高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题08二次函数与幂函数(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题08二次函数与幂函数(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了若，则，又因为f－f＝x－1，等内容，欢迎下载使用。

练高考 明方向
1．(2023上海)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____
2．(2023浙江）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则
A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关
3．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则( )
(A) (B) (C) (D)
4．(2023北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
5．(2023广东)定义域为的四个函数,,,中，奇函数的个数是
A． B． C． D．
讲典例 备高考
二次函数与幂函数
奇函数的定义
偶函数的定义
函数的对称性
奇偶性的判断
奇偶性的应用
周期性的判断
周期性的应用
类型一、幂函数的定义
基础知识：
1、幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
基本题型：
1．（幂函数的判断）下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝x4＋x2 B．y＝10x
C．y＝eq \f(1,x3) D．y＝x＋1
2．（幂函数的判断）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
类型二、幂函数的图象
基础知识：
1、五个常见幂函数的图象
基本题型：
1．（根据解析式确定图象）已知，且，若，则函数的图像为（ ）.
A．B．
C．D．
2．（根据图象确定解析式）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
A．、3、B．、3、C．、、3D．、、3
3．（利用图象比较大小）对于幂函数，若，则，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
4．（利用图象比较大小）已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( )
A．c5．（幂函数图象的性质）下列命题中，假命题的个数为_________．
①幂函数的图象有可能经过第四象限；②幂函数的图象都经过点；
③当时，函数的图象是一条直线；④当时，函数在定义域内是严格减函数；
⑤过点的幂函数图象关于轴对称．
类型三、幂函数的性质
基础知识：
1、五个常见幂函数的性质
1．（幂函数单调性）已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（幂函数图象的对称性）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______.
3．（幂函数的奇偶性）设，则使函数的定义域为且函数为奇函数的所有的值为（ ）
A．B．
C．D．
类型四、二次函数的解析式
基础知识：
二次函数解析式的三种形式
基本题型：
1．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.
2．已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f(x)＝________.
已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有
f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
基本方法：求二次函数解析式的方法
类型五、二次函数的图象与性质
基础知识：
基本题型：
1．（根据函数图象求范围）(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．b＝－2a
B．a＋b＋c<0
C．a－b＋c>0
D．abc<0
2．（根据解析式确定函数图象）(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象可能是( )
基本方法：
1、分析二次函数图象问题的要点
一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向；
二是看对称轴和顶点，它们决定二次函数图象的具体位置；
三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．
从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息．
类型四、二次函数给定区间上最值问题
基础知识：
1、闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．
2、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
基本题型：
1．（轴定区间定）已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则f(x)的最小值是________．
2、（轴动区间定）已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，则实数a的值为________．

3、（轴定区间动）设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
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1．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（ ）
A．是偶函数B．在定义域上是单调递增函数
C．的值域为D．在定义域内有最大值
2．下列关于幂函数的结论，正确的是（ ）.
A．幂函数的图象都过点B．幂函数的图象不经过第四象限
C．幂函数为奇函数或偶函数D．幂函数在其定义域内都有反函数
3．已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（ ）

A．②①③④ B．②③①④C．④①③②D．④③①②
4．(多选)函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象可能为( )
5．若幂函数的图象不过原点且关于原点对称，则（ ）
A．B．C．或D．
6．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．-1
7．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点，，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，则mn等于（ ）
A．1B．2C．3D．无法确定
8．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )
A．0B．1
C．2D．3
9．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
10．已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,8)))在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))，b＝f(ln π)，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．b12．(多选)已知函数f(x)＝3x2－6x－1，则( )
A．函数f(x)有两个不同的零点
B．函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增
C．当a＞1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝3
D．当0＜a＜1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝eq \f(1,3)
13．已知幂函数（其中，）满足：①在区间上为减函数；②对任意的，都有.则在的值域为__________.
14．定义函数，，则的最小值为________.
15．已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.
16．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为______．
17．已知二次函数（，，），且函数图象过点.
（1）若函数图象的对称轴方程为，方程有两个相等的实数根，求函数的解析式；
（2）令函数，若、为方程的两个实数根，求的最小值.
18．已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.
（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.
