高考数学大题精做专题05解析几何中的与三角形面积相关的问题(第五篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题05解析几何中的与三角形面积相关的问题(第五篇)(原卷版+解析)，共30页。
专题05 解析几何中的与三角形面积相关的问题
【典例1】【山东省临沂市2019届高三模拟考试】已知椭圆：的离心率为，且与抛物线交于，两点， （为坐标原点）的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．
【典例2】【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试】已知抛物线C:x2=2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M.
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值.
【典例3】【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查】已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F−1,0，且过点A(1,22)，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点B为椭圆E上的动点，过点F作平行于OB的直线l交椭圆于C，D两点，求ΔBCD 面积的取值范围．
【典例4】【广东省汕头市潮南区2020届联考】已知抛物线的焦点为，过点垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线及直线所围成的三角形面积为.
(1)求抛物线的方程；
(2)设是抛物线上异于原点的两个动点，且满足，求面积的取值范围.
【典例5】【广西柳州高级中学2020届月考】已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆的离心率为,过椭圆的左焦点,且斜率为的直线,与以右焦点为圆心,半径为的圆相切.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）线段是椭圆过右焦点的弦,且,求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.
【典例6】【安徽省芜湖市2019届高三模拟考试】设曲线C: x2=2py(p>0)，点F为C的焦点，过点F作斜率为1的直线l与曲线C交于A，B两点，点A，B的横坐标的倒数和为-1.
（1）求曲线C的标准方程；
（2）过焦点F作斜率为k的直线l'交曲线C于M，N两点，分别以点M，N为切点作曲线C的切线相交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，求三角形MNQ面积的最小值.
【典例7】【河北省石家庄市2019届高中毕业班模拟考试】在平面直角坐标系中，，，设直线、的斜率分别为、且 ，
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过作直线交轨迹于、两点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．
【典例8】【福建省泉州市2019届普通高中毕业班第二次质量检查】已知抛物线的焦点为，点在上，为线段的中点，.
（1）求的方程；
（2）过的直线与交于两点.若上仅存在三个点，使得的面积等于16，求的方程.
【针对训练】
1. 【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考】已知离心率为的椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且点到的准线的距离为2.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，与交于两点，且（为坐标原点），求面积的最大值.
2. 【天津市河北区2019届高三一模】已知椭圆C：过点，且离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程．
3. 【山东省淄博市2020届模拟】已知点，的坐标分别为，，三角形的两条边，所在直线的斜率之积是。
（I）求点的轨迹方程：
（II）设直线方程为，直线方程为，直线交于点，点，关于轴对称，直线与轴相交于点。若面积为，求的值。
4. 【天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练】已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为，且直线分别与椭圆交于两点，其中点，满足，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若面积是面积的5倍，求的值.
5．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为22.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点F的直线l交椭园C于M，N两点，若△OMN（O为坐标原点）的面积为23，求直线l的方程.
6. 【山西省2019届高三3月高考考前适应性测试】已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为的正三角形．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，若，求的面积．
7. 【湖南省桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试】已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
（1）求曲线的方程.
（2）是否存在过的直线，使得与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，且的面积等于4？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.
8. 【山东省淄博市部分学校2019届高三阶段性诊断考试】已知抛物线的焦点到准线距离为.
（1）若点，且点在抛物线上，求的最小值；
（2）若过点的直线与圆相切，且与抛物线有两个不同交点，求的面积.
9. 【福建省莆田市2019届高三第二次质量检测】已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为的正三角形．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与交于点，求面积的最小值.
