高考数学大题精做专题10解析几何中两类曲线相结合问题(第五篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题10解析几何中两类曲线相结合问题(第五篇)(原卷版+解析)，共23页。
专题10 解析几何中两类曲线相结合问题
【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆：的右焦点为，离心率为，是椭圆上位于第一象限内的任意一点，为坐标原点，关于的对称点为，，圆：.
（1）求椭圆和圆的标准方程；
（2）过点作与圆相切于点，使得点，点在的两侧.求四边形面积的最大值.
【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点，直线，为直角坐标平面上的动点，过动点作的垂线，垂足为点，且满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线与（1）中的轨迹相切于点，，且与圆心为的圆，相交于，两点，当的面积最大时，求点的坐标.
【典例3】【安徽省滁州市民办高中2020届月考】
如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【典例4】【2020届湖南省长沙市高三上学期期末】已知椭图：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线截抛物线所得的弦长为.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为.当直线绕点旋转时，直线是否经过一定点？请判断并证明你的结论.
【典例5】【湖北省黄石市2020届高三模拟】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）记抛物线C的准线与x轴的交点为N，试问是否存在常数λ∈R，使得且都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
【针对训练】
1. 【浙江省杭州市学军中学2020届月考】已知点，点是圆上的动点，为线段的中点，为线段上点，且，设动点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）直线与曲线相交于、两点，与圆相交于另一点，且点、位于点的同侧，当面积最大时，求的值.
2. 【2020届江西省赣州市石城中学高三上学期第一次月考】已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为．
（1）求抛物线和双曲线的标准方程；
（2）已知直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，，求的最大值．
3. 【上海市建平中学2019届高三下学期3月月考】设是以为焦点的抛物线，是以直线与的渐近线，以为一个焦点的双曲线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若与在第一象限有两个公共点，求的取值范围，并求的最大值；
（3）是否存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.
4. 【2019年11月四川省攀枝花市一模】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于、两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，试问直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
5. 【黑龙江省2020届仿真模拟】设直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，直线，，，（为坐标原点）的斜率分别为，，，，若.
（1）是否存在实数，满足，并说明理由；
（2）求面积的最大值.
6【广东省广州市2020届高三模拟】已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.
类型
对应典例
圆与椭圆相结合问题
典例1
圆与抛物线相结合问题
典例2
椭圆与双曲线相结合问题
典例3
椭圆与抛物线相结合问题
典例4
双曲线与抛物线相结合问题
典例5
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第五篇 解析几何
专题10 解析几何中两类曲线相结合问题
【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆：的右焦点为，离心率为，是椭圆上位于第一象限内的任意一点，为坐标原点，关于的对称点为，，圆：.
（1）求椭圆和圆的标准方程；
（2）过点作与圆相切于点，使得点，点在的两侧.求四边形面积的最大值.
【思路引导】
（1）设椭圆左焦点为，连接，，易知四边形为平行四边形，则，结合离心率为，可求得，即可求得椭圆和圆的标准方程；
（2）设，代入椭圆方程可得到的关系式，然后分别求得的面积的表达式，即可得到四边形面积的表达式，结合的关系式，求面积的最大值即可.
【详解】
（1）设椭圆左焦点为，连接，，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
又离心率为，所以，.
故所求椭圆的标准方程为，圆的标准方程.
（2）设，则，故.
所以，所以，
所以.
又，，所以.
故.
由，得，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立.
【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点，直线，为直角坐标平面上的动点，过动点作的垂线，垂足为点，且满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线与（1）中的轨迹相切于点，，且与圆心为的圆，相交于，两点，当的面积最大时，求点的坐标.
【思路引导】
（1）设，得到，根据题意得到点的轨迹方程；（2）根据题意表示出切线，并且当时，面积最大，得到圆心到的距离，构造出关于，的关系式，求出点坐标.
【详解】
（1）设，
点，直线，
过动点作的垂线，垂足为点，
．
，
整理，得动点的轨迹的方程为．
（2），所以
求导得
切点，所以
切线斜率
所以切线为
整理得，，
，
，，
则时，面积最大，
此时圆心到直线的距离为．
则有，
解得，点的坐标为．
【典例3】【安徽省滁州市民办高中2020届月考】
如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【思路引导】
(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，
2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.