（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
eq \a\vs4\al(偶函数)
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在(0，＋∞) 上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
过定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
一般式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－eq \f(b,2a)，顶点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
顶点式
f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)
零点式
f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝eq \f(x1＋x2,2)
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
对称轴
x＝－eq \f(b,2a)
顶点坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数，
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－eq \f(b,2a)，＋∞))上是增函数
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数，
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－eq \f(b,2a)，＋∞))上是减函数
2023高考一轮复习讲与练
08 二次函数与幂函数
练高考 明方向
1．(2023上海)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____
答案：
【解析】由题意为奇函数，所以只能取，又在上递减，所以．
2．(2023浙江）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则
A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关
答案：B
【解析】函数的对称轴为，
①当，此时，，；
②当，此时，，；
③当，此时，或，或．综上，的值与有关，与无关．选B．
3．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则( )
(A) (B) (C) (D)
答案：C
【解析】对A：由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；对B：由于，∴函数在上单调递减，∴，B错误；对C：要比较和，只需比较和，只需比较和，
只需和，构造函数，则，在上单调递增，因此，又由得，∴，C正确，对D：要比较和，只需比较
和，而函数在上单调递增，故，又由得，∴，D错误
4．(2023北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
答案：B
【解析】由题意可知过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入
中可解得，∴，
∴当分钟时，可食用率最大．
5．(2023广东)定义域为的四个函数,,,中，奇函数的个数是
A． B． C． D．
答案：C
【解析】是奇函数的为与，故选C．
讲典例 备高考
二次函数与幂函数
奇函数的定义
偶函数的定义
函数的对称性
奇偶性的判断
奇偶性的应用
周期性的判断
周期性的应用
类型一、幂函数的定义
基础知识：
1、幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
基本题型：
1．（幂函数的判断）下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝x4＋x2 B．y＝10x
C．y＝eq \f(1,x3) D．y＝x＋1
答案：C
【详解】根据幂函数的定义知，y＝eq \f(1,x3)是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．
2．（幂函数的判断）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
答案：B
【详解】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，则可知①和④是幂函数.
类型二、幂函数的图象
基础知识：
1、五个常见幂函数的图象
基本题型：
1．（根据解析式确定图象）已知，且，若，则函数的图像为（ ）.
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由题意得：，令，则，解得或（舍去），所以，即，所以的图像即为的图像．
2．（根据图象确定解析式）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
A．、3、B．、3、C．、、3D．、、3
答案：D
【详解】由题意得，根据幂函数的图象与性质可知，，所以解析式中指数的值依次可以是，
3．（利用图象比较大小）对于幂函数，若，则，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
答案：A
【解析】幂函数在上是增函数，大致图象如图所示.
设，，其中，则AC的中点E的坐标为，且，，.，.
4．（利用图象比较大小）已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( )
A．c答案：A
【解析】由幂函数图像特征知，，，，所以选A．
5．（幂函数图象的性质）下列命题中，假命题的个数为_________．
①幂函数的图象有可能经过第四象限；②幂函数的图象都经过点；
③当时，函数的图象是一条直线；④当时，函数在定义域内是严格减函数；
⑤过点的幂函数图象关于轴对称．
答案：3
【详解】对于①，正数的指数幂为正数，故幂函数的图象不可能经过第四象限，故错误；对于②，的任何指数幂均为，所以幂函数的图象都经过点，故正确；对于③，当时，函数的定义域为，其图象是两条射线，故错误；对于④，当时，在定义域内不具有单调性，故错误；对于⑤，当幂函数过点时，得为偶数，故幂函数图象关于轴对称，故正确.
类型三、幂函数的性质
基础知识：
1、五个常见幂函数的性质
1．（幂函数单调性）已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由已知得，解得：，所以，因为，，，
又，所以，由在上递增，可得：，所以.
2．（幂函数图象的对称性）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______.
答案：
【详解】因为是幂函数，，解得或1，当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，不符合题意，当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递减，符合题意，.
3．（幂函数的奇偶性）设，则使函数的定义域为且函数为奇函数的所有的值为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，偶函数，不符合题意；时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意.
类型四、二次函数的解析式
基础知识：
二次函数解析式的三种形式
基本题型：
1．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.
答案：eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2
【解析】因为f(x)是二次函数且f(0)＝2，所以设f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)．又因为f(x＋1)－f(x)＝x－1，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－(ax2＋bx＋2)＝x－1，整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1＝0，,a＋b＋1＝0，))解得a＝eq \f(1,2)，b＝－eq \f(3,2)，所以f(x)＝eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2.
2．已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f(x)＝________.
答案：f(x)＝x2＋2x.
【解析】法一：设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
所以f(x)＝ax2＋2ax，由eq \f(4a×0－4a2,4a)＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.
法二：由二次函数f(x)与x轴交于(0,0)，(－2,0)，知f(x)的图象关于x＝－1对称．
设f(x)＝a(x＋1)2－1(a>0)，又f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x.
已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有
f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
答案：f(x)＝x2－4x＋3.