类型
对应典例
椭圆中有关三角形的面积最值
典例1
抛物线中有关三角形的面积最值
典例2
椭圆中有关三角形的面积的取值范围
典例3
抛物线中有关三角形的面积的取值范围
典例4
椭圆中由三角形面积问题求参数值或范围
典例5
抛物线中由三角形面积问题求参数值或范围
典例6
椭圆中由三角形面积问题求直线方程
典例7
抛物线中由三角形面积问题求直线方程
典例8
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第五篇 解析几何
专题05 解析几何中的与三角形面积相关的问题
【典例1】【山东省临沂市2019届高三模拟考试】已知椭圆：的离心率为，且与抛物线交于，两点， （为坐标原点）的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．
【思路引导】
(1)由题意求得a,b,c的值即可确定椭圆方程；
(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等式即可确定三角形面积的最大值.
【详解】
（1）椭圆与抛物线交于，两点，
可设，，
∵的面积为，
∴，解得，∴，，
由已知得，解得，，，
∴椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，故
；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立方程，化简得，
则，
，，

，
点到直线的距离，
因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，
∴
∵，又，所以等号不成立.
∴，
综上，面积的最大值为.
【典例2】【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试】已知抛物线C:x2=2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M.
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值.
【思路引导】
(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅱ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到x1x2=−4，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m；联立两切线方程，可用k表示出M，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值.
【详解】
(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：0,p2，准线方程为：y=−p2
焦点到准线的距离为2，即p=2.
(Ⅱ)抛物线的方程为x2=4y，即y=14x2，所以y'=12x
设Ax1,y1，Bx2,y2，
l1:y−x124=x12x−x1 l2:y−x224=x22x−x2
由于l1⊥l2，所以x12⋅x22=−1，即x1x2=−4
设直线l方程为y=kx+m，与抛物线方程联立，得
y=kx+mx2=4y所以x2−4kx−4m=0
Δ=16k2+16m>0，x1+x2=4k,x1x2=−4m=−4，所以m=1
即l:y=kx+1
联立方程y=x12x−x124y=x22x−x224得：x=2ky=−1，即：M2k,−1
M点到直线l的距离d=k⋅2k+1+11+k2=2k2+11+k2
AB=1+k2x1+x22−4x1x2=41+k2
所以S=12×41+k2×2k2+11+k2=41+k232≥4
当k=0时，ΔMAB面积取得最小值4
【典例3】【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查】已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F−1,0，且过点A(1,22)，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点B为椭圆E上的动点，过点F作平行于OB的直线l交椭圆于C，D两点，求ΔBCD 面积的取值范围．
【思路引导】
（Ⅰ）根据题意可得，c=1，且AF+AF'=22=2a，从而得到椭圆E的方程；
（Ⅱ）讨论直线CD的斜率，当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y=k(x+1)(k≠0)．联立方程利用韦达定理表示SΔACD=12×CDd，求出函数的值域，即可得到
ΔBCD 面积的取值范围．
【详解】
解法一：
（Ⅰ）依题意得，左焦点F(−1,0)，则右焦点F'(1,0)
即c=1，且|AF|+AF'=22=2a
则a=2
得b2=a2−c2=1
椭圆方程为x22+y2=1
（Ⅱ）当直线CD的斜率不存在时，|CD|=2，
此时SΔBCD=12×2×1=22．
当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y=k(x+1)(k≠0)．
由y=k(x+1),x2+2y2=1,消去y得：
1+2k2x2+4k2x+2k2−2=0．
显然Δ>0，
设Cx1,y1，Dx2,y2，
则x1+x2=−4k21+2k2,x1·x2=2k2−21+2k2,
故|CD|=1+k2⋅x1−x2
=1+k2⋅−4k21+2k22−4×2k2−21+2k2=1+k2⋅8k2+81+2k22，
=221+k21+2k2．
因为CD//AB，
所以点A到直线CD的距离即为点O到直线CD的距离d=|k|1+k2，
所以SΔACD=12×CDd
=21+k21+2k2×|k|1+k2=2|k|⋅1+k21+2k2=21+k2k21+2k22=224k4+4k24k4+4k2+1，
=221−11+2k22，
因为1+2k2>1，所以00xA+xB=2pxA⋅xB=−p2
由题意知：1xA+1xB=−1，即xA+xBxA⋅xB=−1，即2p−p2=−1，得p=2.
