高考数学大题精做专题07三角形中的组合图形问题(第一篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题07三角形中的组合图形问题(第一篇)(原卷版+解析)，共31页。
专题07 三角形中的组合图形问题
【典例1】【2020届安徽省池州市高三上学期期末考试】
如图所示，在中，的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求b和；
（2）如图，设D为AC边上一点，，求的面积.
【思路引导】
（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到的值，再利用余弦定理，求出，根据正弦定理，求出；（2）根据正弦定理得到，即，根据勾股定理得到，根据三角形面积
【典例2】【山东省日照市2019-2020学年高三下学期1月校际联考】
在① 面积，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，______，，求.
【思路引导】
选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出的长；
选择②：在，中，分别运用正弦定理，可以求接求出的长；
【典例3】【河北省唐山市2019届高三上学期期末考试】
如图，在梯形中，，为上一点，，.
（1）若，求；
（2）设，若，求.
【思路引导】
(1)先由题中条件求出，再由余弦定理即可求解；
(2)先由，表示出，进而可用表示出，，再由，即可求解.
【典例4】【广东省2019届高三上学期期末联考】
如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.
【思路引导】(1)由正弦定理将化为，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；
(2)先由余弦定理求出的长，将平面四边形的面积转化为两三角形与面积之和，即可求解.
【典例5】【2020届重庆市高三11月调研测试卷】
如图，半圆O的直径，点C，P均在半圆周上运动，点P位于C，B两点之间，且.
（1）当时，求的面积.
（2）求四边形ABPC的面积的最大值.
【思路引导】
（1）根据已知条件求出，再利用面积公式即可；
（2）将四边形拆成三个三角形，将面积转化为三角函数求再求最值.
【典例6】【2019届河北省衡水中学高三上学期三调考】
如图所示，正三角形的边长为2，分别在三边和上，为的中点，．
（Ⅰ）当时，求的大小；
（Ⅱ）求的面积的最小值及使得取最小值时的值．
【思路引导】第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示，在中，利用正弦定理，用表示，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的和代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定的最小值．
【典例7】【陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学】
某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，，，.
（1）求服务通道的长度；
（2）当时，赛道的长度？
【思路引导】
（1）连接，在中，由余弦定理可得，由等腰三角形的性质结合可得，再由勾股定理可得结果；
（2）在中，，，，直接利用正弦定理定理可得结果.
【针对训练】
1. 【2020年陕西省高三教学质量检测卷（一)】
如图，在中，，，，，D在边上，连接.
（1）求角B的大小；
（2）求的面积.
2. 【天一大联考皖豫联盟2019-2020学年高中毕业班第二次考试】
如图所示，在平面四边形中，.
（1）若，，求的长；
（2）若，，求的面积.
3. 【2020届江西省南昌市第十中学高三上学期期末】
在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.
（1）求的值.
（2）如图，点D在线段AC上，且，若，求面积的最大值.
4. 【福建省德化一中、永安一中、漳平一中2020届高三上学期三校联考】
如图，在四边形 中，,平分,，,的面积为，为锐角.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求 .
5. 【2020届山东省潍坊市高三上学期期末考试】在①;②这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.
在中，角的对边分别为，已知 ，.
(1)求;
(2)如图，为边上一点，，求的面积
6. 【2020届广东省韶关市高三上学期期末调研】
如图，在平面四边形中，，设.
（1）若，求的值；
（2）用表示四边形的面积，并求的最大值.
7. 【湖北省宜昌市2019-2020学年高三期末数学】已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）在中，，为边的中点，为边上一点，且，，求的面积.
8. 【内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高三上学期质量普查调研】
（1）当时，求证：；
（2）如图，圆内接四边形的四个内角分别为、、、.若，，，.求的值.
9. 【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】
如图所示，锐角中，，点在线段上，且，的面积为，延长至，使得.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值.
10. 【北京市房山区2019-2020学年高三上学期期末】
如图，在平面四边形中，，，，，.
