高考数学大题精做专题05三角形中的边角、面积计算问题(第一篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题05三角形中的边角、面积计算问题(第一篇)(原卷版+解析)，共24页。
专题05 三角形中的边角、面积计算问题
【典例1】【2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)】
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求．
【思路引导】
（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、两角和差正弦公式可得关于和的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果
【典例2】【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测】
的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求.
【思路引导】
（1）由正弦定理将边化角，再利用两角和差的正弦公式化简可得；
（2）利用正弦定理将边化角，利用三角恒等变换可得，从而求出角，再用两角和的余弦公式计算可得.
【典例3】【山东省德州市2019-2020学年高三上学期期末】
已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
【思路引导】
（1）由①可求得的值，由②可求出角的值，结合题意得出，推出矛盾，可得出①②不能同时成为的条件，由此可得出结论；
（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出的面积.
【典例4】【2020届广东省中山市高三上学期期末】
已知的三个内角，，所对的边分别为，，.
（1）若，求；
（2）若，试判断的形状.
【思路引导】
（1）利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得，再利用余弦定理求得的值，结合同角三角函数的基本关系式求得的值.
（2）结合已知条件得到，， 结合为锐角，求得，由此证得三角形是直角三角形.
【典例5】【2020届山东省淄博实验中学高三上学期期末】
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）若，的面积为，求，的值；
（2）若，且角为钝角，求实数的取值范围.
【思路引导】
先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出、的值；
（1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b、c的值；
（2）利用正弦定理和余弦定理，结合角为钝角，求出k的取值范围．
【典例6】【2020届湖南省湘潭市高三模拟考试】
的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求b；
（2）求内切圆的半径.
【思路引导】
（1）由得，即可计算出，再由余弦定理计算出边.
（2）由面积公式（为内切圆的半径），及解得.
【典例7】【辽宁省丹东市2019-2020学年高三总复习阶段测试】
的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若平分线交于点，求的长．
【思路引导】
（1）由正弦定理化简已知等式，结合≠0，可得，利用三角形内角和化简，进而可求A的值；
（2）由已知利用三角形的面积公式可得，即可求解.
【针对训练】
1. 【2020届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高三上学期期末】在中，角、、所对的边分别为、、，且，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求及的面积.
2. 【天津市和平区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】
在中，角所对的边分别为.已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
3. 【2020届河南省高三上学年期末】
，，分别为内角，，的对边.已知，，且.
（1）求的面积；
（2）若，是边上的三等分点，求.
4．【福建省福州市2019-2020学年高三上学期期末质量检测】
在中，．
（1）若，求；
（2）为边上一点，且，求的面积．
5. 【2020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末】
在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.
6. 【2020届福建省莆田市（第一联盟体)上学期高三联考】
在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）设，点在上，且，若的面积为，求的长.
7. 【2020届福建省漳州市高三第一次教学质量检测】
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（1）当时，求的值；
（2）若D为AC的中点，且，求的周长.
8. 【2020年1月辽宁省沈阳市一模】
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求A及a；
（2）若，求BC边上的高.
9. 【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】
的内角，，的对边分别为，，，已知，点为边的中点，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
10. 【河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高三12月联考】在中，.
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的面积.
11.【2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ】
中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
12. 【2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测】
已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.
（1）求外接圆的半径；
（2）若，求的面积.
类型
对应典例
三角形边角面积的基本计算（方程思想的应用）
典例1
三角形的边角计算与三角函数求值相结合
典例2
以三角形为背景的开放性问题（新题型）
典例3
三角形形状的判断
典例4
解三角形与不等式相结合问题
典例5
解三角形与三角形的心相结合问题
典例6
解三角形与平面几何图形相结合问题
典例7
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
第一篇 三角函数与解三角形
专题05 三角形中的边角、面积计算问题
【典例1】【2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)】
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求．
【思路引导】
（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、两角和差正弦公式可得关于和的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.
解：
（1）
即：由正弦定理可得：，.
（2），由正弦定理得：
又，
整理可得：

解得：或
因为所以，故.
（2）法二：，由正弦定理得：
又，
整理可得：，即

由，所以
.
【典例2】【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测】
的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求.
【思路引导】
（1）由正弦定理将边化角，再利用两角和差的正弦公式化简可得；
（2）利用正弦定理将边化角，利用三角恒等变换可得，从而求出角，再用两角和的余弦公式计算可得.
【解】（1）由正弦定理得：
即
整理，得因为，则
又，
（2）由正弦定理得：
，，
即，所以
【典例3】【山东省德州市2019-2020学年高三上学期期末】
已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
【思路引导】
（1）由①可求得的值，由②可求出角的值，结合题意得出，推出矛盾，可得出①②不能同时成为的条件，由此可得出结论；
（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出的面积.
