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高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题35球的表面积与体积(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题35球的表面积与体积(原卷版+解析)，共34页。
球的表面积与体积
球的表面积积
球的体积积
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷T8） 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.(2023·新高考Ⅱ卷T7）正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
3．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知为球球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为( )
A．B．C．D．
4．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A．B．C．1D．
(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为( )
A． B． C． D．
6．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( )
A．B．C．D．
7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．B．C．D．
8．(2023高考数学新课标2理科)已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为( )
A．B．C．D．
9．(2023高考数学新课标1理科)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A．cm3B．cm3 QUOTE C．cm3D．cm3
10．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
讲典例 备高考
类型一、几何体内切球问题
基础知识：
1．球的体积：设球的半径为R，则球的体积V＝eq \f(4,3)πR3.
2．球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的eq \a\vs4\al(4)倍．
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝eq \f(a,2)，外接球半径R＝eq \f(\r(3),2)a.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝eq \f(\r(a2＋b2＋c2),2).
(3)设正四面体的棱长为a，则它的斜高为eq \f(\r(3),2)a，高为eq \f(\r(6),3)a，内切球半径r＝eq \f(\r(6),12)a，外接球半径R＝eq \f(\r(6),4)a.
(4)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．
3.内切球问题
(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等．
(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合．
(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合．
基本题型：
1．如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图①，需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后的三视图均为图②所示，且平面A1BC1截得小球的截面面积为eq \f(2π,3)，则该小球的体积为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(4π,3)
C.eq \f(32π,3) D.eq \f(8\r(2)π,3)
3．底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为( )
A.eq \r(3)＋1 B．3 C.eq \r(2)＋1 D．2
4、如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱的体积为，球的体积为，则 的值是 ．
5、已知正三棱锥的高为1，底面边长为，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则该球的表面积为
，其体积为 ．
6、如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．
基本方法：
1、简单多面体内切球问题
(1)利用内切球的定义直接找球心和半径的关系；
(2)利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)．
2、常见几何体内切球半径的求法：
①棱长为a的正方体内切球半径为eq \f(a,2).
②棱长为a的正四面体内切球的半径r＝eq \f(\r(6),12)a，即高的eq \f(1,4).
类型二、几何体外接球问题
基础知识：
由几何体外接球的定义可知，几何体的各顶点到球心的距离相等．常见的两种情况是：
(1)若四面体的两个面是公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点；
(2)直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上下底面三角形外心的连线的中点处．
基本题型：
1、已知三棱锥ABCD中，AB＝CD＝eq \r(5)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq \r(3)，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为( )
A.eq \f(3π,2) B．24π
C.eq \r(6)π D．6π
2.如图所示的粮仓可近似看作一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为eq \r(5)－1和3，则此组合体外接球的表面积是( )
A．16π B．20π
C．24π D．28π
3．已知圆锥的高为3，底面半径为eq \r(3)，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )
A.eq \f(8,3)π B.eq \f(32,3)π
C．16π D．32π
4．已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为eq \f(43π,3)，则该三棱柱的高为( )
A．eq \f(3,2) B．3
C．4 D．eq \f(5,2)
5．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为eq \r(3)，此时四面体ABCD外接球的表面积为( )
A.eq \f(7\r(7),6)π B.eq \f(19\r(19),6)π
C．7π D．19π
6．三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3eq \r(3).若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为________．
7、在四面体ABCD中，若AD＝DC＝AC＝CB＝1，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．
8、已知四棱锥PABCD的外接球O的体积为36π，PA＝3，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥MABCD体积的最大值为________．
基本方法：
补形法找球心常用的补形方法有：
1对于正四面体，通常把它补成正方体.若是相对棱长相等的四面体，则可考虑把它补成长方体.
2对于从一顶点出发的三条棱互相垂直的锥体，通常可考虑把它补成长方体或正方体.
3几何体的补形要围绕着已知条件来进行，通常策略是把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等.
4将有一棱与底面垂直的三棱锥或四棱锥补成长方体，此时棱锥与长方体具有相同的外接球，利用(2R)2＝a2＋b2＋c2(a，b，c分别为长方体的长、宽、高，R为棱锥外接球的半径)，可求得棱锥外接球的半径R.
5当三棱锥中有一条棱垂直于底面时，可以将棱锥补形成直棱柱，从而能更直观地找到外接球的球心，且外接球的半径也更易计算．
类型三、有关球的截面的性质
基础知识：
球的截面的性质
1、球的截面是圆面；
2、球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
3、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝eq \r(R2－d2).
4、解决有关球的问题的关键是确定球心的位置和球的半径，一般作出球的一个大圆来处理．
基本题型：
1．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4eq \r(3)的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是________．
3、已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的半径为______；若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______．
新预测 破高考
1．球面上有A, B, C, D四个点，若AB, AC, AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝4，则该球的表面积为( )
A.eq \f(80π,3) B．32π
C．42π D．48π
2．在三棱锥PABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝eq \r(3)，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A.eq \f(4π,3) B.eq \f(8\r(2)π,3)
C．8π D．12π
3．(多选)已知正方体ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论正确的是( )
A．该正方体外接球的直径为2eq \r(3)
B．该正方体内切球的表面积为4π
C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为eq \r(2)
D．该正方体外球接的体积为4eq \r(3)
4．底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为( )
A.eq \r(3)＋1 B．3
C.eq \r(2)＋1 D．2
5．如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为，则不正确的是（ ）
A．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为
B．
C．如果，则与重合．
D．如果，则圆柱的体积为．
6．已知在三棱锥PABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5 cm，AB＝4 cm，AC＝3 cm，点O为三棱锥PABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法不正确的是( )
A．三棱锥PABC的体积为10 cm3
B．直线BC与平面PAC所成角的正切值为eq \f(4,3)
C．球O的表面积为50π cm2
D．OD⊥PA
7．在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，三棱锥外接球的表面积为________.
8、在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以
为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
9. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为8 cm的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________cm2.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________．
10．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥DABC体积的最大值为________．
11．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．
12．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq \r(3)，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
13．已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
14、中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.
15．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的半径为____________.
16、一个多面体的顶点是四个半径为eq \r(3)且两两外切的球的球心，则该多面体内切球的半径为________；内切球的体积为________．
17．如图所示，半径为R的半圆内（其中）的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积为 ．其体积为 。
18、已知三棱锥，平面ABC，，，，直线SB和平面ABC所成的角大小为.若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.
19、如图，在三棱锥P-ABC中，，，则PA与平面ABC所成角的大小为________；三棱锥P-ABC外接球的表面积是________.
2023高考一轮复习讲与练
专题13 球的表面积与体积
球的表面积与体积
球的表面积积
球的体积积
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷T8） 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
分析：设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵ 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，
当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.
