高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题26解三角形中的最值、范围、多元及多边形问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题26解三角形中的最值、范围、多元及多边形问题(原卷版+解析)，共53页。
正（余）弦定理的应用
求最值
求范围
多元问题
两元积
两元商
两元和
多边形问题
多三角形问题
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；（2）求的最小值．
2.(2023·全国甲（理）T16）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
(2023·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，
BD·sin∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cs∠ABC.
4．（2023·北京高考真题）已知在中，，．
（1）求的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①；②周长为；③面积为.
5.(2023·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=3,②csin A=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=3sin B,C=π6, ?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
6.(2023·北京高考·T17)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:
(1)a的值;
(2)sin C和△ABC的面积. 条件①:c=7,cs A=-17; 条件②:cs A=18,cs B=916.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
7．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；(2)若BC=3，求周长的最大值．
8．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB=______________．
9.(2023·浙江高考·T18)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsin A=3a.
(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)求cs A+cs B+cs C的取值范围.
10．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
11．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)在平面四边形中，，， ,．
(1)求; (2)若,求．
12．(2023高考数学新课标2理科)中内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
13．(2023高考数学新课标1理科)如图，在中，，，P为内一点，
(1)若，求；
(2)若，求．
14.(2023·浙江高考·T18)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsin A=3a.
(Ⅰ)求角B; (Ⅱ)求cs A+cs B+cs C的取值范围.
15．(2023江苏)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
16.(2023·北京高考文科)若△ABC的面积为 QUOTE 34 \* MERGEFORMAT 34(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B= ; QUOTE ?? \* MERGEFORMAT ca的取值范围是 .
17．(2023湖南）设的内角的对边分别为，，且为钝角．
（1）证明：；（2）求的取值范围．
18．(2023高考数学新课标1理科)在平面四边形中，，B，则的取值范围是 .
19．(2023重庆)已知的内角，，满足=
，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
20．(2023高考数学课标1理科)已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为__________．
21.(2023·山东高考理科·T16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=.
(1)证明:a+b=2c. (2)求csC的最小值.
22．(2023高考数学新课标2理科)中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，，求和的长．
讲典例 备高考
类型一、四边形中解三角形问题
基本题型：
1．（四边形中的求角问题）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cs∠DAC＝( )
A.eq \f(\r(10),10) B.eq \f(3\r(10),10) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)
2．（四边形中的求面积问题）为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（四边形中的求边问题）如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.若cs∠BAD＝－，sin∠CBA＝，则BC的长为（ ）
A．B．2C．3D．
4．（四边形中的求角问题）凸四边形中，已知，，，，，则__________.
5.（四边形中的综合性问题）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝eq \f(π,2)，点E是AD上一点，DE＝2AE＝4，
2BCcs∠BEC＝BEcs∠EBC＋CEcs∠ECB.
(1)求∠BEC的大小；
(2)若△BCE的面积S为8eq \r(3)，求BC.
类型二、多边形中解三角形问题
基本题型：
1．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）
A． B．C．D．
2.黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值．我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，满足黄金分割比值的分割称为黄金分割．女生穿高跟鞋、空调温度的设置、埃菲尔铁塔的设计、很多国家国旗上的五角星都和黄金分割息息相关，也正是因为这个比值才让人类的设计产生了一种自然和谐美．已知连接正五边形的所有对角线能够形成国旗上的五角星，如图点D是线段AB的黄金分割点，由此推断cs 144°＝( )
A.eq \f(1－\r(5),2) B．－eq \f(\r(5)＋1,4)
C.eq \f(1－\r(5),4) D.eq \f(－1－\r(5),8)
3、某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得，（单位：千米），测得、两点的距离为___________千米.
4．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值.
类型三、最值问题
基本题型：
1．（三角函数值的最值问题）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
2．在中，内角，，对应的边分别为，，，且，，边上的高为，则的最大值为________.
3、（三角形面积的最值）已知在△ABC中，三边a，b，c分别对应三个内角A，B，C，且eq \f(a,c＋b－a)＝eq \f(c－b＋a,b).
