高考数学大题精做专题04函数的零点(第六篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题04函数的零点(第六篇)(原卷版+解析)，共14页。
专题04 函数的零点
【典例1】【辽宁省丹东市2020届模拟】已知设函数.
（1）若，求极值；
（2）证明：当，时，函数在上存在零点.
【典例2】【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数.
（1）求函数在区间上零点个数；（其中为的导数）
（2）若关于的不等式在上恒成立，试求实数的取值范围.
【典例3】【广东省茂名市2019届高三第一次综合测试】已知函数在处的切线与直线平行．
(1)求实数的值，并判断函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，，且，求证：．
【典例4】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试】已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数在（为自然对数的底）时取得极值，且函数在上有两个零点，求实数的取值范围.
【针对训练】
1. 【福建省泉州市2019届普通高中毕业班第二次质量检查】已知函数，.
（1）证明：函数的极小值点为1；
（2）若函数在有两个零点，证明：.
2. 【湖北省2019届高三4月份调研考试】已知.
（1）若是上的增函数，求的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.
3. 【山西省吕梁市2020届模拟】已知函数．
（1）当时，证明的图象与轴相切；
（2）当时，证明存在两个零点．
4. 【广东省深圳市2019届高三第一次（2月)调研考试】已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）
（1）求函数的递增区间；
（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明: .
类型
对应典例
证明函数存在零点问题
典例1
判断函数零点个数
典例2
与零点有关的证明问题
典例3
由零点确定参数的值或取值范围
典例4
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第六篇 函数与导数
专题04 函数的零点
【典例1】【辽宁省丹东市2020届模拟】已知设函数.
（1）若，求极值；
（2）证明：当，时，函数在上存在零点.
【思路引导】
（1）通过求导得到，求出的根，列表求出的单调区间和极值.
（2）对进行分类，当时，通过对求导，得到在单调递减，找到其零点，进而得到的单调性，找到，，可证在上存在零点.
当时，根据（1）得到的结论，对进行放缩，得到，再由，可证在上存在零点.
【详解】
（1）当时，，定义域为，由得．
当变化时，， 的变化情况如下表：
故当时，取得极大值，无极小值．
（2），．
当时，因为，所以，
在单调递减．
因为，，
所以有且仅有一个，使，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减．
所以，而，
所以在存在零点．
当时，由（1）得，
于是，所以．
所以．
于是．
因为，所以所以在存在零点．
综上，当，时，函数在上存在零点．
【典例2】【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数.
（1）求函数在区间上零点个数；（其中为的导数）
（2）若关于的不等式在上恒成立，试求实数的取值范围.
【思路引导】
（1）根据可得，为递增函数，再根据零点存在性定理得出答案.
（2）将不等式整理转化为求函数在的最小值，利用导数判断单调性和取值范围，遂可得解.
【详解】
解：（1）函数的导数 ，
则在区间递增，
又 ，，
则函数在区间上只有一个零点；
（2）若关于的不等式在上恒成立，
整理得，
即求函数在的最小值
由的导数 ，
由的导数为，可得
时，，函数递增，时，函数递减，
则，即，
当时， ，
则在递增，可得，
则.
【典例3】【广东省茂名市2019届高三第一次综合测试】已知函数在处的切线与直线平行．
(1)求实数的值，并判断函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，，且，求证：．
【思路引导】
（1）由可得，利用导数可求的单调区间.
（2）由可得，，令，则且，构建新函数，利用导数可以证明即.
【详解】
（1）函数的定义域：，
，解得，
，
令，解得，故在上是单调递减；
令，解得，故在上是单调递增.
（2）由为函数的两个零点，得
两式相减，可得
即，，
因此，
令，由，得.
则，
构造函数，
则
所以函数在上单调递增，故，
即，可知.故命题得证.
【典例4】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试】已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数在（为自然对数的底）时取得极值，且函数在上有两个零点，求实数的取值范围.
【思路引导】
（1）当时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f（x）的单调性；
（2）函数在上有两个零点等价于函数的图像与x轴有两个交点，数形结合即可得到实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，
，
令，得，
当时，，当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
（2），，
∵在时取得极值，
∴即，
∴.