∴曲线C的标准方程为x2=4y.
（2）由题意知直线l'的斜率是存在的，故设l'的方程为y=kx+1，
设l'与曲线C相交于点M(x1,y1)，N(x2,y2) (x1≠x2)
联立方程x2=4yy=kx+1可得x2−4kx−4=0∴Δ=16k2+16>0x1+x2=4kx1⋅x2=−4
∴|MN|=(1+k2)(16k2+16)=4(k2+1).
由x2=4y，得y=14x2. ∴y'=12x.
∴kMP=12x1，∴lMP: y−y1=12x1(x−x1)……①
∴kNP=12x2，∴lNP: y−y2=12x2(x−x2)……②
上述两式相减得：xP=x1+x22=2k，∴xQ=2k.∴点Q坐标为(2k,0).
∴点Q到直线l的距离为dQ=|2k2+1|k2+1.
∴SΔQMN=12|MN|⋅dQ=12×4(1+k2)×|2k2+1|k2+1=2(2k2+1)k2+1
又∵k∈R，∴k2⩾0.易知当k2=0时，SΔQMN的面积最小，且为2，
即(SΔQMN)min=2.
【典例7】【河北省石家庄市2019届高中毕业班模拟考试】在平面直角坐标系中，，，设直线、的斜率分别为、且 ，
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过作直线交轨迹于、两点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．
【思路引导】
（1）由题意，设，得到，，根据，即可求解椭圆的标准方程；
（2）设直线，联立方程组，利用韦达定理求得，再由，得到，列出关于的方程，即可求解．
【详解】
（1）由题意，设，则，，
又由，整理得，
由点不共线，所以，所以点的轨迹方程为.
（2）设，，
易知直线不与轴重合，设直线，
联立方程组，整理得得，
易知，且，
由，故，即，
从而，
解得，即，
所以直线的方程为或．
【典例8】【福建省泉州市2019届普通高中毕业班第二次质量检查】已知抛物线的焦点为，点在上，为线段的中点，.
（1）求的方程；
（2）过的直线与交于两点.若上仅存在三个点，使得的面积等于16，求的方程.
【思路引导】
(1)利用对称性或者中点得出方程.(2) 设的方程为，代入抛物线方程利用韦达定理得出弦长,利用导数求出切点坐标,求出点线距3,利用面积是16确定直线.或者建立所以关于的方程
恰有三个不同实根，
即恰有三个不同实根，求出直线方程.
【详解】
解法1：（1）由抛物线的对称性，可知∥轴，
且的坐标分别为，
所以，解得，故的方程为.
（2）如图，作与平行且与相切的直线，切点为.由题意，可知的面积等于16.
设的方程为，
方程可化为，则，
令，解得，将代入，得，故，
所以到的距离，
由消去，得，
从而，
所以，
故的面积，
从而，
解得或.
所以的方程为或.
解法2：（1）设，则，，
因为为的中点，所以，，
故，从而，故，
所以，解得，
故的方程为.
（2）直线斜率显然存在，设直线的方程为.
由消去，得，
设，则，
所以，
点在上，设点，则点到直线的距离，
的面积等于16，
所以关于的方程
恰有三个不同实根，
即恰有三个不同实根，
所以，，
解得或.
所以的方程为或.
【针对训练】
1. 【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考】已知离心率为的椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且点到的准线的距离为2.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，与交于两点，且（为坐标原点），求面积的最大值.
【思路引导】
(1)先求P,再列a,b,c的方程组求解即可（2）设的方程为 ，与抛物线联立将 坐标化代入韦达定理解得n=2，利用即可求解；
【详解】
（1）因为点到的准线的距离为2，所以，，
由解得
所以的方程为
（2）解法一.由（1）知抛物线的方程为.