2.(2023·新高考Ⅱ卷T7）正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
分析：根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
3．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知为球球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，
由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，
，球的表面积．
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
4．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A．B．C．1D．
答案：C
解析：
设球的半径为，则，解得：．设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离．
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面．
(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为( )
A． B． C． D．
答案：D
解析：三棱锥为正三棱锥，取中点，连接，则，
，可得平面，从而，又，可得，
又，所以平面，从而，从而正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，可将该三棱锥还原成一个以为棱的正方体，正方体的体对角线即为球的直径，即，所以球的体积为．
6．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( )
A．B．C．D．
答案：B
解析：设的边长为，则，此时外接圆的半径为，故球心到面的距离为，故点到面的最大距离为，此时，故选B．
点评：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由为三角形的重心，计算得到，再由勾股定理得到，进而得到结果，属于较难题型．
7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．B．C．D．
答案： B
【解析】法一：如图，画出圆柱的轴截面
，所以，那么圆柱的体积是，故选B．
法二：设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高，而该圆柱的外接球的半径为
根据球与圆柱的对称性，可得即，故该圆柱的体积为，故选B．
【点评】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
8．(2023高考数学新课标2理科)已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为( )
A．B．C．D．
答案：C
解析：如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为．
9．(2023高考数学新课标1理科)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A．cm3B．cm3 QUOTE C．cm3D．cm3
答案：Ａ
解析：设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，∴球的体积为= eq \f(500π,3)，故选A．
10．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
答案：
解析：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为，
由于，故，设内切圆半径为，则：
，解得：，其体积：．
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
讲典例 备高考
类型一、几何体内切球问题
基础知识：
1．球的体积：设球的半径为R，则球的体积V＝eq \f(4,3)πR3.
2．球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的eq \a\vs4\al(4)倍．
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝eq \f(a,2)，外接球半径R＝eq \f(\r(3),2)a.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝eq \f(\r(a2＋b2＋c2),2).
(3)设正四面体的棱长为a，则它的斜高为eq \f(\r(3),2)a，高为eq \f(\r(6),3)a，内切球半径r＝eq \f(\r(6),12)a，外接球半径R＝eq \f(\r(6),4)a.
(4)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．
3.内切球问题
(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等．
(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合．
(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合．
基本题型：
1．如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由题意，设球的半径为，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为的圆内切与一个边长为4的等边三角形，此时正三角形的高线为，根据中心（重心）的性质可得，球的半径为，
所以球的体积为，即溢出溶液的体积为，故选D.
2．如图①，需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后的三视图均为图②所示，且平面A1BC1截得小球的截面面积为eq \f(2π,3)，则该小球的体积为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(4π,3)
C.eq \f(32π,3) D.eq \f(8\r(2)π,3)
答案：B
【解析】设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1截正方体，得边长为2eq \r(2)a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，则所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积．如图，设△A1BC1的内切圆的圆心为O，A1C1的中点为M，则由图得∠OA1M＝30°，A1M＝eq \r(2)a，△A1BC1的内切圆的半径OM＝eq \r(2)a×tan 30°＝eq \f(\r(6),3)a.则所求的截面圆的面积是π×eq \f(\r(6),3)a×eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(2π,3)a2＝eq \f(2π,3)，解得a＝1.于是小球的体积V球＝eq \f(4π,3)×13＝eq \f(4π,3).故选B.
3．底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为( )
A.eq \r(3)＋1 B．3 C.eq \r(2)＋1 D．2
答案：A
【解析】不妨设其棱长为2，外接球的半径为R，内切球的半径为r，如图．则BO＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)＝eq \r(2)，PO＝ eq \r(PB2－BO2)＝eq \r(2)，PM＝ eq \r(PC2－CM2)＝eq \r(3)，所以可知O即为该几何体外接球的球心，故R＝eq \r(2).因为VP-ABCD＝4×eq \f(1,3)×S△PCD×r＋eq \f(1,3)×S四边形ABCD×r＝eq \f(1,3)×S四边形ABCD×PO，又S四边形ABCD＝22＝4，S△PCD＝eq \f(1,2)·CD·PM＝eq \r(3)，所以内切球半径为r＝eq \f(\r(2),\r(3)＋1)，于是eq \f(R,r)＝eq \r(2)×eq \f(\r(3)＋1,\r(2))＝eq \r(3)＋1.
4、如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱的体积为，球的体积为，则 的值是 ．
答案：
【解析】设球的半径为，则．
5、已知正三棱锥的高为1，底面边长为，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则该球的表面积为
，其体积为 ．
答案：，．
【解析】如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．
是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，
∴，∴，可以得到，，由等体积法，，
∴，解得：，
∴，．
6、如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．
答案：
【解析】（1）因为，所以该六面体的表面积为.
（2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，每个三角形面积是，六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是.由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为，所以，所以球的体积.
基本方法：
1、简单多面体内切球问题
(1)利用内切球的定义直接找球心和半径的关系；
(2)利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)．
2、常见几何体内切球半径的求法：
①棱长为a的正方体内切球半径为eq \f(a,2).
②棱长为a的正四面体内切球的半径r＝eq \f(\r(6),12)a，即高的eq \f(1,4).
类型二、几何体外接球问题
基础知识：
由几何体外接球的定义可知，几何体的各顶点到球心的距离相等．常见的两种情况是：
(1)若四面体的两个面是公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点；
(2)直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上下底面三角形外心的连线的中点处．
基本题型：
1、已知三棱锥ABCD中，AB＝CD＝eq \r(5)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq \r(3)，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为( )
A.eq \f(3π,2) B．24π
C.eq \r(6)π D．6π
答案：C
【解析】将三棱锥ABCD补为长方体AEBFGDHC，如图所示．
设DG＝x，DH＝y，DE＝z，则AD2＝x2＋z2＝3，DB2＝y2＋z2＝4，DC2＝x2＋y2＝5，上述三个等式相加得AD2＋BD2＋CD2＝2(x2＋y2＋z2)＝3＋4＋5＝12，所以该长方体的体对角线长为eq \r(x2＋y2＋z2)＝eq \r(6)，
则其外接球的半径为R＝eq \f(\r(6),2)，因此此球的体积为eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))3＝eq \r(6)π，故选C.
2.如图所示的粮仓可近似看作一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为eq \r(5)－1和3，则此组合体外接球的表面积是( )
A．16π B．20π
C．24π D．28π
答案：B
【解析】设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为O1，则OOeq \\al(2,1)＋12＝R2，
而OO1＝eq \r(5)－1＋3－R，故R2＝1＋(eq \r(5)＋2－R)2，解得R＝eq \r(5)，此组合体外接球的表面积S＝4πR2＝20π.
3．已知圆锥的高为3，底面半径为eq \r(3)，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )
A.eq \f(8,3)π B.eq \f(32,3)π
C．16π D．32π
答案：B
【解析】设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋(eq \r(3))2，解得R＝2，
所以所求球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32,3)π.
4．已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为eq \f(43π,3)，则该三棱柱的高为( )
A．eq \f(3,2) B．3
C．4 D．eq \f(5,2)
答案：B
【解析】由题意易知该三棱柱是底面边长为2的正三棱柱．设C，B分别为三棱柱上、下底面的中心，连接BC，则三棱柱外接球的球心为BC的中点O，如图．
设三棱柱外接球的半径为R.∵三棱柱的外接球的表面积为eq \f(43π,3)，∴4πR2＝eq \f(43π,3)，∴R＝eq \r(\f(43,12)).
又R＝OA＝eq \r(OB2＋AB2)＝ eq \r(OB2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq \r(\f(43,12))，
∴OB＝eq \f(3,2)，∴该三棱柱的高为BC＝2OB＝3.
5．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为eq \r(3)，此时四面体ABCD外接球的表面积为( )
A.eq \f(7\r(7),6)π B.eq \f(19\r(19),6)π
C．7π D．19π
答案：C
【解析】根据题意可知三棱锥BACD的三条侧棱BD⊥AD，DC⊥AD，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径．∵BD＝CD＝1，BC＝eq \r(3)，∴∠BDC＝120°，∴△BDC的外接圆的半径为eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),sin 120°)＝1.由题意可得，球心到底面的距离为eq \f(\r(3),2).∴球的半径为r＝eq \r(\f(3,4)＋1)＝eq \f(\r(7),2).∴外接球的表面积为S＝4πr2＝4π×eq \f(7,4)＝7π.