又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1.
由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝.
因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4.
因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1.
(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0，
显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|AB|＝
＝.
同理可得|CD|＝.
则，
又k1·k2＝1，
所以.
故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.
因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．
【典例4】【2020届湖南省长沙市高三上学期期末】已知椭图：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线截抛物线所得的弦长为.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为.当直线绕点旋转时，直线是否经过一定点？请判断并证明你的结论.
【思路引导】
（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出，，即可得到椭圆方程抛物线方程；
（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设，，，，，，求得直线的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点．
【详解】
解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，可得，则：，
代入，得，即，所以，
则有，.
所以椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（2）依题意，当直线的斜率不为0时，设其方程为，
联立，得，
设，，则，由，解得或，
且，，
根据椭圆的对称性可知，若直线过定点，此定点必在轴上，设此定点为，
因斜率，得，即，
即，即，
即，得，
由的任意性可知.
当直线的斜率为0时，直线的方程即为，也经过点，
所以当或时，直线恒过一定点.
【典例5】【湖北省黄石市2020届高三模拟】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）记抛物线C的准线与x轴的交点为N，试问是否存在常数λ∈R，使得且都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
【思路引导】
（1）由双曲线方程求出焦点坐标，结合题意可得p＝2，即得抛物线方程；
（2）依题意设，联立，消去，得．利用根与系数的关系结合，求得，再由求得的值，即可求得实数λ的值．
【详解】
（1）由双曲线，得，，
则，即双曲线的焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），
由抛物线C：y2＝2px（p＞0），且其焦点与双曲线的一个焦点重合，
可得，p＝2．
∴抛物线方程为y2＝4x；
（2）依题意，F（1，0），设l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x，得y2﹣4ty﹣4＝0．
∴，…①
且x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，
又，则（1﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣1，y2），即y1＝﹣λy2，
代入①得，，消去y2得，，且N（﹣1，0），
|NA|2+|NB|2＝（x1+1）2+y12+（x2+1）2+y22＝x12+x22+2（x1+x2）+2+y12+y22
2
4t（y1+y2）+8，
＝（t2+1）（16t2+8）+4t•4t+8＝16t4+40t2+16．
由16t4+40t2+16，解得或（舍），
∴，故λ＝2或．
【针对训练】
1. 【浙江省杭州市学军中学2020届月考】已知点，点是圆上的动点，为线段的中点，为线段上点，且，设动点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）直线与曲线相交于、两点，与圆相交于另一点，且点、位于点的同侧，当面积最大时，求的值.
【思路引导】
（Ⅰ）根据中垂线的概念，可得，然后根据椭圆的定义，可得结果.
（Ⅱ）根据面积最大，找到点，得到直线方程，然后联立椭圆的方程，计算，同时利用圆的弦长公式计算，根据，可得结果.
【详解】
（Ⅰ）由题可知：圆
圆心，半径为
又为线段的中点，在上且
所以为的中垂线，所以
又
所以点的轨迹为椭圆，
设曲线的方程
则
由
所以曲线的方程
（Ⅱ）如图
假设点在轴上方，设点
当面积最大时，则轴
所以点
则直线方程为：，即
点到直线的距离为
所以
所以
所以
2. 【2020届江西省赣州市石城中学高三上学期第一次月考】已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为．
（1）求抛物线和双曲线的标准方程；
（2）已知直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，，求的最大值．
【思路引导】
（1）由双曲线过点，且其离心率为．可得，，，联立解得：，，即可得出双曲线的标准方程．可得，解得．可得抛物线的标准方程．
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：．此时，．的方程为：．可得．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，由题意可得：．联立化为：．设，，，．利用根与系数的关系可得．设的半径为，．过点作，垂足为．在中，，可得范围，及其范围，即可得出结论．
【详解】
（1）由双曲线过点，且其离心率为．
，，，
联立解得：，．
双曲线的标准方程为：．
由，可得，解得．
抛物线的标准方程为：．
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：．此时，．
的方程为：．
可得，．．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
由题意可得：．联立，化为：．
设，，，．则，．
，
．
设的半径为，则．
过点作，垂足为．
在中，．
，则．
综上可得：的最大值为．
3. 【上海市建平中学2019届高三下学期3月月考】设是以为焦点的抛物线，是以直线与的渐近线，以为一个焦点的双曲线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若与在第一象限有两个公共点，求的取值范围，并求的最大值；
（3）是否存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.