所以，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
得函数的极大值，
∴当函数在上有两个零点时，必有
得.
当时，.
∴的两个零点分别在区间与中.
∴的取值范围是.
【针对训练】
1. 【福建省泉州市2019届普通高中毕业班第二次质量检查】已知函数，.
（1）证明：函数的极小值点为1；
（2）若函数在有两个零点，证明：.
【思路引导】
(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2) 函数在有两个零点，即方程在区间有两解， 令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.
解：（1）证明：因为，
当时，，，
所以在区间递减；
当时，，
所以，所以在区间递增；
且，所以函数的极小值点为1
（2）函数在有两个零点，
即方程在区间有两解，
令，则
令，则，
所以在单调递增，
又，
故存在唯一的，使得， 即，
所以在单调递减，在区间单调递增，
且， 又因为，所以，
方程关于的方程在有两个零点，
由的图象可知，，
即.
2. 【湖北省2019届高三4月份调研考试】已知.
（1）若是上的增函数，求的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.
【思路引导】
(1) 由题意知恒成立,构造函数，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证，.
【详解】
（1）由得，
由题意知恒成立，即，设，，
时，递减，时，，递增；
故，即，故的取值范围是.
（2）当时，单调，无极值；
当时，，
一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点.
另一方面，，设 ，则，从而
在递增，则，即，又在递增，所以
在区间有一个零点.
因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，
，当时，即；当时，即
；当时，即：从而在递增，在
递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.
下面证明：，
由得，即，由
得 ，
令，则，
①当时，递减，则，而，故；
②当时，递减，则，而，故；
一方面，因为，又，且在递增，所以在
上有一个零点，即在上有一个零点.
另一方面，根据得，则有：
，
又，且在递增，故在上有一个零点，故在
上有一个零点.
又，故有三个零点.
3. 【山西省吕梁市2020届模拟】已知函数．
（1）当时，证明的图象与轴相切；
（2）当时，证明存在两个零点．
【思路引导】
（1）先求导，再设切点，求出切点坐标，即可证明，
（2）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可证明.
【详解】
证明：（1）当a＝1时，f（x）＝（x﹣2）lnx+x﹣1．
∴f′（x）＝lnx++1，
若f（x）与x轴相切，切点为（x0，0），
∴f（x0）＝（x0﹣2）lnx0+x0﹣1＝0
f′（x0）＝lnx0++1＝0，
解得x0＝1或x0＝4（舍去）
∴x0＝1，
∴切点为（1，0），
故f（x）的图象与x轴相切
（2）∵f（x）＝（x﹣2）lnx+ax﹣1＝0，
∴a＝﹣＝﹣lnx+，
设g（x）＝﹣lnx+，
∴g′（x）＝﹣﹣+＝，
令h（x）＝1﹣2x﹣2lnx
易知h（x）在（0，+∞）为减函数，
∵h（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，
∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴g（x）max＝g（1）＝1，
当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞，
∴当a＜1时，y＝g（x）与y＝a有两个交点，
即当a＜1时，证明f（x）存在两个零点
4. 【广东省深圳市2019届高三第一次（2月)调研考试】已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）
（1）求函数的递增区间；
（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明: .
【思路引导】
（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；
（2）由题意，问题转化为，令，，
即证，根据函数的单调性，即可作出证明．
【详解】
（1）易知，
①若，由解得，∴函数的递增区间为；
②若，则
∴函数的递增区间为和；
③若，则，∴函数的递增区间为；
④若，则
∴函数的递增区间为和；
综上，若，的递增区间为；
若，的递增区间为和；
若，函数的递增区间为；
若，函数的递增区间为和.
（2）∵函数为上的增函数，∴，即，
注意到，故，
∴不妨设，
欲证，只需证，只需证，
即证，即证，
令，，只需证，
∴ ，
下证，即证，
由熟知的不等式可知，
当时，即，
∴ ，
易知当时，，∴，
∴，
∴，即单调递增，即，从而得证.
类型
对应典例
证明函数存在零点问题
典例1
判断函数零点个数
典例2
与零点有关的证明问题
典例3
由零点确定参数的值或取值范围
典例4
极大值
1
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
1
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