【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线
段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
基本方法：求二次函数解析式的方法
类型五、二次函数的图象与性质
基础知识：
基本题型：
1．（根据函数图象求范围）(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．b＝－2a
B．a＋b＋c<0
C．a－b＋c>0
D．abc<0
答案：AD
【解析】根据对称轴x＝－eq \f(b,2a)＝1得到b＝－2a，A正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，B错误；当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，C错误；函数图象开口向下，所以a<0，b＝－2a>0，当x＝0时，y＝c>0，故abc<0，D正确．
2．（根据解析式确定函数图象）(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象可能是( )
答案：ABD
【解析】若a＝0，则f(x)＝x＋1，g(x)＝1，A符合；若a<0，则f(x)的图象开口向下，过点(0,1)，
对称轴的方程为x＝－eq \f(1,2a)，g(x)的图象过点(0,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，0))，且－eq \f(1,2a)<－eq \f(1,a)，B符合；若0则f(x)的图象开口向上，与x轴有两个交点，过点(0,1)，对称轴的方程为x＝－eq \f(1,2a)，g(x)的图象过
点(0,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，0))，且－eq \f(1,2a)>－eq \f(1,a)，C不符合；若a>eq \f(1,4)，则f(x)的图象开口向上，与x轴没有交点，
过点(0,1)，对称轴的方程为x＝－eq \f(1,2a)，g(x)的图象过点(0,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，0))，且－eq \f(1,2a)>－eq \f(1,a)，D符合．
基本方法：
1、分析二次函数图象问题的要点
一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向；
二是看对称轴和顶点，它们决定二次函数图象的具体位置；
三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．
从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息．
类型四、二次函数给定区间上最值问题
基础知识：
1、闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．
2、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
基本题型：
1．（轴定区间定）已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则f(x)的最小值是________．
答案：－1
【解析】∵函数f(x)＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝eq \f(3,2)>1，
∴函数f(x)＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，∴f(x)min＝2－6＋3＝－1.
2、（轴动区间定）已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，则实数a的值为________．
答案：－1或2
【解析】易知y＝－x2＋2ax＋1－a(x∈R)的图象的对称轴为直线x＝a.
当a<0时，函数f(x)的图象如图①中实线部分所示，
当x＝0时，ymax＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，即a＝－1.
当0≤a≤1时，函数f(x)的图象如图②中实线部分所示，
当x＝a时，ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.∴a2－a＋1＝2，解得a＝eq \f(1±\r(5),2).
∵0≤a≤1，∴a＝eq \f(1±\r(5),2)不满足题意．
当a>1时，函数f(x)的图象如图③中实线部分所示，当x＝1时，ymax＝f(1)＝a＝2，∴a＝2.
综上可知，a的值为－1或2.

3、（轴定区间动）设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t<1当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1；当0新预测 破高考
1．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（ ）
A．是偶函数B．在定义域上是单调递增函数
C．的值域为D．在定义域内有最大值
答案：B
【详解】设，则，解得，，的定义域为，故A错误；可得在定义域上是单调递增函数，故B正确；值域为，故C错误；故在定义域内没有最大值，故D错误.
2．下列关于幂函数的结论，正确的是（ ）.
A．幂函数的图象都过点B．幂函数的图象不经过第四象限
C．幂函数为奇函数或偶函数D．幂函数在其定义域内都有反函数
答案：B
【解析】幂函数不过点，则A错误；当时，，则幂函数的图象不经过第四象限，则B正确；的定义域为，不关于原点或轴对称，则C错误；在内无反函数，则D错误；
3．已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（ ）

A．②①③④ B．②③①④C．④①③②D．④③①②
答案：D
【详解】①：函数是实数集上的增函数，且图象过点，因此从左到右第三个图象符合；②：函数是实数集上的减函数，且图象过点，因此从左到右第四个图象符合；③：函数在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；④：函数在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，
4．(多选)函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象可能为( )
答案：ACD
【详解】当a<0时，g(x)＝xa为奇函数，定义域为{x|x≠0}，且在(0，＋∞)上递减，而f(x)＝ax2＋2x＋1的图象开口向下，对称轴为x＝－eq \f(1,a)>0，f(0)＝1，故A符合；当a＝2n(n∈N*)时，g(x)＝xa为偶函数，
且在(0，＋∞)上递增，f(x)＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，且对称轴为x＝－eq \f(1,a)<0，Δ＝4－4a<0，
其图象和x轴没有交点，故D符合；当a＝eq \f(1,2n)(n∈N*)时，函数g(x)＝xa的定义域为[0，＋∞)，
且在[0，＋∞)上递增，f(x)＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，且对称轴为x＝－eq \f(1,a)<0，Δ＝4－4a>0，
图象和x轴有两个交点，故C符合．B明显不符合题意，故选A、C、D.