6．三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3eq \r(3).若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为________．
答案：4π
【解析】如图，∵三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，∴设A1C1＝a，BB1＝h，
∴三棱柱的侧面积为3a·h＝3eq \r(3)，∴ah＝eq \r(3).
又球O的半径R＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(3))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2)))2)≥eq \r(2·\f(a,\r(3))·\f(h,2))＝1，
当且仅当eq \f(a,\r(3))＝eq \f(h,2)，且ah＝eq \r(3)，即a＝eq \f(\r(6),2)，h＝eq \r(2)时，等号成立．∴球O的表面积S＝4πR2≥4π.
7、在四面体ABCD中，若AD＝DC＝AC＝CB＝1，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．
答案：eq \f(7π,3).
【解析】因为AD＝DC＝AC＝1，所以底面ACD的面积为定值，
因此当CB⊥平面ACD时，四面体ABCD的体积最大．
此时，将四面体ABCD补形成直三棱柱ACDEBF，如图所示，可得直三棱柱ACDEBF与四面体ABCD的外接球相同．设△ACD外接圆圆心为O1，△EBF外接圆圆心为O2，
连接O1O2，则四面体ABCD的外接球的球心O为O1O2的中点，
易得OO1＝eq \f(1,2)，连接CO1，则CO1＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(2,3)＝eq \f(\r(3),3).
因此外接球的半径R满足R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＝eq \f(7,12).
所以外接球的表面积S＝4πR2＝eq \f(7π,3).
8、已知四棱锥PABCD的外接球O的体积为36π，PA＝3，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥MABCD体积的最大值为________．
答案：.eq \f(81,4).
【解析】将四棱锥PABCD补成长方体，如图所示．
可知四棱锥PABCD的外接球的直径为长方体的体对角线．
设四棱锥PABCD的外接球的半径为R，依题意有eq \f(4,3)πR3＝36π，解得R＝3.
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则c＝3.
由于a2＋b2＋c2＝62，所以a2＋b2＝27，又a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b＝eq \f(3\r(6),2)时等号成立，
所以底面ABCD面积的最大值为(ab)max＝eq \f(27,2).此时，要使得四棱锥MABCD的体积最大，
只需点M到底面ABCD的距离h最大．连接AC，BD，交于点O′，连接OO′，
因为OO′＝ eq \r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a2＋b2),2)))2)＝ eq \r(9－\f(27,4))＝eq \f(3,2)，所以hmax＝OO′＋R＝eq \f(3,2)＋3＝eq \f(9,2)，
故四棱锥MABCD体积的最大值为VMABCD＝eq \f(1,3)×eq \f(27,2)×eq \f(9,2)＝eq \f(81,4).
基本方法：
补形法找球心常用的补形方法有：
1对于正四面体，通常把它补成正方体.若是相对棱长相等的四面体，则可考虑把它补成长方体.
2对于从一顶点出发的三条棱互相垂直的锥体，通常可考虑把它补成长方体或正方体.
3几何体的补形要围绕着已知条件来进行，通常策略是把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等.
4将有一棱与底面垂直的三棱锥或四棱锥补成长方体，此时棱锥与长方体具有相同的外接球，利用(2R)2＝a2＋b2＋c2(a，b，c分别为长方体的长、宽、高，R为棱锥外接球的半径)，可求得棱锥外接球的半径R.
5当三棱锥中有一条棱垂直于底面时，可以将棱锥补形成直棱柱，从而能更直观地找到外接球的球心，且外接球的半径也更易计算．
类型三、有关球的截面的性质
基础知识：
球的截面的性质
1、球的截面是圆面；
2、球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
3、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝eq \r(R2－d2).
4、解决有关球的问题的关键是确定球心的位置和球的半径，一般作出球的一个大圆来处理．
基本题型：
1．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得，设截面圆的半径为r，球的半径为R，因为截面圆的面积为，可得，解得，又由，所以，所以球的表面积为.故选：A.
某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4eq \r(3)的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是________．
答案：4
解析：设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2eq \r(3)，由截面圆的周长可得4π＝2πr，得r＝2，由题意，知R2＝r2＋(2eq \r(3))2＝22＋(2eq \r(3))2＝16，得R＝4.
3、已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的半径为______；若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______．
答案：
【解析】
如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，所以底面外接圆的半径，
过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，连接，设外接球的半径为，所以，解得．若是的中点，，重合，过点作球的截面， 则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，而三角形的外接圆半径是斜边的一半，即2，所以截面面积为．
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1．球面上有A, B, C, D四个点，若AB, AC, AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝4，则该球的表面积为( )
A.eq \f(80π,3) B．32π
C．42π D．48π
答案：D
【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R，由题意可得：
(2R)2＝42＋42＋42，据此可得R2＝12，外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×12＝48π.
2．在三棱锥PABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝eq \r(3)，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A.eq \f(4π,3) B.eq \f(8\r(2)π,3)
C．8π D．12π
答案： C
【解析】易知△ABC是等边三角形．如图，作OM⊥平面ABC，其中M为△ABC的中心，
且点O满足OM＝eq \f(1,2)PA＝1，则点O为三棱锥PABC外接球的球心．于是，
该外接球的半径R＝OA＝eq \r(AM2＋OM2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)×\r(3)×\f(2,3)))2＋12)＝eq \r(2).
故该球的表面积S＝4πR2＝8π.
3．(多选)已知正方体ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论正确的是( )
A．该正方体外接球的直径为2eq \r(3)
B．该正方体内切球的表面积为4π
C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为eq \r(2)
D．该正方体外球接的体积为4eq \r(3)
答案：ABC
【解析】若正方体的棱长为2，则：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，即2R1＝eq \r(22＋22＋22)＝2eq \r(3)，故A正确；外接球体积为eq \f(4,3)πReq \\al(3,1)＝4eq \r(3)π，故D错误；②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故R2＝1，球的表面积为4πReq \\al(2,2)＝4π，故B正确；③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，即2R3＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，球的半径为R3＝eq \r(2)，故C正确．
4．底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为( )
A.eq \r(3)＋1 B．3
C.eq \r(2)＋1 D．2
答案：A
【解析】不妨设其棱长为2，外接球的半径为R，内切球的半径为r，如图．
则BO＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)＝eq \r(2)，PO＝ eq \r(PB2－BO2)＝eq \r(2)，PM＝ eq \r(PC2－CM2)＝eq \r(3)，
所以可知O即为该几何体外接球的球心，故R＝eq \r(2).
因为VPABCD＝4×eq \f(1,3)×S△PCD×r＋eq \f(1,3)×S四边形ABCD×r＝eq \f(1,3)×S四边形ABCD×PO，
又S四边形ABCD＝22＝4，S△PCD＝eq \f(1,2)·CD·PM＝eq \r(3)，
所以内切球半径为r＝eq \f(\r(2),\r(3)＋1)，于是eq \f(R,r)＝eq \r(2)×eq \f(\r(3)＋1,\r(2))＝eq \r(3)＋1，故选A.