要使直线与抛物线交于两点，则直线的斜率不为0，可设的方程为，
由得
所以，得.
设 则
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过椭圆的右顶点，
不妨设 ，，且，
所以，
当且仅当时，.
2. 【天津市河北区2019届高三一模】已知椭圆C：过点，且离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程．
【思路引导】
（Ⅰ）列a,b,c的方程组求解即可求得方程；（Ⅱ）当的斜率k=0时符合题意；当的斜率k0时，设直线与椭圆联立，求得P，Q坐标，进而求得设直线的中垂线方程：,求其与的交点M,由为等边三角形,得到解方程求得k值即可
【详解】
（Ⅰ）由题解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4 直线与y轴的交点（0，满足题意；
当的斜率k0时，设直线与椭圆联立得=8,,设P（）,则Q（）,,又PQ的垂直平分线方程为由，解得,,, ∵为等边三角形即解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=
综上可知，直线的方程为y=0或y=
3. 【山东省淄博市2020届模拟】已知点，的坐标分别为，，三角形的两条边，所在直线的斜率之积是。
（I）求点的轨迹方程：
（II）设直线方程为，直线方程为，直线交于点，点，关于轴对称，直线与轴相交于点。若面积为，求的值。
【思路引导】
(1)本题可以先将点的坐标设出，然后写出直线的斜率与直线的斜率,最后根据、所在直线的斜率之积是即可列出算式并通过计算得出结果；
(2)首先可以联立直线的方程与直线的方程，得出点两点的坐标，然后联立直线的方程与点的轨迹方程得出点坐标并写出直线的方程，最后求出点坐标并根据三角形面积公式计算出的值。
【详解】
（1）设点的坐标为，因为点的坐标分别为、，
所以直线的斜率，直线的斜率，
由题目可知，化简得点的轨迹方程；
（2）直线的方程为，与直线的方程联立，
可得点，故.
将与联立，消去，整理得，
解得，或，根据题目可知点，
由可得直线的方程为，
令，解得，故，
所以，的面积为
又因为的面积为，故，
整理得，解得，所以。
4. 【天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练】已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为，且直线分别与椭圆交于两点，其中点，满足，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若面积是面积的5倍，求的值.
【思路引导】
（Ⅰ）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
（Ⅱ）由题意得到直线AM,BM的方程，联立直线方程与椭圆方程，求得点E,F的坐标结合题意即可得到关于m的方程，解方程即可确定m的值.
【详解】
（Ⅰ）由题意可得：，解得：，
椭圆的方程为 .
（Ⅱ）且，
∴直线的斜率为，直线的斜率为，
∴直线的方程为，直线的方程为，由得，
∴，
∴.
由得，
∴，
∴.
∵，，
，
∴，
∴
∴
∵，且
∴整理方程得，
∴为所求.
5．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为22.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点F的直线l交椭园C于M，N两点，若△OMN（O为坐标原点）的面积为23，求直线l的方程.
【思路引导】
（1）根据题意，得到c,a，进而求出b2，即可得到椭圆方程；
（2）先由题意设直线l的方程为x=my+1，联立直线与椭圆方程，设Mx1,y1，Nx2,y2，由韦达定理，根据ΔOMN的面积S=12OF‖y2−y1=12，求出m，即可得出结果.
【详解】
（1）由题意可知c=1，
离心率ca=22，所以a=2
所以b2=a2−c2=1
所以椭圆C的方程为x22+y2=1，
（2）由题意可以设直线l的方程为x=my+1，
由x22+y2=1x=my+1得m2+2y2+2my−1=0，
Δ=4m2+4m2+2=8m2+1>0
设Mx1,y1，Nx2,y2
所以，y1+y2=−2mm2+2，y1y2=−1m2+2.
所以ΔOMN的面积S=12OF‖y2−y1=12创y2+y12−4y2y1
=12−2mm2+22+4m2+2=2m2+1m2+2
因为ΔOMN的面积为23，所以m2+1m2+2=23.