5．若幂函数的图象不过原点且关于原点对称，则（ ）
A．B．C．或D．
答案：A
【详解】根据幂函数的概念，得，解得或，①若，则，
令，其定义域为，且，显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去；②若，则，令，其定义域为，且，即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意.所以.
6．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．-1
答案：C
【解析】设幂函数，图象过点，故，故，，令，则，，∴时，.
7．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点，，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，则mn等于（ ）
A．1B．2C．3D．无法确定
答案：A
【解析】由题，，，所以，，，，，.
8．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )
A．0B．1
C．2D．3
答案：B
【解析】∵幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m＜.又∵m∈N，
∴m＝0,1.∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数；当m＝1时，
f(x)＝x－2是偶函数．∴m＝1,故选B.
9．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需.
10．已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】对任意，，且，都有，即在上单调减，又是幂函数，知：，解得或（舍去），∴，是偶函数，∴，，而，即，
11．已知点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,8)))在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))，b＝f(ln π)，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．b答案：C
【解析】因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,8)))在函数f(x)的图象上，所以eq \f(1,8)＝2n，解得n＝－3，所以f(x)＝x－3，易知当x>0时，f(x)单调递减．因为eq \f(\r(3),3)ln e＝1，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))>f(ln π)，即a>c>b，故选C.
12．(多选)已知函数f(x)＝3x2－6x－1，则( )
A．函数f(x)有两个不同的零点
B．函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增
C．当a＞1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝3
D．当0＜a＜1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝eq \f(1,3)
答案：ACD
【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ＝(－6)2－4×3×(－1)＝48＞0，
所以函数f(x)有两个不同的零点，A正确．因为二次函数f(x)图象的对称轴为x＝1，且图象开口向上，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，B不正确．令t＝ax，则f(ax)＝g(t)＝3t2－6t－1＝3(t－1)2－4.
当a＞1时，eq \f(1,a)≤t≤a，故g(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))上先减后增，又eq \f(a＋\f(1,a),2)＞1，故最大值为g(a)＝3a2－6a－1＝8，
解得a＝3(负值舍去)．同理当0＜a＜1时，a≤t≤eq \f(1,a)，g(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(1,a)))上的最大值为geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝eq \f(3,a2)－eq \f(6,a)－1＝8，
解得a＝eq \f(1,3)(负值舍去)．故C、D正确．
13．已知幂函数（其中，）满足：①在区间上为减函数；②对任意的，都有.则在的值域为__________.
答案：，值域为
【解析】，，，0，1.对任意，都有，即，是偶函数.当时，，满足条件①②；当时，，不满足条件①；当时，，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数的解析式为，且在区间上是增函数，当时，函数的值域为。
14．定义函数，，则的最小值为________.
答案：1.
【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，如下图所示
由，解得或，则函数的图象，如下图所示
∴在与处均取得最小值1，即.
15．已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.
答案：
【解析】当时，幂函数和直线第一象限的图像如下，由图可知，不满足题意，
当时，幂函数和直线重合，不满足题意，
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下，由图可知，满足题意，
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下，由图可知，满足题意，
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下，由图可知，满足题意，
综上，。
16．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为______．
答案：
【解析】因为函数在上单调递减，所以，解得．又，所以，2．又函数的图象关于轴对称，所以为偶数，所以．因为函数在和上单调递减，由，得或或，解得：或，所以实数的取值范围是．
17．已知二次函数（，，），且函数图象过点.
（1）若函数图象的对称轴方程为，方程有两个相等的实数根，求函数的解析式；
（2）令函数，若、为方程的两个实数根，求的最小值.
答案：（1）或；（2）.
【详解】（1）由题意有，得，则.方程可化为：，，解得：或，
故函数的解析式为或.
（2）由（1）知，，方程可化为，有，且.
，当取最小值时，得，，满足，此时方程有两个解，符合题意.
18．已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.
（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.
（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.
答案：（1）当或时，；当时，；（2）存在，.
【解析】（1）由于已知在上是增函数，因而，解得.
又，因而或1或2.
当或时，，不是偶函数；当时，，符合题意.
（2）存在.理由如下：
由（1）知.
由于，因而当时，，此时，函数单调递减，而函数在上单调递减，则外层函数在上单调递增；当时，，此时，函数单调递增，而函数在上单调递减，则外层函数在上单调递减.所以，即.
所以存在满足题设条件.
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
eq \a\vs4\al(偶函数)
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在(0，＋∞) 上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
过定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
一般式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－eq \f(b,2a)，顶点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
顶点式
f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)
零点式
f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝eq \f(x1＋x2,2)
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
对称轴
x＝－eq \f(b,2a)
顶点坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数，
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－eq \f(b,2a)，＋∞))上是增函数
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数，
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－eq \f(b,2a)，＋∞))上是减函数