解：（1）由①得，，
所以，
由②得，，
解得或（舍），所以，
因为，且，所以，所以，矛盾.
所以不能同时满足①，②.
故满足①，③，④或②，③，④；
（2）若满足①，③，④，
因为，所以，即.
解得.
所以的面积.
若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，
所以，所以的面积.
【典例4】【2020届广东省中山市高三上学期期末】
已知的三个内角，，所对的边分别为，，.
（1）若，求；
（2）若，试判断的形状.
【思路引导】
（1）利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得，再利用余弦定理求得的值，结合同角三角函数的基本关系式求得的值.
（2）结合已知条件得到，， 结合为锐角，求得，由此证得三角形是直角三角形.
解：（1）∵，
∴，，
∴，∴，∴，
∴或（舍去），∴，
∴.
（2）∵，∴，，
∴或，，为锐角.∴（舍去），
∴，∴为直角三角形.
【典例5】【2020届山东省淄博实验中学高三上学期期末】
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）若，的面积为，求，的值；
（2）若，且角为钝角，求实数的取值范围.
【思路引导】
先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出、的值；
（1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b、c的值；
（2）利用正弦定理和余弦定理，结合角为钝角，求出k的取值范围．
解：△ABC中，4acsA＝，
∴4sinAcsA＝＝sin（C+B）＝，
∴，∴；
（1）a＝4，∴a2＝b2+c2﹣2bc＝b2+c2＝16①；
又△ABC的面积为：S△ABC==
∴＝8②；由①②组成方程组，解得b＝4，c＝2或b＝2，c＝4；
（2）当＝（k＞0），b＝kc，
∴a2＝b2+c2﹣2bc•＝（kc）2+c2﹣2kc•c•（k2k+1）c2；
又C为钝角，则a2+b2＜c2，
即（k2k+1）+k2＜1，解得0＜k；所以k的取值范围是．
【典例6】【2020届湖南省湘潭市高三模拟考试】
的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求b；
（2）求内切圆的半径.
【思路引导】
（1）由得，即可计算出，再由余弦定理计算出边.
（2）由面积公式（为内切圆的半径），及解得.
解：（1）由，得，
则又，所以.
由余弦定理得，，即，
即，解得或5.若，
则为等腰直角三角形，与矛盾，舍去，故.
（2）当时，的面积为，
则内切圆的半径.
【典例7】【辽宁省丹东市2019-2020学年高三总复习阶段测试】
的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若平分线交于点，求的长．
【思路引导】
（1）由正弦定理化简已知等式，结合sinB≠0，可得，利用三角形内角和化简，进而可求A的值（2）由已知利用三角形的面积公式可得，即可求解.
解：如图：
（1），
∴由正弦定理可得，
，，，
，，，
，．
（2），，
，，
∴由，可得．
【针对训练】
1. 【2020届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高三上学期期末】在中，角、、所对的边分别为、、，且，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求及的面积.
【思路引导】
（1）由正弦定理化简得，再由得，根据三角形的内角的范围可求得角的大小；
（2）根据余弦定理得建立关于的方程，解之可得，再根据三角形的面积公式可求得三角形的面积.
解：（Ⅰ）， ，由正弦定理可得，
又，，，
，， 所以，故.
（Ⅱ），，由余弦定理可得：
，即,
解得或（舍去），故.
所以.
2. 【天津市和平区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】
在中，角所对的边分别为.已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【思路引导】
（1），由余弦定理可得，再由正弦定理可得,将，代入化简可得，从而求出的值. （2）由条件，可知，又，进而可求出，，以及的值，利用两角差的余弦即可求出结果.
解：（1）∵,由余弦定理可得，
∴由正弦定理得,
又∵,∴,
∴，又∵,解得.
（2）由（1）知,
∴,,
∴
3. 【2020届河南省高三上学年期末】
，，分别为内角，，的对边.已知，，且.
（1）求的面积；
（2）若，是边上的三等分点，求.
【思路引导】
（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得，根据三角形面积公式求得三角形的面积.
（2）首先利用余弦定理求得，求得，判断出，由此证得，解直角三角形求得.
解：（1）∵，∴由正弦定理得.
∵，∴.
又，∴，∴，
∴的面积.
（2）设靠近点，则.
在中，由余弦定理，得.
又，∴.∵，∴，
故.