(1)求角C的大小；
(2)当△ABC外接圆半径R＝1时，求△ABC面积的最大值．
（三角形周长的最值）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A≠eq \f(π,2)，且
3acs B＋3bcs A＝ac．
(1)求a的值；
(2)若A＝eq \f(2π,3)，求△ABC周长的最大值．
类型四、范围问题
基本题型
1．（三角函数值的范围）在中，角、、所对的边分别是、、.已知，，且满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（参数的范围）在中，,是的平分线，且,则的取值范围是( )
A． B．C．D．
3．（三角形面积的范围）在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求角B；
（2）若△为锐角三角形，且，求△面积的取值范围．
基本方法：
(1)解决三角形中的某个量的最值问题，除了利用基本不等式外，再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解．
(2)利用三角函数求解最值问题的关键是求三角函数中角的范围，此时要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形，三角形内角和为π等．
类型五、多元问题
基本题型：
1．（两元和的求值问题）在锐角三角形中，，，分别为角、、所对的边，且，，且的面积为，的值为（ ）
A．4 B．6C．5D．3
2．（两元商的求值问题）的三个内角，，所对边的长分别为，，，，则等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
3．（两元积的求值问题）若的内角、、所对应的边、、满足,且,则的值为( )
A． B．C．D．
4．（三元商的求值问题）在中，分别是角的对边,若,且，则的值为( )
A．2B．C．D．4
5．（两元和的最值问题）已知的三个内角，，的对边分别为，，，若.
（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.
6．（两元和的范围问题）设锐角三角形的内角，，的对边分别为
（1）求B的大小；（2）求 的取值范围.
（三元和的范围问题）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知sin2C－sin2B＝sin2A－eq \r(3)sin Asin B.
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋cs B＋tan C的取值范围．
基本方法：
(1)解决三角形中的某个量的范围问题，除了利用基本不等式外，再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解．
(2)利用三角函数求解范围问题的关键是求三角函数中角的范围，此时要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形，三角形内角和为π等．
类型六、多三角形问题
基本题型：
1．如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（ ）
A． B．C．D．
2．在中，已知的平分线,则的面积（ ）
A． B．C．D．
3、如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______，点为边上一点，且，则的面积为______.
4．已知中，，是的中点，且，则______.
5.在中，已知点在边上，，，，．
（1）求的值；（2）求的长．
基本方法：
多三角形背景解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
类型七、结构不良问题
基本题型：
1、（四边形中的结构不良问题）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，______，，求.
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＋b＝1且满足条件________．
(1)求C；
(2)求c的取值范围．
请从下列两个条件：①S＝eq \f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)；
②eq \r(3)tan Atan B－tan A－tan B＝eq \r(3)中选一个条件补充到横线上并解决问题．
3、在①a=2,②S=C2 csB， ③C=π3这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.
问题:在∆A BC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c,面积为S，3bcsA=acsC+ccsA，b=1,____________，求c的值. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
新预测 破高考
1．若的内角、、所对应的边、、满足,且,则的值为( )
A．B．C．D．
2.某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形ABCD，AB＝2eq \r(3)，BC＝4(单位：百米)，CD＝AD，∠ADC＝60°，且拟在A，C两点间修建一条笔直的小路(路的宽度忽略不计)，则当草坪ABCD的面积最大时，AC＝( )
A．2eq \r(7) 百米 B．2eq \r(10) 百米
C．2eq \r(13) 百米 D．2eq \r(19) 百米
3.在△ABC中，CD为角C的平分线，若B＝2A,2AD＝3BD，则cs A等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D．0
4、（多选题），，分别为内角，，的对边.已知，且，则（ ）
A．B．
C．的周长为D．的面积为
5.△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A＝eq \f(2π,3)，AC＝2eq \r(3)，CD＝3eq \r(2)，则BC＝( )
A．3eq \r(3) B．4 C．4eq \r(2) D．6
6．的三个内角，，所对边的长分别为，，，，则等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
7、（多选题）在中，角，，所对的边分别为，，．若，角的角平分线交于点，，，以下结论正确的是
A．B．
C．D．的面积为
8．是边长为2的正三角形，D．E．F分别为AB，AC，BC上三点，且，，则当线段AD的长最小时，（ ）
A． B．C．D．
9．在中，，，的面积为，则中最大角的正切值是（ ）
A．或 B．C．D．或
10、在中，，为的平分线，，则___________．
11．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长______．
12．在中，，的角平分线交于点，若，，则______.
