq \f(π,2) ②，α＜β ③.根据不等式的性质，②式同乘以－1得－eq \f(π,2)＜－β＜eq \f(π,2) ④，根据同向不等式的可加性，
可得－π＜α－β＜π.由③式得α－β＜0，所以－π＜α－β＜0，故选B.
2．已知函数满足，则的取值范围是_________.
答案：
【解析】由题意得解得所以,
因为，所以；因为，所以．
两式相加得，故的取值范围是.
【基本方法】
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
3、（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若则 D．若则
答案：BC
【解析】若，，则，故A错；若，，则，化简得，故B对；若，则，又，则，故C对；若，，，，则，，，故D错；故选：BC．
4．下列说法中，正确的的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
答案：ABD
【解析】A选项，若，，则，故A正确；B选项，若，根据不等式的可乘性，可得，故B正确；C选项，若，，则满足，，但，故C错；D选项，若，，则，所以，故D正确.
5．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是________．
答案：3
【解析】若ab>0，bc－ad>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0，即ab>0，bc－ad>0⇒
eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0；若ab>0，eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0成立，不等式eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0两边同乘ab，可得bc－ad>0，即ab>0，eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0⇒
bc－ad>0；若eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0，bc－ad>0成立，则eq \f(c,a)－eq \f(d,b)＝eq \f(bc－ad,ab)>0，又bc－ad>0，则ab>0，即eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0，
bc－ad>0⇒ab>0.
综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个．
【基本方法】运用不等式的性质判断命题真假的策略
(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
(2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
类型三、基本不等式
基础知识：
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq \a\vs4\al(当且仅当a＝b时,等号成立.)
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
基本题型：
1．下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】试题分析：当时， ,当且仅当时取等号. ，当且仅当时取等号.
2．（基本不等式与传统文化）《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接.作交于.则下列不等式可以表示的是( )
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故选：A.
3. （与基本不等式有关的一元问题）函数的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：D
分析：将函数化成的形式，然后用均值不等式可求出答案.
【详解】.当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为6.故选：D
4．（与基本不等式有关的一元问题）（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．函数的最小值为2 B．函数的最大值为-2
C．函数的最小值为 D．函数的最小值为3
答案：ABD
分析：利用均值不等式及其成立的条件可判断ABC，利用对勾函数的单调性可判断D
【详解】对于A中，当时，，当且仅当时，等号成立，所以A正确；对于B中，函数，当即时等号成立，所以B成立；对于C中，当时，函数无最小值，所以C不正确；对于D中，函数．令，所以，由对勾函数的性质，在单调递增，可得其最小值为3，D正确．
【基本方法】
1．拼凑法求最值
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2．拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．
5．（与基本不等式有关的双元问题）已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．20B．24C．28D．32
答案：A
【解析】均为正实数，且，则
当且仅当时取等号.
的最小值为20.故选A.
6．（与基本不等式有关的双元问题）（多选题）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．ab的最小值为16 C．的最小值为8 D．的最小值为2
A．AB B．ABCC．ABDD．BCD
答案：C
分析：对于A，由，，可得，从而可求得结果，对于B，由，得，然后利用基本不等式可得答案，对于C，由于，化简后利用基本不等式可判断，对于D，利用基本不等式判断
【详解】对于A，因为，，且，所以，解得，所以A正确，对于B，由，得，当且仅当，即时取等号，解得，所以的最小值为16，所以B正确，对于C，，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为9，所以C错误，对于D，由，得，因为，，所以，，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，所以D正确，
【基本方法】
1．常数代换法的运用技巧
常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算利用基本不等式解题．
2．用常数代换法求最值时应注意的两个方面
(1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身；
(2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理，
7.（基本不等式与数列）已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为B．最小值为4C．最小值为D．最大值为4或
答案：B
分析：根据等差数列的通项公式可用表示出.由数列单调递增可得.用表示出,结合基本不等式即可求得最值.
