高考数学大题精做专题03直线与椭圆相结合问题(第五篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题03直线与椭圆相结合问题(第五篇)(原卷版+解析)，共16页。
专题03 直线与椭圆相结合问题
【典例1】【陕西省榆林市2019届高考第三次模拟测试】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，直线和椭圆交于，两点，当直线过椭圆的焦点，且与轴垂直时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过点且倾斜角为钝角，为弦的中点，当最大时，求直线的方程.
【典例2】【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点是椭圆的一个焦点,点 在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点,且 (为坐标原点),求直线斜率的取值范围.
【典例3】【天津市和平区2020届高三质检】已知椭圆经过点,左、右焦点分别、，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设是椭圆上不在轴上的一个动点,为坐标原点,过点作的平行线交椭圆于、两点，求的值.
【典例4】【四川省内江、眉山等六市2020届高三第二次诊断性考试】
已知椭圆的右焦点为，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为椭圆C上的两动点，M为线段AB的中点，直线AB，OM（O为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k1，k2，试问k1k2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【典例5】【甘肃省天水一中2020届一模】已知椭圆：的离心率为，焦距为．
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．
【针对训练】
1. 【甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试】已知椭圆：的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）与轴不垂直的直线经过，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围．
2. 【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟考试】设椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于不同的两点M、N，且点O在以MN为直径的圆外（其中O为坐标原点），求的取值范围.
3. 【安徽省安庆市市示范中学2020届髙三联考】已知椭圆的短轴长为，且椭圆的一个焦点在圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的焦距小于，过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于两点，若，求
4. 【安徽省淮北市第一中学2020届月考】设椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆的离心率为，的周长为16．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，设弦的中点分别为.证明：三点共线.
5．【山西省太原市2020届模拟考试】已知椭圆的右焦点到直线的距离为，在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过作两条互相垂直的直线，是与椭圆的两个交点，是与椭圆的两个交点，分别是线段的中点试，判断直线是否过定点？若过定点求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
类型
对应典例
直线与椭圆相结合求直线方程
典例1
直线与椭圆位置关系求参数范围
典例2
弦长问题
典例3
中点弦问题
典例4
直线与椭圆相结合的综合问题
典例5
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第五篇 解析几何
专题03 直线与椭圆相结合问题
【典例1】【陕西省榆林市2019届高考第三次模拟测试】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，直线和椭圆交于，两点，当直线过椭圆的焦点，且与轴垂直时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过点且倾斜角为钝角，为弦的中点，当最大时，求直线的方程.
【思路引导】
（1）由题意列方程组可得，，据此可得椭圆方程；
（2）设，直线的方程为：，联立直线方程与椭圆方程可得，结合向量知识可得 ，由等号成立的条件可得直线方程.
【详解】
（1）由题意：，∴，，∴椭圆的标准方程为：；
（2）设，直线的方程为：，
联立方程可得：，∴，
取的方向向量为，取的方向向量为，
∴ ，
当且仅当，即：时取等号，此时最大，
直线的方程为：.
【典例2】【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点是椭圆的一个焦点,点 在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点,且 (为坐标原点),求直线斜率的取值范围.
【思路引导】
（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为，利用椭圆的定义，求得，再理由椭圆中，求得的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，在由，进而可求解斜率的取值范围，得到答案。
【详解】
（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为，
所以点到两焦点的距离之和为.
所以.
又因为，所以，则椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，，不符合题意.
故设直线的方程为，，，
联立，可得.
所以
而，
由，可得.
所以，又因为，所以.
综上，.
【典例3】【天津市和平区2020届高三质检】已知椭圆经过点,左、右焦点分别、，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设是椭圆上不在轴上的一个动点,为坐标原点,过点作的平行线交椭圆于、两点，求的值.
【思路引导】
(Ⅰ)由题意可知,据此求得a,b的值确定椭圆方程即可；
(Ⅱ)设,直线,则直线,联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和交点坐标确定的值即可.
【详解】
(Ⅰ)由题意可知,
解得 ,故椭圆 C 的标准方程为.
(Ⅱ)设,直线,则直线,
由得,所以,
所以,
由得.
所以
,
所以,即.
【典例4】【四川省内江、眉山等六市2020届高三第二次诊断性考试】
已知椭圆的右焦点为，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为椭圆C上的两动点，M为线段AB的中点，直线AB，OM（O为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k1，k2，试问k1k2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【思路引导】
（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）利用点差法求得为定值.