13．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cs2A﹣3cs（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
14．已知中，内角所对边分别为，若.
(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.
15、在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，请从以下三个条件任选一个作答．
①eq \f(a,cs A)，eq \f(b,cs A)，eq \f(c,cs C)成等差数列；②2a－b＝2ccs B；③ccs(B－A)＋ccs C＝2eq \r(3)bsin Acs C.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2eq \r(3)，△ABC的面积为eq \r(3)，求a＋b和sin A＋sin B的值．
16．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若，的面积为，为的中点，求的长.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①a2＋c2－b2＝eq \f(4\r(3),3)S△ABC；
②a＋acs B＝eq \r(3)bsin A；③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c－a))cs B＝bcs A这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
(1)求∠B的大小；
(2)若b＝2，求△ABC面积的取值范围．
18．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若，的面积为，为的中点，求的长.
2023高考一轮复习讲与练
专题26 解三角形中的最值、范围、多元及多边形问题
正（余）弦定理的应用
求最值
求范围
多元问题
两元积
两元商
两元和
多形问题
多三角形问题
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；（2）求的最小值．
答案：（1）； （2）．
分析：（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【小问1详解】
因为，即，而，所以；
【小问2详解】
由（1）知，，所以，而，
所以，即有．所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
2.(2023·全国甲（理）T16）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
答案：##
分析：设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】设，
则在中，，
在中，，
所以
，当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
(2023·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，
BD·sin∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cs∠ABC.
解：(1)证明：由BD·sin∠ABC＝asin C及正弦定理，得BD＝eq \f(asin C,sin∠ABC)＝eq \f(ac,b)＝eq \f(b2,b)＝b.
(2)由cs∠BDA＋cs∠BDC＝0及余弦定理，得eq \f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)b))2－c2,2·b·\f(2,3)b)＋eq \f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)b))2－a2,2·b·\f(1,3)b)＝0.
整理得eq \f(11,3)b2－2a2－c2＝0，即eq \f(11,3)ac－2a2－c2＝0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2－eq \f(11,3)·eq \f(c,a)＋2＝0，解得eq \f(c,a)＝3或eq \f(c,a)＝eq \f(2,3).
所以cs∠ABC＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋c2－ac,2ac)＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2－\f(c,a),2·\f(c,a)).
当eq \f(c,a)＝3时，cs∠ABC＝eq \f(1＋9－3,2×3)＝eq \f(7,6)(不合题意，舍去)；当eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)时，cs∠ABC＝eq \f(1＋\f(4,9)－\f(2,3),2×\f(2,3))＝eq \f(7,12).
所以cs∠ABC＝eq \f(7,12).
4．（2023·北京高考真题）已知在中，，．
（1）求的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①；②周长为；③面积为.
答案：（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
分析：（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1），则由正弦定理可得，，
，，，，解得；
（2）若选择①：由正弦定理及（1）得，与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，
，则周长，解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：；
若选择③：由（1）可得，即，则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.
5.(2023·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=3,②csin A=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=3sin B,C=π6, ?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【命题意图】本题考查正弦定理与余弦定理的应用,考查分析问题和解决问题的能力,体现了数学运算和逻辑推理的核心素养.
【解析】方案一:选条件①.由C=π6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.
于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由①ac=3,解得a=3,b=c=1.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.
方案二:选条件②.由C=π6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.
于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c,B=C=π6,A=2π3.由②csin A=3,所以c=b=23,a=6.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=23.
方案三:选条件③.由C=π6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.
于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由③c=3b与b=c矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.
6.(2023·北京高考·T17)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:
(1)a的值;
(2)sin C和△ABC的面积. 条件①:c=7,cs A=-17; 条件②:cs A=18,cs B=916.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
【命题意图】考查正弦定理、余弦定理,三角恒等变换等.
【解析】方案一:选①.(1)由已知及余弦定理,csA=b2+c2-a22bc,即-17=b2+49−a214b,又a+b=11,解得a=8;
(2)由(1)知,b=3,又sin2A+cs2A=1,0