5．如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为，则不正确的是（ ）
A．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为
B．
C．如果，则与重合．
D．如果，则圆柱的体积为．
答案：C
分析：本题考查圆锥，圆柱，球的结构特征，圆锥和圆柱的体积公式，属于较难题目．
分析出球心O为线段的中点可分析A选项，得出过P，，做几何体的截面，从而可分析B选项，再根据圆锥，圆柱的体积公式分析C，D选项．
【解析】解：如图几何体的外接球心为O，它的半径为1，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心为，过做几何体的截面为五边形ABCPD，其中四边形ABCD为矩形，三角形CPD为等腰三角形，PC=PD.
O矩形的中心，为线段的中点，所以C错误；如果圆锥的体积为圆柱体积的，
则圆锥的体积为.所以A正确．
设圆锥的高为，圆柱的高为2h=，圆柱的上下底面的半径为r，由题意，所以B正确；如果，得则圆柱的体积为，所以D正确．
6．已知在三棱锥PABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5 cm，AB＝4 cm，AC＝3 cm，点O为三棱锥PABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法不正确的是( )
A．三棱锥PABC的体积为10 cm3
B．直线BC与平面PAC所成角的正切值为eq \f(4,3)
C．球O的表面积为50π cm2
D．OD⊥PA
答案：D
【解析】因为AP，AB，AC两两互相垂直，以AP，AB，AC为棱补成一个长方体，如图，由长方体性质知：VPABC＝eq \f(1,6)AB·AC·AP＝10 cm3，A正确；BC与平面PAC所成角为∠BCA，tan∠CBA＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(4,3)，B正确；长方体的体对角线是其外接球也是三棱锥PABC外接球的直径，长度为eq \r(32＋42＋52)＝5eq \r(2)，则球的表面积为S＝4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(2),2)))2＝50π(cm2)，C正确；由外接球性质，OD⊥平面ABC，而PA⊥平面ABC，所以OD∥PA，D错误．
7．在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，三棱锥外接球的表面积为________.
答案：
【解析】在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，故，，，故棱锥外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，设长方体的长宽高分别为，，，则，，，即，即长方体的外接球半径满足：
，故三棱锥外接球的表面积为.
8、在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以
为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
答案：
【解析】如图，在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接PF，CF，OP.由，得，
是以为斜边的等腰角三角形，,
又平面平面，平面，，，则为棱锥的外接球球心，外接球半径，该三棱锥外接球的表面积为。
【名师点睛】本题主要考查四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径.求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直，则用（为三条棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
9. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为8 cm的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________cm2.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________．
答案：64(eq \r(3)＋1) eq \f(\r(3)－1,2)
【解析】如图，正四棱锥P-ABCD的表面积SP-ABCD＝4S△PAB＋S正方形ABCD＝4×eq \f(\r(3),4)×8×8＋8×8＝64(eq \r(3)＋1)(cm2)．设该正四棱锥的高为h，体积为V，内切球半径为r，则由r＝eq \f(3V,SPABCD)，h＝eq \f(3V,S正方形ABCD)，得eq \f(r,h)＝eq \f(S正方形ABCD,SPABCD)＝eq \f(8×8,64\r(3)＋1)＝eq \f(\r(3)－1,2).
10．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥DABC体积的最大值为________．
答案：18eq \r(3)
【解析】由等边△ABC的面积为9eq \r(3)，可得eq \f(\r(3),4)AB2＝9eq \r(3)，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝eq \f(\r(3),3)AB＝2eq \r(3).设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝eq \r(R2－r2)＝eq \r(16－12)＝2.所以三棱锥DABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥DABC体积的最大值为eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3).
11．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．
答案：(2－eq \r(2))a
【解析】由题意知，当球与四棱锥各面均相切，即内切于四棱锥时球的半径最大．作出其侧视图，如图所示．易知球的半径r＝(2－eq \r(2))a.
12．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq \r(3)，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
答案：eq \r(2)－1
【解析】如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，
连接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB＝2eq \r(3)，∴S△ABC＝3eq \r(3)，DE＝1，PE＝eq \r(2).∴S表＝3×eq \f(1,2)×2eq \r(3)×eq \r(2)＋3eq \r(3)＝3eq \r(6)＋3eq \r(3).∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×3eq \r(3)×1＝eq \r(3).设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r＝eq \f(3\r(3),3\r(6)＋3\r(3))＝eq \r(2)－1.
13．已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
答案：36π
【解析】如图，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，
∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，
∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，
设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R.
∴VS ABC＝VASBC＝eq \f(1,3)×S△SBC×AO＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×SC×OB))×AO，
即9＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2R×R))×R，解得 R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
14、中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.
答案：
【解析】四边形是正方形，，即，且，，所以，的外接圆半径为，设鳖臑的外接球的半径，则，解得.平面，，可得，.
正方形的外接圆直径为，，平面，所以，阳马的外接球半径，因此，阳马的外接球的表面积为.
15．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的半径为____________.
答案：
【解析】因为，所以为等边三角形，所以，等边外接圆的半径为，如图，三棱锥外接球球心为，半径为，设球心到平面的距离为，外接圆圆心为，连接，则平面，取中点，所以，又平面，所以，则四边形是矩形，所以在和中，
由勾股定理可得，解得：.
16、一个多面体的顶点是四个半径为eq \r(3)且两两外切的球的球心，则该多面体内切球的半径为________；内切球的体积为________．
[答案] eq \f(\r(2),2) eq \f(\r(2)π,3)
[解析] 设这四个球心分别为A，B，C，D，由球的几何性质可知，四个半径为eq \r(3)且两两外切的球的球心A，B，C，D可构成边长为2eq \r(3)的正四面体ABCD，设顶点A在底面BCD的射影为点P，如图所示，则P为等边三角形BCD的中心，由正弦定理可得BP＝eq \f(2\r(3),2sin\f(π,3))＝2，∴AP＝eq \r(AB2－BP2)＝2eq \r(2)，S△BCD＝eq \f(1,2)×(2eq \r(3))2×sineq \f(π,3)＝3eq \r(3)，VA-BCD＝eq \f(1,3)S△BCD·AP，设正四面体ABCD 的内切球球心为O，该内切球的半径为r，则VA-BCD＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝4VO-BCD＝4×eq \f(1,3)S△BCD×r＝eq \f(1,3)S△BCD·AP，∴r＝eq \f(1,4)AP＝eq \f(\r(2),2)，∴正四面体ABCD的内切球的体积为V＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(\r(2),3)π.
17．如图所示，半径为R的半圆内（其中）的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积为 ．其体积为 。
答案：
【解析】如图所示，过C作于，在半圆中可得，又，，∴，，，∴，，∴，
∴旋转所得到的几何体的表面积为.又，，，∴.
18、已知三棱锥，平面ABC，，，，直线SB和平面ABC所成的角大小为.若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.
答案：
【解析】如图：
平面，则为直线SB和平面所成的角，即，在中：，如图，设为三棱锥外接球的球心，G为外接圆圆心，
连结，则必有面，在，，则
其外接圆半径，又，所以三棱锥外接球半径为该球的表面积为,
19、如图，在三棱锥P-ABC中，，，则PA与平面ABC所成角的大小为________；三棱锥P-ABC外接球的表面积是________.