解得m=±1.
所以直线l的方程为x+y−1=0或x−y−1=0.
6. 【山西省2019届高三3月高考考前适应性测试】已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为的正三角形．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，若，求的面积．
【思路引导】
根据等边三角形的性质，即可求出p的值，则抛物线方程可求；
设过点的直线n的方程为，联立直线方程与抛物线方程，得利用根与系数的关系结合求得t，进一步求出与F到直线的距离，代入三角形面积公式求解．
【详解】
由题知，，则．
设准线与x轴交于点D，则．
又是边长为8的等边三角形，，
，，即．
抛物线C的方程为；
设过点的直线n的方程为，
联立，得．
设，，则，．
．
．
由，得
，
解得．
不妨取，则直线方程为．
．
而F到直线的距离．
的面积为．
7. 【湖南省桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试】已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
（1）求曲线的方程.
（2）是否存在过的直线，使得与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，且的面积等于4？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.
【思路引导】
（1）根据抛物线的定义求出抛物线的方程即可；
（2）设直线：，联立，设，则，由利用韦达定理计算即可.
【详解】
（1）设为曲线上任意一点，已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
所以点到的距离与它到直线的距离相等，根据抛物线的定义得
曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，与抛物线的方程联立，得，消去，得.
设，，恒成立，则，.
，
解得，则直线为 .
8. 【山东省淄博市部分学校2019届高三阶段性诊断考试】已知抛物线的焦点到准线距离为.
（1）若点，且点在抛物线上，求的最小值；
（2）若过点的直线与圆相切，且与抛物线有两个不同交点，求的面积.
【思路引导】
（1）由抛物线图像的几何特征可知，设点到抛物线准线的距离分别为，因为点在抛物线上，所以到准线距离与到焦点距离相等，故仅当垂直于准线时有最小值.
（2）应用设而不求法，设直线的方程为：，将与联立，结合韦达定理与弦长公式以及点到直线的距离公式求出三角形面积.
【详解】
解：（1）根据题意可知
所以抛物线方程为
则抛物线焦点为，准线为；
记点到抛物线准线的距离分别为，
故，等号成立当且仅当PE垂直于准线，
故的最小值为
（2）设 ，
由题意知，直线斜率存在，设直线的方程为：
将与联立得，
由韦达定理得，
由到直线的距离为得：，
又
点到直线的距离为
所以
9. 【福建省莆田市2019届高三第二次质量检测】已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为的正三角形．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与交于点，求面积的最小值.
【思路引导】
（1）由是周长为12的等边三角形知其边长为4，根据抛物线的定义知，设准线与轴交于，则，在中求得．
（2）首先分析出直线的斜率存在，设直线的方程为：，代入抛物线方程得，设，则.利用导数的几何意义求得点处切线方程为.令，可得,
从而得点,求出到直线的距离，最后可表示出面积，再由不等式的性质求得最小值．
【详解】
（1）由是周长为12的等边三角形，得，
又由抛物线的定义可得.
设准线与轴交于，则，从而
在中，，即.
所以抛物线的方程为.
（2）依题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为：，
联立消去可得，.
设，则.
所以
.
由，得，
所以过点的切线方程为，
又，
所以切线方程可化为.
令，可得,
所以点,
所以点到直线的距离，
所以，当时，等号成立
所以面积的最小值为4.
类型
对应典例
椭圆中有关三角形的面积最值
典例1
抛物线中有关三角形的面积最值
典例2
椭圆中有关三角形的面积的取值范围
典例3
抛物线中有关三角形的面积的取值范围
典例4
椭圆中由三角形面积问题求参数值或范围
典例5
抛物线中由三角形面积问题求参数值或范围
典例6
椭圆中由三角形面积问题求直线方程
典例7
抛物线中由三角形面积问题求直线方程
典例8