【详解】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得
因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知
，由,结合基本不等式可得
，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。
【点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.
8．（基本不等式与三角）的最小值为（ ）
A．2B．16C．8D．12
答案：B
【解析】
分析：利用将变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.
【详解】∵，∴
，当且仅当，时“=”成立，故的最小值为16.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.
9．（基本不等式与方程的根）若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.
【详解】因为两个不等的实根是和，不妨令，
故可得，解得，则=，故选：C.
【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.
10．（基本不等式与立体几何）如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.
【详解】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为,所以,所以,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,设外接球的半径为,所以,
所以,当且仅当时,等号成立,，所以,所以该三棱锥外接球体积为.故选:C
【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.
11. （基本不等式与解三角形）在中，内角的对边另别是，已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：由已知可得，结合余弦定理，求出用表示，用基本不等式求出的最小值，即可求解.
【详解】,由正弦定理得，
由余弦定理得，，
，当且仅当时，等号成立，，
所以的最大值为.
【点睛】本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题.
12．（基本不等式与不等式恒成立）已知，若不等式恒成立，则的最大值为_________．
答案：16
【解析】因为，所以恒成立等价于 恒成立，因为( 时等号成立) ，所以 ，的最大值为，故答案为.
13.（基本不等式与直线）在平面直角坐标系中，已知点，点，点在线段的延长线上.设直线与直线及轴围成的三角形面积为，则的最小值为____________.
答案：12
分析：求出直线方程，设点坐标，求出直线的方程，进而求出直线与轴交点的坐标，将所求三角形的面积表示成点坐标的函数，根据函数特征，利用基本不等式求出最小值.
【详解】点，直线方程为，点在线段的延长线上，设，
当时，，当，且时，直线方程为，
令，，
当且仅当时，等号成立.所以的最小值为12.故答案为:12.
【点睛】本题考查三角形面积的最小值，解题时认真审题，注意基本不等式的应用，属于中档题.
14．（基本不等式与平面向量）如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.
答案：．
分析：根据重心的性质有,再表达成的关系式,再根据,,三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.
【详解】根据条件：,,又,.
又,,三点线,.,,
.
的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为：.
【基本方法】
(1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解．
(3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
(4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致．
新预测 破高考
1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若，，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，，则.
答案：CD
【解析】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，当时，，故B错误；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.
2．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】由，得，即，所以，A正确；若，满足，但，B错误；，则，所以，C正确；由得，，所以，D错．
3．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若且，则
答案：BC
【解析】对于A中，若，当时，则，所以A不正确；对于B中，若，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，由，可得，又由，根据不等式的性质，可得，所以C正确；对于D中，若，可得，由，可得，所以D不正确。
4．若，且，则的最小值是（ ）
A．10B．4C．8D．6
答案：C
分析：利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.
【详解】因为（即 取等号），所以最小值为.
【点睛】已知，求解（ ）的最小值的处理方法：利用
，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.
5．设且，“不等式”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．且C．D．
答案：A
分析：求解不等式，根据不等式的解集，即可求得必要条件.
【详解】不等式，可整理得，解得且.故当是且的必要不充分条件；而其它选项都不满足必要性.故选：A.
【点睛】本题考查分式不等式的求解，以及命题的必要条件的求解，属综合基础题.
6、若正数满足，则的最小值为
A．B．
C．D．3
答案：A
【解析】由题意，因为，则，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.
【名师点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7、（多选题）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
【解析】对A，由指数函数的单调性可知，当，有，故A 正确；对B，当时，不成立，故B错误；对C，当时，不成立，故C错误；
对D，成立，从而有成立，故D正确；
8、（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．，B．若，则
C．若，则D．若，，，则
答案：BD
【解析】当时，为负数，所以A不正确；若，则，考虑函数在R上单调递增，所以，即，所以B正确；若，则，，所以C不正确；若，，，根据基本不等式有，所以D正确.
9．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
答案：D
分析：将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.