答案：
【解析】如图，作平行四边形，连接，由，则平行四边形是矩形．
由，，，∴平面，而平面，∴，同理可得，又，∴平面．，是PA与平面ABC所成角．由得，又，∴．
∴PA与平面ABC所成角是．由知的中点到的距离相等，是三棱锥P-ABC外接球的直径．由平面得，，
．
球的表面积与体积
球的表面积积
球的体积积
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷T8） 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.(2023·新高考Ⅱ卷T7）正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
3．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知为球球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为( )
A．B．C．D．
4．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A．B．C．1D．
(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为( )
A． B． C． D．
6．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( )
A．B．C．D．
7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．B．C．D．
8．(2023高考数学新课标2理科)已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为( )
A．B．C．D．
9．(2023高考数学新课标1理科)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A．cm3B．cm3 QUOTE C．cm3D．cm3
10．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
讲典例 备高考
类型一、几何体内切球问题
基础知识：
1．球的体积：设球的半径为R，则球的体积V＝eq \f(4,3)πR3.
2．球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的eq \a\vs4\al(4)倍．
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝eq \f(a,2)，外接球半径R＝eq \f(\r(3),2)a.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝eq \f(\r(a2＋b2＋c2),2).
(3)设正四面体的棱长为a，则它的斜高为eq \f(\r(3),2)a，高为eq \f(\r(6),3)a，内切球半径r＝eq \f(\r(6),12)a，外接球半径R＝eq \f(\r(6),4)a.
(4)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．
3.内切球问题
(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等．
(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合．
(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合．
基本题型：
1．如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图①，需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后的三视图均为图②所示，且平面A1BC1截得小球的截面面积为eq \f(2π,3)，则该小球的体积为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(4π,3)
C.eq \f(32π,3) D.eq \f(8\r(2)π,3)
3．底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为( )
A.eq \r(3)＋1 B．3 C.eq \r(2)＋1 D．2
4、如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱的体积为，球的体积为，则 的值是 ．
5、已知正三棱锥的高为1，底面边长为，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则该球的表面积为
，其体积为 ．
6、如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．
基本方法：
1、简单多面体内切球问题
(1)利用内切球的定义直接找球心和半径的关系；
(2)利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)．
2、常见几何体内切球半径的求法：
①棱长为a的正方体内切球半径为eq \f(a,2).
②棱长为a的正四面体内切球的半径r＝eq \f(\r(6),12)a，即高的eq \f(1,4).
类型二、几何体外接球问题
基础知识：
由几何体外接球的定义可知，几何体的各顶点到球心的距离相等．常见的两种情况是：
(1)若四面体的两个面是公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点；
(2)直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上下底面三角形外心的连线的中点处．
基本题型：
1、已知三棱锥ABCD中，AB＝CD＝eq \r(5)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq \r(3)，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为( )
A.eq \f(3π,2) B．24π
C.eq \r(6)π D．6π
2.如图所示的粮仓可近似看作一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为eq \r(5)－1和3，则此组合体外接球的表面积是( )
A．16π B．20π
C．24π D．28π
3．已知圆锥的高为3，底面半径为eq \r(3)，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )
A.eq \f(8,3)π B.eq \f(32,3)π
C．16π D．32π
4．已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为eq \f(43π,3)，则该三棱柱的高为( )
A．eq \f(3,2) B．3
C．4 D．eq \f(5,2)
5．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为eq \r(3)，此时四面体ABCD外接球的表面积为( )
A.eq \f(7\r(7),6)π B.eq \f(19\r(19),6)π
C．7π D．19π
6．三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3eq \r(3).若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为________．
7、在四面体ABCD中，若AD＝DC＝AC＝CB＝1，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．
8、已知四棱锥PABCD的外接球O的体积为36π，PA＝3，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥MABCD体积的最大值为________．
基本方法：
补形法找球心常用的补形方法有：
1对于正四面体，通常把它补成正方体.若是相对棱长相等的四面体，则可考虑把它补成长方体.
2对于从一顶点出发的三条棱互相垂直的锥体，通常可考虑把它补成长方体或正方体.
3几何体的补形要围绕着已知条件来进行，通常策略是把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等.
4将有一棱与底面垂直的三棱锥或四棱锥补成长方体，此时棱锥与长方体具有相同的外接球，利用(2R)2＝a2＋b2＋c2(a，b，c分别为长方体的长、宽、高，R为棱锥外接球的半径)，可求得棱锥外接球的半径R.
5当三棱锥中有一条棱垂直于底面时，可以将棱锥补形成直棱柱，从而能更直观地找到外接球的球心，且外接球的半径也更易计算．
类型三、有关球的截面的性质
基础知识：
球的截面的性质
1、球的截面是圆面；
2、球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
3、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝eq \r(R2－d2).
4、解决有关球的问题的关键是确定球心的位置和球的半径，一般作出球的一个大圆来处理．
基本题型：
1．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4eq \r(3)的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是________．
3、已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的半径为______；若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______．
新预测 破高考
1．球面上有A, B, C, D四个点，若AB, AC, AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝4，则该球的表面积为( )
A.eq \f(80π,3) B．32π
C．42π D．48π
2．在三棱锥PABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝eq \r(3)，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A.eq \f(4π,3) B.eq \f(8\r(2)π,3)
C．8π D．12π
3．(多选)已知正方体ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论正确的是( )
A．该正方体外接球的直径为2eq \r(3)
B．该正方体内切球的表面积为4π
C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为eq \r(2)
D．该正方体外球接的体积为4eq \r(3)
4．底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为( )
A.eq \r(3)＋1 B．3
C.eq \r(2)＋1 D．2
5．如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为，则不正确的是（ ）
A．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为
B．
C．如果，则与重合．
D．如果，则圆柱的体积为．
6．已知在三棱锥PABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5 cm，AB＝4 cm，AC＝3 cm，点O为三棱锥PABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法不正确的是( )
A．三棱锥PABC的体积为10 cm3
B．直线BC与平面PAC所成角的正切值为eq \f(4,3)
C．球O的表面积为50π cm2
D．OD⊥PA
7．在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，三棱锥外接球的表面积为________.
8、在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以
为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
9. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为8 cm的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________cm2.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________．
10．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥DABC体积的最大值为________．
11．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．
12．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq \r(3)，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
13．已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
14、中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.
15．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的半径为____________.
16、一个多面体的顶点是四个半径为eq \r(3)且两两外切的球的球心，则该多面体内切球的半径为________；内切球的体积为________．
17．如图所示，半径为R的半圆内（其中）的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积为 ．其体积为 。
18、已知三棱锥，平面ABC，，，，直线SB和平面ABC所成的角大小为.若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.
19、如图，在三棱锥P-ABC中，，，则PA与平面ABC所成角的大小为________；三棱锥P-ABC外接球的表面积是________.
2023高考一轮复习讲与练
专题13 球的表面积与体积
球的表面积与体积
球的表面积积
球的体积积
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷T8） 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
分析：设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵ 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，
当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.