（1）求的值；
（2）求，的值.
11. 【2020届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查】
如图，在平面四边形中，，，且.
（1）若，求的值；
（2）求四边形面积的最大值.
12.【2020届广东省东莞市高三期末调研测试】
如图，在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，边上的中线的长为7，求的面积．
类型
对应典例
以两个三角形组合考查解三角形问题
典例1
以两个三角形组合的考查解三角形的开放性问题
典例2
以梯形为背景考查解三角形
典例3
以平面四边形为背景考查解三角形的最值问题
典例4
以半圆和四边形组合而成考查解三角形
典例5
以三角形嵌套三角形为背景考查解三角形
典例6
以五边形为背景考查解三角形
典例7
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第一篇 三角函数与解三角形
专题07 三角形中的组合图形问题
【典例1】【2020届安徽省池州市高三上学期期末考试】
如图所示，在中，的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求b和；
（2）如图，设D为AC边上一点，，求的面积.
【思路引导】
（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到的值，再利用余弦定理，求出，根据正弦定理，求出；（2）根据正弦定理得到，即，根据勾股定理得到，根据三角形面积公式，求出的面积.
解：（1）因为，
所以在中，由正弦定理，
得，
因为，所以，
所以，又，所以，
由余弦定理得，，
所以，在中，由正弦定理，
所以；
（2）在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，而
所以，由，设，
所以，所以，所以，
因为，
所以.
【典例2】【山东省日照市2019-2020学年高三下学期1月校际联考】
在① 面积，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，______，，求.
【思路引导】
选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出的长；
选择②：在，中，分别运用正弦定理，可以求接求出的长；
解：选择①：
所以；由余弦定理可得
所以
选择②
设，则，，
在中，即
所以
在中，，即
所以.
所以，解得，
又，所以，
所以.
【典例3】【河北省唐山市2019届高三上学期期末考试】
如图，在梯形中，，为上一点，，.
（1）若，求；
（2）设，若，求.
【思路引导】
(1)先由题中条件求出，再由余弦定理即可求解；
(2)先由，表示出，进而可用表示出，，再由，即可求解.
解：（1）由，，得.
在中，；
在中，．
在中，由余弦定理得，，
．
（2）因为，所以，．
在中，；
在中，，
由得，，
所以，即，
整理可得
【典例4】【广东省2019届高三上学期期末联考】
如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.
【思路引导】
(1)由正弦定理将化为，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；
(2)先由余弦定理求出的长，将平面四边形的面积转化为两三角形与面积之和，即可求解.
解：（1）因为，且，
所以在中，
所以 所以
所以 因为在中，
所以 因为是的内角所以.
（2）在中，
因为是等腰直角三角形，
所以
所以平面四边形的面积

因为，所以
所以当时，，
此时平面四边形的面积有最大值
【典例5】【2020届重庆市高三11月调研测试卷】
如图，半圆O的直径，点C，P均在半圆周上运动，点P位于C，B两点之间，且.
（1）当时，求的面积.
（2）求四边形ABPC的面积的最大值.
【思路引导】
（1）根据已知条件求出，再利用面积公式即可；
（2）将四边形拆成三个三角形，将面积转化为三角函数求再求最值.
解：（1）由题知，，
，
；
（2）由题知，根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可得，
设半径，，则，
，
，
当时等号成立.
【典例6】【2019届河北省衡水中学高三上学期三调考】
如图所示，正三角形的边长为2，分别在三边和上，为的中点，．
（Ⅰ）当时，求的大小；
（Ⅱ）求的面积的最小值及使得取最小值时的值．
【思路引导】第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示，在中，利用正弦定理，用表示，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的和代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定的最小值．
解：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得．由，得，整理得，所以．
（2）＝
．
当时，取最小值．
【典例7】【陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学】
某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，，，.
