高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题07函数的奇偶性与周期性(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题07函数的奇偶性与周期性(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了【2022年新高考I卷8题】等内容，欢迎下载使用。
练高考 明方向
1、【2022年新高考I卷第12题】
2、【2022年新高考I卷8题】
3、【2022年新高考I卷8题】
4．(2023年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．B．C．D．
5．(2023年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则( )
A．B．C．D．
6、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
7、【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是
A． B．
C． D．
8．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（lg3）＞（）＞（） B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3） D．（）＞（）＞（lg3）
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数在的图像大致为( )
A．B．C．D．
10．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
11．【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
12、【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ .
13．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )
A．B．0C．2D．50
14．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是( )
A．B．C．D．
15．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则( )
A．B．C．D．
讲典例 备高考
函数的奇偶性与周期性
奇函数的定义
偶函数的定义
函数的对称性
奇偶性的判断
奇偶性的应用
周期性的判断
周期性的应用
类型一、奇函数、偶函数的判断
基础知识：
1、奇函数、偶函数的定义
2、常用结论
（1）①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)奇函数的特殊性质
①若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0.
②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.
特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c.
基本题型：
1．（利用定义判断函数奇偶性）下列函数中，是偶函数，且在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（利用定义、图象判断函数奇偶性）判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x＋1) eq \r(\f(1－x,1＋x))； (2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，xb>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
5、若函数是奇函数，则使的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选题）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（多选题）已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中正确的有（ ）
A．y=gfx+1为偶函数B．为奇函数
C．的图像关于直线对称 D．y=fgx+1为偶函数
8．（多选题）下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
9、关于函数 QUOTE ?(?)=?−sin? f(x)=x−sinx，下列说法错误的是
A． QUOTE ?? fx是奇函数B． QUOTE ?? fx在 QUOTE −∞,+∞ −∞,+∞上单调递增
C． QUOTE ?=0 x=0是 QUOTE ?? fx的唯一零点D． QUOTE ?? fx是周期函数
10．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
11．已知定义在上的函数满足，设，若的最大值和最小值分别为和，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
13．设函数是上的偶函数，且在上单调递减，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
14．已知当时，，则以下判断正确的是（ ）．
A．B．
C．D．与的大小关系不确定
15．函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为
16、已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．
17、已知，方程在内有且只有一个，则在区间 内根的个数为
18、已知定义在上的函数满足：，当时，，则______________
19．已知是定义在上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集是___________．
20. 已知函数若为奇函数，则_________.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
定义法
图象法
性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇
周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期
最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
2023高考一轮复习讲与练
07 函数的奇偶性与周期性
练高考 明方向
1、【2022年新高考I卷第12题】
2、【2022年新高考I卷8题】
3、【2022年新高考I卷8题】
4．(2023年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：B
5．(2023年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以
②．令，由①得：，由②得：，
因为，所以，令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
，
所以．
思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．
6、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
答案：D
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
7、【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或.
解得或，所以满足的的取值范围是，
8．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（lg3）＞（）＞（） B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3） D．（）＞（）＞（lg3）
答案：C
【解析】是定义域为的偶函数，．，
，又在(0，+∞)上单调递减，
∴，即.故选C．
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数在的图像大致为( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又，排除选项A、D，故选B．
【点评】本题通过判断函数的奇偶性，缩小选项范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．在解决图象类问题时，我们时常关注的是对称性、奇偶性，特殊值，求导判断函数单调性，极限思想等方法。
10．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
答案：
【解析】由题意知是奇函数，且当时，，又因为，，
所以，两边取以为底数的对数，得，所以，即．
11．【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
答案：
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.
12、【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ .
答案：
【解析】作出函数，的图象，如图：
由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程有2个不同的实数根，
要使关于的方程有8个不同的实数根，则与的图象有2个不同的交点，由到直线的距离为1，可得，解得，∵两点连线的斜率，∴，
综上可知，满足在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为.
13．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )
A．B．0C．2D．50
答案：C
解析：因为是定义域为的奇函数，且满足，所以，即，所以，，因此是周期函数且．又，
且，所以，
所以，故选C．
14．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案： D
【解析】因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D．
【点评】奇偶性与单调性的综合问题,要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题,若在上为单调递增的奇函数,且,则,反之亦成立．
15．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】的图像的对称中心为又函数满足，所以图像的对称中心为：所以，故选Ｂ
讲典例 备高考
函数的奇偶性与周期性
奇函数的定义
偶函数的定义
函数的对称性
奇偶性的判断
奇偶性的应用
周期性的判断
周期性的应用
类型一、奇函数、偶函数的判断
基础知识：
1、奇函数、偶函数的定义
2、常用结论
（1）①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)奇函数的特殊性质
①若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0.
②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.
特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c.
基本题型：
1．（利用定义判断函数奇偶性）下列函数中，是偶函数，且在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】对于A中，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B中，函数的定义域为关于原点对称，
又由，所以函数为偶函数，又由幂函数的性质，可得函数在单调递减，则在区间单调递增，所以B是正确的；对于C中，函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，不符合题意；对于D中，由函数，可得函数在单调递减，不符合题意.
2．（利用定义、图象判断函数奇偶性）判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x＋1) eq \r(\f(1－x,1＋x))； (2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，xa)，则2(b－a)是函数y＝f(x)的周期；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a和点(b,0)对称(b>a)，则4(b－a)是函数y＝f(x)的周期．
4、（对称性、周期性与奇偶性交汇）已知是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称.若当时，，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
答案：C
【解析】是定义在上的奇函数，的图像关于直线对称，，
，是周期为的周期函数，.
5、（对称性、周期性与奇偶性交汇）（多选题）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）
A．函数是周期函数B．函数的图象关于点对称
C．函数为上的偶函数D．函数为上的单调函数
答案：ABC
【解析】因为，所以，即，故A正确；
因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；
又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.
6. （对称性、周期性与奇偶性交汇）已知函数对满足，且，若的图象关于对称，，则=____________．
答案：
【解析】
分析：先由对称性可得是偶函数，再利用赋值求得的值，从而可判断周期性，答案易得.
【详解】因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，即是偶函数.对于，令，可得，又，所以，则.所以函数对满足.所以.
所以，即是周期为的周期函数.所以，
.所以.故答案为：.
新预测 破高考
1、（多选题）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
【解析】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.对于C选项，为奇函数，不符合题意.对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.
2．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：确定函数为奇函数和增函数，化简得到，解得答案.
【详解】，，函数为奇函数，当时，，函数单调递增，函数连续，故在上单调递增.，故，即，解得.
3、已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（ ）
A．-15B．-7C．3D．15
答案：A
【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称，则,解得，因为奇函数当时,，则。
4、已知函数f(x)(x∈R)满足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝e－x.设a＝f(lgeq \f(1,2)3)，b＝f(lg210)，c＝f(lg2200)，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
答案：C
【解析】∵f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)的周期为2.又∵f(x－1)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(－x)，
∴f(x)为偶函数，∴a＝f(lg23)＝f(lg23－2)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(3,4)))，b＝f(lg210)＝f(lg210－4)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(5,8)))，
c＝f(lg2200)＝f(lg2200－8)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(25,32))).
∵－1