【详解】当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立
即等价于；而因为，故,当且仅当时取得最大值.故：。
【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.
10．已知 QUOTE lg2?−2+lg2?−1?1 lg2a−2+lg2b−1e1，则 QUOTE 2?+? 2a+b取到最小值时， QUOTE ??= ab=
A． QUOTE 3 3B． QUOTE 4 4
C． QUOTE 6 6D． QUOTE 9 9
答案：D
【解析】由 QUOTE lg2?−2+lg2?−1?1 lg2a−2+lg2b−1e1，可得 QUOTE ?−2>0 a−2>0， QUOTE ?−1>0 b−1>0且 QUOTE ?−2?−1?2 a−2b−1e2.所以 QUOTE 2?+?=2?−2+?−1+5≥22?−2?−1+5≥22×2+5=9 2a+b=2a−2+b−1+5≥22a−2b−1+5≥22×2+5=9，当 QUOTE 2?−2=?−1 2a−2=b−1且 QUOTE ?−2?−1=2 a−2b−1=2时等号成立，解得 QUOTE ?=?=3 a=b=3.所以 QUOTE 2?+? 2a+b取到最小值时 QUOTE ??=3×3=9 ab=3×3=9.故选D.
【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.
11、设，若，，，则下列关系式中正确的是
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以．
12．设，，且，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用基本不等式可求出的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出的最小值.
【详解】，，且，，，
，当且仅当时取等号.，则的最小值是.故选：B.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
13．已知函数的图像恒过定点A，若点A在直线 上，其中 ，则的最小值是（ ）
A．9B．4C．D．8
答案：C
【解析】由题得A(-2,-2),所以-2m-2n+4=0,所以m+n=2,所以=.当且仅当时取到最小值.故答案为：C
【点睛】(1)本题主要考查对数函数的定点问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 本题的解题关键是常量代换，即把化成，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.
14、已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．
答案：
【解析】由可知，且，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：．当且仅当，即时等号成立．综上可得的最小值为．
15、已设都是正数，则“”是“”的 条件 .
（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
答案：必要不充分
分析：由和分别求出a，b的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案．
【详解】由，得或或，由，得，“”是“”的必要不充分条件．
【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，属于中档题．
16、已知x
＝－2＋3＝1。当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立。故f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为1。
17．已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c<0，则下列结论正确的是________
①b>0；②b<0；③；④.
答案：②③
【解析】因为，，所以，，即，所以，即，又，所以，即.故正确的是②③.
18、已知，，且，则最小值为__________．
答案：
【解析】，结合可知原式，
且，
当且仅当时等号成立.即的最小值为.
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
19．已知正实数，满足，则的最小值是 ．
答案：．
【解析】∵，∴，当且仅当时，等号成立，
∴，即的最小值是．
20．如图，在三棱锥中两两垂直，且，设是底面三角形内一动点，定义：，其中分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积。若，且恒成立，则正实数的最小值是_____
答案：
分析：由垂直关系可知平面，进而求得三棱锥体积，通过体积桥可得；利用可构造出符合基本不等式的形式，得到，由恒成立关系可得关于的不等式，解不等式求得最小值.
【详解】两两垂直，平面，
，即
（当且仅当，即时取等号），又恒成立，，解得：，
正实数的最小值为
【点睛】本题考查与立体几何有关的新定义运算中的最值问题的求解；关键是能够对“”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得式子的最值，进而根据恒成立的关系得到不等式，从而求得结果.关系
方法
作差法
作商法
a>b
a－b>0
eq \f(a,b)>1(a，b>0)或eq \f(a,b)<1(a，b<0)
a＝b
a－b＝0
eq \f(a,b)＝1(b≠0)
a
eq \f(a,b)<1(a，b>0)或eq \f(a,b)>1(a，b<0)
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔b
可逆
传递性
a>b，b>c⇒a>c；a
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
同向同正可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向，
同正可乘方性
a>b>0，n∈N*⇒an>bn
同正
可开方性
a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)
同正
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