（1）求服务通道的长度；
（2）当时，赛道的长度？
【思路引导】
（1）连接，在中，由余弦定理可得，由等腰三角形的性质结合可得，再由勾股定理可得结果；（2）在中，，，，直接利用正弦定理定理可得结果.
解：（1）连接，在中，由余弦定理得： ，
.，，又，，
在中，.
（2）在中，，.由正弦定理得，即：，得，当时，赛道的长度为.
【针对训练】
1. 【2020年陕西省高三教学质量检测卷（一)】
如图，在中，，，，，D在边上，连接.
（1）求角B的大小；
（2）求的面积.
【思路引导】（1）由及两角差的正弦公式，结合正余弦值求得的正弦值，即可得角B的大小；（2）先在中，由余弦定理求出的长度，再利用三角形的面积公式即可求解.
解：（1）在中，，
所以，所以
∵，，∴，
∴
.
因为，所以，∴.
（2）在中，由余弦定理得
，
∴，
解得，∴
.
2. 【天一大联考皖豫联盟2019-2020学年高中毕业班第二次考试】
如图所示，在平面四边形中，.
（1）若，，求的长；
（2）若，，求的面积.
【思路引导】
（1）由，可求出，结合，可求得，在中，由余弦定理可求出的长；
（2）先求得，则，然后利用正弦定理，可求出，进而可求出的面积.
解：
（1）,则是钝角，，可求得.
因为，所以.
因为，所以.
在中，由余弦定理得，即.
解得，或（舍去）.
所以.
（2）由（1）可知，.
在中，因为，所以.
由正弦定理得，
所以.
故的面积.
3. 【2020届江西省南昌市第十中学高三上学期期末】
在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.
（1）求的值.
（2）如图，点D在线段AC上，且，若，求面积的最大值.
【思路引导】
（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解.
（2）由（1）以及余弦定理、基本不等式可得，由即可求解.
解：（1），
由正弦定理，可得，
则
（2）由（1）知,
可得：
，（当且仅当时取等号），
由，可得：
，
的面积最大值为.
4. 【福建省德化一中、永安一中、漳平一中2020届高三上学期三校联考】
如图，在四边形 中，,平分,，
,的面积为，为锐角.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求 .
试题分析: (I)在中,由三角形的面积公式可求得,再利用余弦定理求出；（Ⅱ）在中，由正弦定理求出和,根据题意 平分 ， ,在和 中分别写出正弦定理,得出比例关系,求出.
解:(I)在中，.
因为 ，所以.
因为为锐角，所以.
在 中，由余弦定理得

所以CD的长为.
(II)在中，由正弦定理得
即 ，解得
, 也为锐角.
.
在 中，由正弦定理得
即 ①
在 中，由正弦定理得
即 ②
平分 ，
由①②得 ，解得
因为为锐角，所以 .
5. 【2020届山东省潍坊市高三上学期期末考试】在①;②这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.
在中，角的对边分别为，已知 ，.
(1)求;
(2)如图，为边上一点，，求的面积
【思路引导】
（1）结合正弦定理，条件选择①，则，再利用公式求；
若选择条件②，由正弦定理和诱导公式可得，再根据二倍角公式求得，再根据求解.
（2）解法1:设，在中由余弦定理，解得，再由（1），解得边长，最后求得到的面积；解法2：由 可知，，，再根据正弦定理和面积公式 .
解：
解:若选择条件①，则答案为:
(1)在中，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以.
(2)解法1:设，易知
在中由余弦定理得:，解得.
所以
在中，
所以，所以，
所以
解法2:因为，所以，
因为所以，
所以
因为为锐角，所以
又
所以
所以
若选择条件②，则答案为:
(1)因为，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
则，所以.
(2)同选择①
6. 【2020届广东省韶关市高三上学期期末调研】
如图，在平面四边形中，，设.
（1）若，求的值；
（2）用表示四边形的面积，并求的最大值.