【详解】
由题意得，解得.
所以椭圆的方程为：
设的坐标分别为，点的坐标为，
即
由已知，
所以，
即
则，于是.
所以为定值，此定值为
【典例5】【甘肃省天水一中2020届一模】已知椭圆：的离心率为，焦距为．
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．
【思路引导】
（1）根据题中条件，得到，再由，求解，即可得出结果；
（2）先设直线的方程为，，,联立直线与椭圆方程，结合判别式、韦达定理等，表示出，只需和相等，即可证明结论成立.
【详解】
（1）由题意可得 ，解得，
又，
所以椭圆方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，,
由，消去，得
则，且，
故

即直线，，的斜率依次成等比数列.
【针对训练】
1. 【甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试】已知椭圆：的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）与轴不垂直的直线经过，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围．
【思路引导】
（I）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设直线的方程为，代入椭圆方程，写出判别式和韦达定理，由坐标原点在以为直径的圆内得，利用向量的坐标运算代入化简，由此解得的取值范围.
【详解】
解：（Ⅰ）由题意可得，解得，，
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程整理可得得，
，解得或，
设，，
又，，
∴，
∵坐标原点在以为直径的圆内，
∴，
∴ ，
解得或.
故直线斜率的取值范围为.
2. 【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟考试】设椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于不同的两点M、N，且点O在以MN为直径的圆外（其中O为坐标原点），求的取值范围.
【思路引导】
(1)由已知条件列出关于的二元一次方程组，求出的值，得到椭圆方程
(2)由题意中点在以为直径的圆外转化为为锐角，即，设出点、的坐标代入求出的取值范围
【详解】
（1）由已知得：，，
结合已知有，
可得，，
则椭圆的方程为.
（2）设，，由得
.
故，，
.
由题意得为锐角，
∴，
又
∴，解得.
∴的取值范围为.
3. 【安徽省安庆市市示范中学2020届髙三联考】已知椭圆的短轴长为，且椭圆的一个焦点在圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的焦距小于，过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于两点，若，求
【思路引导】
（1）由题意可知：b＝1，由焦点在圆上，可求得c，进而求得a，即可求得椭圆方程；
（2设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标的关系，利用向量转化的纵坐标的关系，求得直线方程，利用弦长公式可得所求．
【详解】
（1）因为椭圆的短轴长为，所以，则.
圆与轴的交点为，，
故或，
从而或，
故椭圆的方程为或.
（2）设，，由，得.
因为椭圆的焦距小于，所以椭圆的方程为，
当直线的斜率为0时，AF=,BF=,不满足题意，
所以将的方程设为，代入椭圆方程，消去，得，
所以，，
将代入，得.
故 .
4. 【安徽省淮北市第一中学2020届月考】设椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆的离心率为，的周长为16．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，设弦的中点分别为.证明：三点共线.
【思路引导】
（Ⅰ）由已知椭圆E的离心率为，的周长为16，解得a，b的值，可得椭圆E的方程；（Ⅱ）设，，．利用点差法，可得，，由此可得O，M，N三点共线．
【详解】
（Ⅰ）解：由题意知，，．又，
，，
椭圆E的方程为；
（Ⅱ）证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，
中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；
当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，
且设，，．
则，，相减得，
，即，即，
；
同理可得，
，
所以O，M，N三点共线．
5．【山西省太原市2020届模拟考试】已知椭圆的右焦点到直线的距离为，在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过作两条互相垂直的直线，是与椭圆的两个交点，是与椭圆的两个交点，分别是线段的中点试，判断直线是否过定点？若过定点求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【思路引导】
（1）由题意得，求出，即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，①当时，联立方程组，化简可得
，进而求出，同理可得，进而求出，求出直线的方程，求出必过的定点；②当时，易知直线过定点；综上即可求出结果.
【详解】
解：（1）由题意得，∴，
∴椭圆的方程为；
（2）由（1）得，设直线的方程为，点的坐标分别为，
①当时，由，得，
∴，∴
同理，由，可得

∴直线的方程为，过定点；
②当时，则直线的方程为，
∴直线过定点
综上，直线过定点
类型
对应典例
直线与椭圆相结合求直线方程
典例1
直线与椭圆位置关系求参数范围
典例2
弦长问题
典例3
中点弦问题
典例4
直线与椭圆相结合的综合问题
典例5