2.(2023·新高考Ⅱ卷T7）正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
分析：根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
3．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知为球球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，
由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，
，球的表面积．
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
4．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A．B．C．1D．
答案：C
解析：
设球的半径为，则，解得：．设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离．
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面．
(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为( )
A． B． C． D．
答案：D
解析：三棱锥为正三棱锥，取中点，连接，则，
，可得平面，从而，又，可得，
又，所以平面，从而，从而正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，可将该三棱锥还原成一个以为棱的正方体，正方体的体对角线即为球的直径，即，所以球的体积为．
6．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( )
A．B．C．D．
答案：B
解析：设的边长为，则，此时外接圆的半径为，故球心到面的距离为，故点到面的最大距离为，此时，故选B．
点评：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由为三角形的重心，计算得到，再由勾股定理得到，进而得到结果，属于较难题型．
7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．B．C．D．
答案： B
【解析】法一：如图，画出圆柱的轴截面
，所以，那么圆柱的体积是，故选B．
法二：设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高，而该圆柱的外接球的半径为
根据球与圆柱的对称性，可得即，故该圆柱的体积为，故选B．
【点评】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
8．(2023高考数学新课标2理科)已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为( )
A．B．C．D．
答案：C
解析：如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为．
9．(2023高考数学新课标1理科)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A．cm3B．cm3 QUOTE C．cm3D．cm3
答案：Ａ
解析：设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，∴球的体积为= eq \f(500π,3)，故选A．
10．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
答案：
解析：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为，
由于，故，设内切圆半径为，则：
，解得：，其体积：．
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
讲典例 备高考
类型一、几何体内切球问题
基础知识：
1．球的体积：设球的半径为R，则球的体积V＝eq \f(4,3)πR3.
2．球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的eq \a\vs4\al(4)倍．
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝eq \f(a,2)，外接球半径R＝eq \f(\r(3),2)a.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝eq \f(\r(a2＋b2＋c2),2).
(3)设正四面体的棱长为a，则它的斜高为eq \f(\r(3),2)a，高为eq \f(\r(6),3)a，内切球半径r＝eq \f(\r(6),12)a，外接球半径R＝eq \f(\r(6),4)a.
(4)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．
3.内切球问题
(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等．
(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合．
(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合．
基本题型：
1．如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由题意，设球的半径为，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为的圆内切与一个边长为4的等边三角形，此时正三角形的高线为，根据中心（重心）的性质可得，球的半径为，
所以球的体积为，即溢出溶液的体积为，故选D.
2．如图①，需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后的三视图均为图②所示，且平面A1BC1截得小球的截面面积为eq \f(2π,3)，则该小球的体积为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(4π,3)
C.eq \f(32π,3) D.eq \f(8\r(2)π,3)
答案：B
【解析】设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1截正方体，得边长为2eq \r(2)a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，则所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积．如图，设△A1BC1的内切圆的圆心为O，A1C1的中点为M，则由图得∠OA1M＝30°，A1M＝eq \r(2)a，△A1BC1的内切圆的半径OM＝eq \r(2)a×tan 30°＝eq \f(\r(6),3)a.则所求的截面圆的面积是π×eq \f(\r(6),3)a×eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(2π,3)a2＝eq \f(2π,3)，解得a＝1.于是小球的体积V球＝eq \f(4π,3)×13＝eq \f(4π,3).故选B.
3．底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为( )
A.eq \r(3)＋1 B．3 C.eq \r(2)＋1 D．2
答案：A
【解析】不妨设其棱长为2，外接球的半径为R，内切球的半径为r，如图．则BO＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)＝eq \r(2)，PO＝ eq \r(PB2－BO2)＝eq \r(2)，PM＝ eq \r(PC2－CM2)＝eq \r(3)，所以可知O即为该几何体外接球的球心，故R＝eq \r(2).因为VP-ABCD＝4×eq \f(1,3)×S△PCD×r＋eq \f(1,3)×S四边形ABCD×r＝eq \f(1,3)×S四边形ABCD×PO，又S四边形ABCD＝22＝4，S△PCD＝eq \f(1,2)·CD·PM＝eq \r(3)，所以内切球半径为r＝eq \f(\r(2),\r(3)＋1)，于是eq \f(R,r)＝eq \r(2)×eq \f(\r(3)＋1,\r(2))＝eq \r(3)＋1.
4、如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱的体积为，球的体积为，则 的值是 ．
答案：
【解析】设球的半径为，则．
5、已知正三棱锥的高为1，底面边长为，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则该球的表面积为
，其体积为 ．
答案：，．
【解析】如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．
是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，
∴，∴，可以得到，，由等体积法，，
∴，解得：，
∴，．
6、如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．
答案：
【解析】（1）因为，所以该六面体的表面积为.
（2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，每个三角形面积是，六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是.由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为，所以，所以球的体积.
基本方法：
1、简单多面体内切球问题
(1)利用内切球的定义直接找球心和半径的关系；
(2)利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)．
2、常见几何体内切球半径的求法：
①棱长为a的正方体内切球半径为eq \f(a,2).
②棱长为a的正四面体内切球的半径r＝eq \f(\r(6),12)a，即高的eq \f(1,4).
类型二、几何体外接球问题
基础知识：
由几何体外接球的定义可知，几何体的各顶点到球心的距离相等．常见的两种情况是：
(1)若四面体的两个面是公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点；
(2)直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上下底面三角形外心的连线的中点处．
基本题型：
1、已知三棱锥ABCD中，AB＝CD＝eq \r(5)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq \r(3)，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为( )
A.eq \f(3π,2) B．24π
C.eq \r(6)π D．6π
答案：C
【解析】将三棱锥ABCD补为长方体AEBFGDHC，如图所示．
设DG＝x，DH＝y，DE＝z，则AD2＝x2＋z2＝3，DB2＝y2＋z2＝4，DC2＝x2＋y2＝5，上述三个等式相加得AD2＋BD2＋CD2＝2(x2＋y2＋z2)＝3＋4＋5＝12，所以该长方体的体对角线长为eq \r(x2＋y2＋z2)＝eq \r(6)，
则其外接球的半径为R＝eq \f(\r(6),2)，因此此球的体积为eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))3＝eq \r(6)π，故选C.
2.如图所示的粮仓可近似看作一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为eq \r(5)－1和3，则此组合体外接球的表面积是( )
A．16π B．20π
C．24π D．28π
答案：B
【解析】设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为O1，则OOeq \\al(2,1)＋12＝R2，
而OO1＝eq \r(5)－1＋3－R，故R2＝1＋(eq \r(5)＋2－R)2，解得R＝eq \r(5)，此组合体外接球的表面积S＝4πR2＝20π.
3．已知圆锥的高为3，底面半径为eq \r(3)，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )
A.eq \f(8,3)π B.eq \f(32,3)π
C．16π D．32π
答案：B
【解析】设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋(eq \r(3))2，解得R＝2，
所以所求球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32,3)π.
4．已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为eq \f(43π,3)，则该三棱柱的高为( )
A．eq \f(3,2) B．3
C．4 D．eq \f(5,2)
答案：B
【解析】由题意易知该三棱柱是底面边长为2的正三棱柱．设C，B分别为三棱柱上、下底面的中心，连接BC，则三棱柱外接球的球心为BC的中点O，如图．
设三棱柱外接球的半径为R.∵三棱柱的外接球的表面积为eq \f(43π,3)，∴4πR2＝eq \f(43π,3)，∴R＝eq \r(\f(43,12)).
又R＝OA＝eq \r(OB2＋AB2)＝ eq \r(OB2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq \r(\f(43,12))，
∴OB＝eq \f(3,2)，∴该三棱柱的高为BC＝2OB＝3.
5．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为eq \r(3)，此时四面体ABCD外接球的表面积为( )
A.eq \f(7\r(7),6)π B.eq \f(19\r(19),6)π
C．7π D．19π
答案：C
【解析】根据题意可知三棱锥BACD的三条侧棱BD⊥AD，DC⊥AD，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径．∵BD＝CD＝1，BC＝eq \r(3)，∴∠BDC＝120°，∴△BDC的外接圆的半径为eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),sin 120°)＝1.由题意可得，球心到底面的距离为eq \f(\r(3),2).∴球的半径为r＝eq \r(\f(3,4)＋1)＝eq \f(\r(7),2).∴外接球的表面积为S＝4πr2＝4π×eq \f(7,4)＝7π.
