高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题39直线、直线与圆及圆与圆位置关系(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题39直线、直线与圆及圆与圆位置关系(原卷版+解析)，共45页。
直线、直线与圆及圆与圆位置关系
直线与直线位置关系
两直线平行
两直线垂直
点线距离
直线与圆位置关系
圆与圆位置关系
圆与圆相切
圆与圆相离
圆与圆相交
直线与圆相切
直线与圆相离
直线与圆相交
练高考 明方向
1. (2023·北京卷T3）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. 1D.
2.(2023·全国甲（文）T14） 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
3.(2023·全国乙（文、理）T15） 过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
4.(2023·新高考Ⅰ卷T14） 写出与圆和都相切的一条直线的方程_______．
5.(2023·新高考Ⅱ卷T15） 已知点，若直线关于的对称直线与圆存在公共点，则实数a的取值范围为________．
6.(2023·浙江卷T17） 设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
7．(2023·新高考Ⅰ卷)(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2) D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
8．(2023·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
9．(2023年高考全国甲卷理科)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
(1)求C，的方程；
(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
10．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为
A．B．C． D．
11．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A．B．C．D．
12．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
13．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)圆的圆心到直线的距离为1，则( )
A．B．C．D．
14．(2023高考数学新课标2理科)过三点，，的圆交轴于两点，则( )
A．B．8C．D．10
15．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知直线:与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则________________.
16．(2023高考数学课标2理科)设点M(,1)，若在圆O: 上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________．
17．(2023高考数学新课标1理科)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆 内切，圆心的轨迹为曲线 C．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
讲典例 备高考
类型一、直线的方程
基础知识：
直线方程的5种形式
基本题型：
1．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
2．已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知的顶点，高所在的直线方程分别为和，则所在直线的方程是_______．
4．在平面直角坐标系中，已知点和．
（）若，是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程；
（）若，是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．
基本方法：
求直线方程的方法
（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程
（2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程
注：(1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.
类型二、两直线位置关系
基础知识：
两条直线的位置关系：
基本题型：
1．(两直线垂直）过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
2．（两直线平行）已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2
3．（两直线相交）直线，和直线不能构成三角形，则的个数是（ ）．
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝( )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(5) C．2 D．4
5、（线点对称）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
基本方法：
1、两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
(2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．
2、点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A×\f(x1＋x2,2)＋B×\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
类型三、直线与圆位置关系
基础知识：
1、直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：
2、切线方程
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
3．切线长公式
(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝eq \r(x0－a2＋y0－b2－r2).
(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
基本题型：
1．（线圆位置关系的判断）已知定点在单位圆内部，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
2．（线圆相交）圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线截得的弦长为6，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（线圆相切）已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）已知直线过点且与圆相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．点的坐标为 B．面积的最大值为
C．当直线与直线垂直时， D．的最大值为
5、（切线方程及切线长）已知点P(eq \r(2)＋1,2－eq \r(2))，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
6．在平面直角坐标系中，直线x+y+3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,1)．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线y＝kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围；
（3）设直线y＝x+m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
基本方法：
1、判断直线与圆的位置关系常见的两种方法
(1)代数法：eq \(――→,\s\up7(判别式),\s\d5(Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0⇔相交，,＝0⇔相切，,r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))0）上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】圆的圆心，半径是，由圆的性质知：，四边形的最小面积是，的最小值是切线长）.所以|PC|的最小值为，所以。
4．（多选题）已知直线过点且与圆相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．点的坐标为 B．面积的最大值为
C．当直线与直线垂直时， D．的最大值为
答案：A、B、D
解析：由题意知直线的斜率存在，故设直线的方程为，∵直线与圆相切，∴，∴，∴直线的方程为，∴点坐标为，A正确；
∵圆上动点到直线的最大距离为，又∵，
∴，B正确；由直线与直线垂直，则，∴，C错误；最大，即时，又∵，
∴，D正确．
5、（切线方程及切线长）已知点P(eq \r(2)＋1,2－eq \r(2))，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解析：(1)由题意得圆心C(1,2)，半径长r＝2.因为(eq \r(2)＋1－1)2＋(2－eq \r(2)－2)2＝4，所以点P在圆C上．
又kPC＝eq \f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，所以切线的斜率k＝－eq \f(1,kPC)＝1.所以过点P的圆C的切线方程是
y－(2－eq \r(2))＝1×[x－(eq \r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq \r(2)＝0.
（2）因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，
直线方程为x＝3，又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，
所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝eq \f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，
解得k＝eq \f(3,4).所以切线方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
因为|MC|＝eq \r(3－12＋1－22)＝eq \r(5)，所以过点M的圆C的切线长为eq \r(|MC|2－r2)＝eq \r(5－4)＝1.
6．在平面直角坐标系中，直线x+y+3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,1)．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线y＝kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围；
（3）设直线y＝x+m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
答案：（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为，
∴圆C的半径，则圆C的方程为；
（2）∵直线y＝kx+2与圆C没有公共点，∴点到直线的距离，
解得，∴k的取值范围为；
（3）联立，得，由，
解得，设，则，
∵，∴，，即，
即，∴，
解得，符合题意，∴．
基本方法：
1、判断直线与圆的位置关系常见的两种方法
(1)代数法：eq \(――→,\s\up7(判别式),\s\d5(Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0⇔相交，,＝0⇔相切，,