【思路引导】
（1）由余弦定理得，再由正弦定理求得结论；
（2）同（1）由余弦定理表示出，求出两个三角形和的面积，可得，再由三角函数的公式变为一个角的一个三角函数形式，然后可得最大值．
解：（1）在中，由余弦定理知
由已知，
代入上式得：，即
又由正弦定理得：
即：，解得：
（2）在中，由余弦定理知
故
所以
故．
7. 【湖北省宜昌市2019-2020学年高三期末数学】已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）在中，，为边的中点，为边上一点，且，，求的面积.
【思路引导】
（1）由余弦定理得，再由正弦定理得，进而得，即可求解
（2）在中，求得，，再中由正弦定理得，结合三角形的面积公式，即可求解.
解：（1）由余弦定理有，
化简得，
由正弦定理得
∵，∴，
∵，∴，∴ ，又由，∴.
（2）在中，为边的中点，且，
在中，，，所以，，
中由正弦定理得，得，，，
所以
8. 【内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高三上学期质量普查调研】
（1）当时，求证：；
（2）如图，圆内接四边形的四个内角分别为、、、.若，，，.求的值.
【思路引导】
（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）为圆的内接四边形可知，，，，由（1）结论原式可化为，连接、，设，由余弦定理即可求解.
解：
（1）证明.
（2）因为为圆的内接四边形，所以，，，，由此可知：
连接、，设，由余弦定理可得：
，，，，
解得，，那么，，，.
所以原式.
9. 【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】
如图所示，锐角中，，点在线段上，且，的面积为，延长至，使得.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值.
【思路引导】
（Ⅰ）在中，由面积公式得，进而得，再由余弦定理求解即可；（Ⅱ）由，得，在中，再由正弦定理求解即可
解：
（Ⅰ）在中，.
所以.
因为，所以.
由余弦定理得，得.
（Ⅱ）因为，所以.
在中，由正弦定理得，
即，所以.
10. 【北京市房山区2019-2020学年高三上学期期末】
如图，在平面四边形中，，，，，.
（1）求的值；
（2）求，的值.
【思路引导】
（1）由同角三角函数基本关系得，利用两角和的正弦及内角和定理展开求解即可
（2）利用正弦定理得，再利用余弦定理求解
解：（1）∵，，∴
在△中，，
∴
（2）在△中，由正弦定理得，即
解得，∵，，∴，
在△中，，根据余弦定理，
解得
11. 【2020届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查】
如图，在平面四边形中，，，且.
（1）若，求的值；
（2）求四边形面积的最大值.
【思路引导】
（1）根据条件由正弦定理，求出，从而求出，即可求出结果；
（2）设，根据余弦定理求出，将的面积和表示为的函数，由辅助角公式化简面积表达式，再结合正弦函数的最值，即可求解.
解：（1）在中，由正弦定理得，
∴，
∵，∴，
∴
.
（2）设，在中，由余弦定理得
.
∴
.
当时，四边形面积的最大值.
12.【2020届广东省东莞市高三期末调研测试】
如图，在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，边上的中线的长为7，求的面积．
【思路引导】
（1）利用正弦定理化边为角可得,则,进而求得角即可；
（2）由（1）可得,则,设,则,在中,根据余弦定理得,可得,进而求得的面积即可
解：
（1）因为,
根据正弦定理,得,
即,
所以,
整理得,
因为,所以,
又因为,则
（2）由（1）知,又因为,所以,所以,
因为是中点,
设,则,
在中,根据余弦定理,得,
即
即,解得,
故的面积
类型
对应典例
以两个三角形组合考查解三角形问题
典例1
以两个三角形组合的考查解三角形的开放性问题
典例2
以梯形为背景考查解三角形
典例3
以平面四边形为背景考查解三角形的最值问题
典例4
以半圆和四边形组合而成考查解三角形
典例5
以三角形嵌套三角形为背景考查解三角形
典例6
以五边形为背景考查解三角形
典例7