6．三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3eq \r(3).若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为________．
答案：4π
【解析】如图，∵三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，∴设A1C1＝a，BB1＝h，
∴三棱柱的侧面积为3a·h＝3eq \r(3)，∴ah＝eq \r(3).
又球O的半径R＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(3))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2)))2)≥eq \r(2·\f(a,\r(3))·\f(h,2))＝1，
当且仅当eq \f(a,\r(3))＝eq \f(h,2)，且ah＝eq \r(3)，即a＝eq \f(\r(6),2)，h＝eq \r(2)时，等号成立．∴球O的表面积S＝4πR2≥4π.
7、在四面体ABCD中，若AD＝DC＝AC＝CB＝1，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．
答案：eq \f(7π,3).
【解析】因为AD＝DC＝AC＝1，所以底面ACD的面积为定值，
因此当CB⊥平面ACD时，四面体ABCD的体积最大．
此时，将四面体ABCD补形成直三棱柱ACDEBF，如图所示，可得直三棱柱ACDEBF与四面体ABCD的外接球相同．设△ACD外接圆圆心为O1，△EBF外接圆圆心为O2，
连接O1O2，则四面体ABCD的外接球的球心O为O1O2的中点，
易得OO1＝eq \f(1,2)，连接CO1，则CO1＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(2,3)＝eq \f(\r(3),3).
因此外接球的半径R满足R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＝eq \f(7,12).
所以外接球的表面积S＝4πR2＝eq \f(7π,3).
8、已知四棱锥PABCD的外接球O的体积为36π，PA＝3，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥MABCD体积的最大值为________．
答案：.eq \f(81,4).
【解析】将四棱锥PABCD补成长方体，如图所示．
可知四棱锥PABCD的外接球的直径为长方体的体对角线．
设四棱锥PABCD的外接球的半径为R，依题意有eq \f(4,3)πR3＝36π，解得R＝3.
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则c＝3.
由于a2＋b2＋c2＝62，所以a2＋b2＝27，又a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b＝eq \f(3\r(6),2)时等号成立，
所以底面ABCD面积的最大值为(ab)max＝eq \f(27,2).此时，要使得四棱锥MABCD的体积最大，
只需点M到底面ABCD的距离h最大．连接AC，BD，交于点O′，连接OO′，
因为OO′＝ eq \r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a2＋b2),2)))2)＝ eq \r(9－\f(27,4))＝eq \f(3,2)，所以hmax＝OO′＋R＝eq \f(3,2)＋3＝eq \f(9,2)，
故四棱锥MABCD体积的最大值为VMABCD＝eq \f(1,3)×eq \f(27,2)×eq \f(9,2)＝eq \f(81,4).
基本方法：
补形法找球心常用的补形方法有：
1对于正四面体，通常把它补成正方体.若是相对棱长相等的四面体，则可考虑把它补成长方体.
2对于从一顶点出发的三条棱互相垂直的锥体，通常可考虑把它补成长方体或正方体.
3几何体的补形要围绕着已知条件来进行，通常策略是把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等.
4将有一棱与底面垂直的三棱锥或四棱锥补成长方体，此时棱锥与长方体具有相同的外接球，利用(2R)2＝a2＋b2＋c2(a，b，c分别为长方体的长、宽、高，R为棱锥外接球的半径)，可求得棱锥外接球的半径R.
5当三棱锥中有一条棱垂直于底面时，可以将棱锥补形成直棱柱，从而能更直观地找到外接球的球心，且外接球的半径也更易计算．
类型三、有关球的截面的性质
基础知识：
球的截面的性质
1、球的截面是圆面；
2、球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
3、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝eq \r(R2－d2).
4、解决有关球的问题的关键是确定球心的位置和球的半径，一般作出球的一个大圆来处理．
基本题型：
1．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得，设截面圆的半径为r，球的半径为R，因为截面圆的面积为，可得，解得，又由，所以，所以球的表面积为.故选：A.
某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4eq \r(3)的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是________．
答案：4
解析：设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2eq \r(3)，由截面圆的周长可得4π＝2πr，得r＝2，由题意，知R2＝r2＋(2eq \r(3))2＝22＋(2eq \r(3))2＝16，得R＝4.
3、已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的半径为______；若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______．
答案：
【解析】
如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，所以底面外接圆的半径，
过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，连接，设外接球的半径为，所以，解得．若是的中点，，重合，过点作球的截面， 则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，而三角形的外接圆半径是斜边的一半，即2，所以截面面积为．
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1．球面上有A, B, C, D四个点，若AB, AC, AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝4，则该球的表面积为( )
A.eq \f(80π,3) B．32π
C．42π D．48π
答案：D
【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R，由题意可得：
(2R)2＝42＋42＋42，据此可得R2＝12，外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×12＝48π.
2．在三棱锥PABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝eq \r(3)，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A.eq \f(4π,3) B.eq \f(8\r(2)π,3)
C．8π D．12π
答案： C
【解析】易知△ABC是等边三角形．如图，作OM⊥平面ABC，其中M为△ABC的中心，
且点O满足OM＝eq \f(1,2)PA＝1，则点O为三棱锥PABC外接球的球心．于是，
该外接球的半径R＝OA＝eq \r(AM2＋OM2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)×\r(3)×\f(2,3)))2＋12)＝eq \r(2).
故该球的表面积S＝4πR2＝8π.
3．(多选)已知正方体ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论正确的是( )
A．该正方体外接球的直径为2eq \r(3)
B．该正方体内切球的表面积为4π
C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为eq \r(2)
D．该正方体外球接的体积为4eq \r(3)
答案：ABC
【解析】若正方体的棱长为2，则：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，即2R1＝eq \r(22＋22＋22)＝2eq \r(3)，故A正确；外接球体积为eq \f(4,3)πReq \\al(3,1)＝4eq \r(3)π，故D错误；②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故R2＝1，球的表面积为4πReq \\al(2,2)＝4π，故B正确；③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，即2R3＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，球的半径为R3＝eq \r(2)，故C正确．
4．底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为( )
A.eq \r(3)＋1 B．3
C.eq \r(2)＋1 D．2
答案：A
【解析】不妨设其棱长为2，外接球的半径为R，内切球的半径为r，如图．
则BO＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)＝eq \r(2)，PO＝ eq \r(PB2－BO2)＝eq \r(2)，PM＝ eq \r(PC2－CM2)＝eq \r(3)，
所以可知O即为该几何体外接球的球心，故R＝eq \r(2).
因为VPABCD＝4×eq \f(1,3)×S△PCD×r＋eq \f(1,3)×S四边形ABCD×r＝eq \f(1,3)×S四边形ABCD×PO，
又S四边形ABCD＝22＝4，S△PCD＝eq \f(1,2)·CD·PM＝eq \r(3)，
所以内切球半径为r＝eq \f(\r(2),\r(3)＋1)，于是eq \f(R,r)＝eq \r(2)×eq \f(\r(3)＋1,\r(2))＝eq \r(3)＋1，故选A.