4．【福建省福州市2019-2020学年高三上学期期末质量检测】
在中，．
（1）若，求；
（2）为边上一点，且，求的面积．
【思路引导】
(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出，再利用同角三角函数基本关系式可求出；
(2)根据题意知为等腰三角形，再利用余弦定理得出为等边三角形可得，从而求出的面积．
解：（1）在中，由正弦定理及题设得
，故， 解得，
又，所以.
（2）设，则．在中，由余弦定理得，
，即，①
在等腰中，有，②
联立①②，解得或（舍去）．
所以为等边三角形，所以，
所以．
解法二：（1）同解法一．
（2）设，则
因为，
所以，
由余弦定理得，得，
所以，解得或（舍去）．
所以为等边三角形，所以，
所以．
5. 【2020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末】
在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.
【思路引导】
无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式，展开后，可求得角，再由余弦定理求得，从而易求得三角形面积．
在横线上填写“”.
解：由正弦定理，得.
由，
得.由，得.所以.
又（若，则这与矛盾），
所以.又，得.由余弦定理及，
得，
即.将代入，解得.
所以.
在横线上填写“”.
解：由及正弦定理，得.
又，所以有.
因为，所以.从而有.又，
所以由余弦定理及，
得
即.将代入，解得.
所以.
在横线上填写“”
解：由正弦定理，得.
由，得，
所以由二倍角公式，得.
由，得，所以.所以，即.
由余弦定理及，得.
即.将代入，解得.
所以.
6. 【2020届福建省莆田市（第一联盟体)上学期高三联考】
在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）设，点在上，且，若的面积为，求的长.
【思路引导】
(1)由正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简即可求解；
(2)由题意得出的面积，由三角形面积公式得出，再由余弦定理求出的长.
解：（1）∵∴
∴
∴
∴
∴
∴
又∵，∴
∴，且，∴
（2）∵，∴
∵，∴，且
∴，即
∴
∴
∴
∴.
7. 【2020届福建省漳州市高三第一次教学质量检测】
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（1）当时，求的值；
（2）若D为AC的中点，且，求的周长.
【思路引导】
（1）利用三角恒等变换将化简为，再由正弦定理将角化边，最后利用余弦定理即可求出的值.
（2）设，则，在和中，分别利用余弦定理求出边，即可求出三角形的周长.
解：
解：（1）由可得，
，
，
，
由正弦定理可得.
.
则由余弦定理可得.
（2）设，则.
在和中，利用余弦定理可得，
，
结合（1）可得，，
两式相加可得，
即，故的周长.
8. 【2020年1月辽宁省沈阳市一模】
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求A及a；
（2）若，求BC边上的高.
【思路引导】
（1）根据正弦定理化简可得a；根据二倍角正弦公式化简可得A；
（2）先根据余弦定理求得，再根据三角形面积公式求BC边上的高.
解：
（1）
；
（2）由余弦定理得
,
设BC边上的高为.
.
即BC边上的高为
9. 【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】
的内角，，的对边分别为，，，已知，点为边的中点，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【思路引导】
(1)化简等式代入余弦定理即可求得； (2)由为的中线得，同时平方可得，与联立解出b，c的值，代入三角形面积公式即可得解.
解：（1）由，
可得，
由余弦定理可得，
所以.
（2）因为为的中线，，
两边同时平方可得，
故.
因为，所以，.
所以的面积.
10. 【河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高三12月联考】在中，.
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的面积.
【思路引导】
（1）直接由求出，再由正弦定理可得求出相应的结果．
（2）由求出，再利用余弦定理可求，然后代入三角形面积公式即可求解．
解：（1）因
，
由正弦定理可得，
.
（2），
由余弦定理，
即，
，.
11.【2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ】
中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
思路引导：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；
（2）借助题设余弦定理立方程组求解.
解：
（1），，
∵，，∴．
由正弦定理可知.
（2）∵，，
∴．
设，则，
在△与△中，由余弦定理可知，
，
，
∵，∴，
∴，解得，
即．
12. 【2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测】
已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.
（1）求外接圆的半径；
（2）若，求的面积.
【思路引导】
（1）根据正余弦定理进行边角互化即可求解；
（2）利用余弦定理建立等式，求解边长即可得出面积.
解：（1）依题意，，
由正弦定理得，整理得，
所以，因为，所以，
故所求外接圆半径；
（2）因为，所以由余弦定理，
得，即，解得或（舍去），
所以.
类型
对应典例
三角形边角面积的基本计算（方程思想的应用）
典例1
三角形的边角计算与三角函数求值相结合
典例2
以三角形为背景的开放性问题（新题型）
典例3
三角形形状的判断
典例4
解三角形与不等式相结合问题
典例5
解三角形与三角形的心相结合问题
典例6
解三角形与平面几何图形相结合问题
典例7