高考数学大题精做专题01直线与圆相结合问题(第五篇)(原卷版+解析)

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专题01 直线与圆相结合问题
【典例1】【天津市杨村第一中学2020届高三月考】已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，两点，直线的斜率为.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若的外接圆在处的切线与椭圆交另一点于，且的面积为，求椭圆的方程.
【典例2】【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试】在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，．
（1）若，求的长；
（2）若中点为，求面积的取值范围．
【典例3】【广东省广州市普通高中毕业班2020届高三月考】在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与轨迹交于，两点，判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.
【针对训练】
1. 【江西省南昌市2020届高三检测】如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．
求动圆圆心的轨迹的方程；
过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，若直线与轨迹交于两点，求的最小值．
2. 【2020届陕西省西北工业大学附属中学高三月考】已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．
（1）求的值；
（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．
3. 【重庆市巴蜀中学2020届高三月考】已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）过圆O1：上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围.
类型
对应典例
圆的切线问题
典例1
直线与圆的取值范围问题
典例2
直线与圆的位置关系
典例3
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第五篇 解析几何
专题01 直线与圆相结合问题
【典例1】【天津市杨村第一中学2020届高三月考】已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，两点，直线的斜率为.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若的外接圆在处的切线与椭圆交另一点于，且的面积为，求椭圆的方程.
【思路引导】
（Ⅰ）先求出左顶点为，右焦点为的坐标，由题意求出的坐标，由斜率公式，根据直线的斜率为，这样可以求出椭圆的离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）,可设出，设的外接圆的圆心坐标为，由，得，求得，求得切线方程，代入椭圆方程，求出,利用点到直线距离和三角形面积公式，代入可求出，求出的值，求得椭圆方程.
【详解】
（Ⅰ）由题意可知：，设，由题意可知：M在第一象限，且，
，，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）, ，所以椭圆方程为：
，设的外接圆的圆心坐标为，由，得，求得，，切线斜率为：，切线直线方程为，即代入椭圆方程中,得，，，
，
到直线的距离，的面积为，所以有
，，椭圆方程为：.
【典例2】【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试】在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，．
（1）若，求的长；
（2）若中点为，求面积的取值范围．
【思路引导】
（1）先由AB的长度求出圆心O到直线AB的距离，列方程求出直线AB的斜率，从而得到直线CD的斜率，写出直线CD的方程，用垂径定理求CD得长度；（2）△ABE的面积，先考虑直线AB、CD平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出AB，再在△PME 中用勾股定理求出PE，将面积S表示成直线AB斜率k的函数式，再求其范围.
解：（1）因为AB＝，圆O半径为2
所以点O到直线AB的距离为
显然AB、CD都不平行于坐标轴
可设AB：，即
则点O到直线AB的距离，解得
因为AB⊥CD，所以
所以CD：，即
点M（2,1）到直线CD的距离
所以
（2）当AB⊥x轴，CD∥x轴时，此时AB=4，点E与点M重合，PM=2，所以△ABE的面积S=4
当AB∥x轴，CD⊥x轴时，显然不存在，舍
当AB与CD都不平行于坐标轴时
由（1）知
因为，所以
因为点E是CD中点，所以ME⊥CD，
所以
所以△ABE的面积
记，则
则
综上所述：
【典例3】【广东省广州市普通高中毕业班2020届高三月考】在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与轨迹交于，两点，判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.
【思路引导】
（1）根据直接法求轨迹方程，（2）先用坐标表示以线段为直径的圆方程，再根据圆心到直线距离与半径大小进行判断.
【详解】
（1）设动点的坐标为，
因为 ， ，
所以，整理得．
所以动点的轨迹的方程 ．
（2）过点的直线为轴时，显然不合题意．
所以可设过点的直线方程为，
设直线与轨迹的交点坐标为 ，，
由得．
因为，
由韦达定理得 =， =．
注意到 =．
所以的中点坐标为．
因为 ．
点到直线的距离为．
因为 ，即 ，
所以直线与以线段为直径的圆相离．
【针对训练】
1. 【江西省南昌市2020届高三检测】如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．
求动圆圆心的轨迹的方程；
过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，若直线与轨迹交于两点，求的最小值．
【思路引导】
（Ⅰ）设动圆的半径为，由题动圆与圆内切，与圆外切，则
，由此即可得到动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，进而得到动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，
；则经过点的切线斜方程是，同理经过点的切线方程是，又两条切线，相交于 .可得经过两点的直线的方程是，对分类讨论分别求出的值，即可得到的最小值.
【详解】
（Ⅰ）设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，
∴，且.于是，，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，
所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．
（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，
；则经过点的切线斜率，方程是，
经过点的切线方程是，又两条切线，相交于 .
则有，所以经过两点的直线的方程是，
①当时，有，，，，则；
②当时，联立，整理得；
设坐标分别为，，则，
所以，
综上所述，当时，有最小值．
2. 【2020届陕西省西北工业大学附属中学高三月考】已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．
（1）求的值；
（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．
【思路引导】
（1）设出直线的方程为，由直线和圆相切的条件：，解得；
（2）设出，运用导数求得切线的斜率，求得为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得在定直线上；
解：（1）依题意设直线的方程为，
由已知得：圆的圆心，半径，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
即，解得或（舍去）．
所以；
（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，
所以，所以，设，则以为切点的切线的斜率为，
所以切线的方程为．
令，，即交轴于点坐标为，
所以， ，
，
．
设点坐标为，则，
所以点在定直线上．
3. 【重庆市巴蜀中学2020届高三月考】已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）过圆O1：上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围.
【思路引导】
（1）根据条件设圆的方程为，由题意可解得，于是可求得圆的方程．（2）根据几何知识可得，故将所求范围的问题转化为求切线长的问题，然后根据切线长的求法可得结论．
详解：（1）由题意设圆心为，半径为，
则圆的标准方程为．
由题意得，解得，
所以圆的标准方程为．
（2）由圆的切线的性质得
而．
由几何知识可得，
又，
所以，
故，
所以，
即四边形面积的取值范围为．
类型
对应典例
圆的切线问题
典例1
直线与圆的取值范围问题
典例2
直线与圆的位置关系
典例3