5．如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为，则不正确的是（ ）
A．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为
B．
C．如果，则与重合．
D．如果，则圆柱的体积为．
答案：C
分析：本题考查圆锥，圆柱，球的结构特征，圆锥和圆柱的体积公式，属于较难题目．
分析出球心O为线段的中点可分析A选项，得出过P，，做几何体的截面，从而可分析B选项，再根据圆锥，圆柱的体积公式分析C，D选项．
【解析】解：如图几何体的外接球心为O，它的半径为1，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心为，过做几何体的截面为五边形ABCPD，其中四边形ABCD为矩形，三角形CPD为等腰三角形，PC=PD.
O矩形的中心，为线段的中点，所以C错误；如果圆锥的体积为圆柱体积的，
则圆锥的体积为.所以A正确．
设圆锥的高为，圆柱的高为2h=，圆柱的上下底面的半径为r，由题意，所以B正确；如果，得则圆柱的体积为，所以D正确．
6．已知在三棱锥PABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5 cm，AB＝4 cm，AC＝3 cm，点O为三棱锥PABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法不正确的是( )
A．三棱锥PABC的体积为10 cm3
B．直线BC与平面PAC所成角的正切值为eq \f(4,3)
C．球O的表面积为50π cm2
D．OD⊥PA
答案：D
【解析】因为AP，AB，AC两两互相垂直，以AP，AB，AC为棱补成一个长方体，如图，由长方体性质知：VPABC＝eq \f(1,6)AB·AC·AP＝10 cm3，A正确；BC与平面PAC所成角为∠BCA，tan∠CBA＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(4,3)，B正确；长方体的体对角线是其外接球也是三棱锥PABC外接球的直径，长度为eq \r(32＋42＋52)＝5eq \r(2)，则球的表面积为S＝4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(2),2)))2＝50π(cm2)，C正确；由外接球性质，OD⊥平面ABC，而PA⊥平面ABC，所以OD∥PA，D错误．
7．在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，三棱锥外接球的表面积为________.
答案：
【解析】在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，故，，，故棱锥外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，设长方体的长宽高分别为，，，则，，，即，即长方体的外接球半径满足：
，故三棱锥外接球的表面积为.
8、在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以
为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
答案：
【解析】如图，在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接PF，CF，OP.由，得，
是以为斜边的等腰角三角形，,
又平面平面，平面，，，则为棱锥的外接球球心，外接球半径，该三棱锥外接球的表面积为。
【名师点睛】本题主要考查四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径.求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直，则用（为三条棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
9. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为8 cm的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________cm2.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________．
答案：64(eq \r(3)＋1) eq \f(\r(3)－1,2)
【解析】如图，正四棱锥P-ABCD的表面积SP-ABCD＝4S△PAB＋S正方形ABCD＝4×eq \f(\r(3),4)×8×8＋8×8＝64(eq \r(3)＋1)(cm2)．设该正四棱锥的高为h，体积为V，内切球半径为r，则由r＝eq \f(3V,SPABCD)，h＝eq \f(3V,S正方形ABCD)，得eq \f(r,h)＝eq \f(S正方形ABCD,SPABCD)＝eq \f(8×8,64\r(3)＋1)＝eq \f(\r(3)－1,2).
10．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥DABC体积的最大值为________．
答案：18eq \r(3)
【解析】由等边△ABC的面积为9eq \r(3)，可得eq \f(\r(3),4)AB2＝9eq \r(3)，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝eq \f(\r(3),3)AB＝2eq \r(3).设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝eq \r(R2－r2)＝eq \r(16－12)＝2.所以三棱锥DABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥DABC体积的最大值为eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3).
11．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．
答案：(2－eq \r(2))a
【解析】由题意知，当球与四棱锥各面均相切，即内切于四棱锥时球的半径最大．作出其侧视图，如图所示．易知球的半径r＝(2－eq \r(2))a.
12．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq \r(3)，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
答案：eq \r(2)－1
【解析】如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，
连接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB＝2eq \r(3)，∴S△ABC＝3eq \r(3)，DE＝1，PE＝eq \r(2).∴S表＝3×eq \f(1,2)×2eq \r(3)×eq \r(2)＋3eq \r(3)＝3eq \r(6)＋3eq \r(3).∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×3eq \r(3)×1＝eq \r(3).设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r＝eq \f(3\r(3),3\r(6)＋3\r(3))＝eq \r(2)－1.
13．已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
答案：36π
【解析】如图，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，
∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，
∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，
设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R.
∴VS ABC＝VASBC＝eq \f(1,3)×S△SBC×AO＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×SC×OB))×AO，
即9＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2R×R))×R，解得 R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
14、中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.
答案：
【解析】四边形是正方形，，即，且，，所以，的外接圆半径为，设鳖臑的外接球的半径，则，解得.平面，，可得，.
正方形的外接圆直径为，，平面，所以，阳马的外接球半径，因此，阳马的外接球的表面积为.
15．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的半径为____________.
答案：
【解析】因为，所以为等边三角形，所以，等边外接圆的半径为，如图，三棱锥外接球球心为，半径为，设球心到平面的距离为，外接圆圆心为，连接，则平面，取中点，所以，又平面，所以，则四边形是矩形，所以在和中，
由勾股定理可得，解得：.
16、一个多面体的顶点是四个半径为eq \r(3)且两两外切的球的球心，则该多面体内切球的半径为________；内切球的体积为________．
[答案] eq \f(\r(2),2) eq \f(\r(2)π,3)
[解析] 设这四个球心分别为A，B，C，D，由球的几何性质可知，四个半径为eq \r(3)且两两外切的球的球心A，B，C，D可构成边长为2eq \r(3)的正四面体ABCD，设顶点A在底面BCD的射影为点P，如图所示，则P为等边三角形BCD的中心，由正弦定理可得BP＝eq \f(2\r(3),2sin\f(π,3))＝2，∴AP＝eq \r(AB2－BP2)＝2eq \r(2)，S△BCD＝eq \f(1,2)×(2eq \r(3))2×sineq \f(π,3)＝3eq \r(3)，VA-BCD＝eq \f(1,3)S△BCD·AP，设正四面体ABCD 的内切球球心为O，该内切球的半径为r，则VA-BCD＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝4VO-BCD＝4×eq \f(1,3)S△BCD×r＝eq \f(1,3)S△BCD·AP，∴r＝eq \f(1,4)AP＝eq \f(\r(2),2)，∴正四面体ABCD的内切球的体积为V＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(\r(2),3)π.
17．如图所示，半径为R的半圆内（其中）的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积为 ．其体积为 。
答案：
【解析】如图所示，过C作于，在半圆中可得，又，，∴，，，∴，，∴，
∴旋转所得到的几何体的表面积为.又，，，∴.
18、已知三棱锥，平面ABC，，，，直线SB和平面ABC所成的角大小为.若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.
答案：
【解析】如图：
平面，则为直线SB和平面所成的角，即，在中：，如图，设为三棱锥外接球的球心，G为外接圆圆心，
连结，则必有面，在，，则
其外接圆半径，又，所以三棱锥外接球半径为该球的表面积为,
19、如图，在三棱锥P-ABC中，，，则PA与平面ABC所成角的大小为________；三棱锥P-ABC外接球的表面积是________.
答案：
【解析】如图，作平行四边形，连接，由，则平行四边形是矩形．
由，，，∴平面，而平面，∴，同理可得，又，∴平面．，是PA与平面ABC所成角．由得，又，∴．
∴PA与平面ABC所成角是．由知的中点到的距离相等，是三棱锥P-ABC外接球的直径．由平面得，，
．
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