【思路引导】
（1）可知焦点坐标在轴上，可设，再根据两条渐近线与得出关系式，再由焦点是，结合即可求得双曲线方程；
（2）由与在第一象限内有两个公共点和，联立双曲线和抛物线方程，可得的取值范围；设，用坐标表示，利用韦达定理及配方法，可得的最大值；
（3）由（2）及重心公式可得的重心，，即，，假设恰好在双曲线的渐近线上，代入渐近线方程，即可求得结论．
【详解】
（1）由题可知焦点为，故焦点在轴上，设双曲线的方程为
是以直线与为渐近线，
，，，双曲线方程为；
（2）抛物线的焦点，，联立双曲线方程消得：，
可得，与在第一象限内有两个公共点和，，
设，则
将代入得，函数的对称轴为，，时，的最大值为9；
（3）由（2）知的重心为，，
，，
假设恰好在双曲线的渐近线上，代入可得，，或，，
存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上
4. 【2019年11月四川省攀枝花市一模】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于、两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，试问直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【思路引导】
（1）由题意得出，由题意知点在椭圆上，由此得出关于、的方程组，求出、的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）解法一：由题意可知，直线的斜率不为零，然后分直线的斜率存在且不为零和直线的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由得出，并写出直线的方程，由此可得出直线所过定点的坐标；在第二种情况下可得出直线为轴，即可得出直线过定点，由此得出结论；
解法二：由题意可知，直线的斜率不为零，然后分直线的斜率存在且不为零和直线的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，由点差法可得出直线的斜率为，可写出直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标；在第二种情况下可得出直线为轴，即可得出直线过定点，由此得出结论.
【详解】
（1）抛物线的焦点为，准线为.
由于抛物线的准线截椭圆所得弦长为，
则点在椭圆上，则有，解得，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）法一：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.
当直线的斜率存在且不为时，易知，设直线的方程为，
代入椭圆方程并化简得：.
设，，则，解得.
因为直线是线段的垂直平分线，
故直线的方程为，即，即.
令，此时，，于是直线过定点；
当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点.
综上所述，直线过定点；
法二：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.
当直线的斜率存在且不为时，设，，
则有，，
两式相减得，
由线段的中点为，则，，
故直线的斜率，
因为直线是线段的垂直平分线，
故直线的方程为，即，即.
令，此时，，于是直线过定点；
当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点
综上所述，直线过定点.
5. 【黑龙江省2020届仿真模拟】设直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，直线，，，（为坐标原点）的斜率分别为，，，，若.
（1）是否存在实数，满足，并说明理由；
（2）求面积的最大值.
【思路引导】
设直线方程为，，，，，联立直线方程与抛物线方程可得，，由直线垂直的充分必要条件可得.联立直线方程与椭圆方程可得，.
（1）由斜率公式计算可得.
（2）由弦长公式可得.且点到直线的距离，故，换元后结合均值不等式的结论可知面积的最大值为.
【详解】
设直线方程为，，，，，
联立和，
得，
则，，.
由，所以，得.
联立和，得
，
所以，.
由，得.
（1）因为，，
所以.
（2）根据弦长公式，得：
.
根据点到直线的距离公式，得，
所以，
设，则，
所以当，即时，有最大值.
6【广东省广州市2020届高三模拟】已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.
【思路引导】
（I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说，，由此求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得一个等量关系，利用表示，进而用基本不等式求得的最大值.
试题解析：
（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.
因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.
故椭圆的方程为.
（Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在.
因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.
代入椭圆方程得 .
因为 ，
所以.
设，，
根据根与系数的关系得，.
则 .
因为，即 .
整理得.
令，则.
所以 .
等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.
故的最大值为.
类型
对应典例
圆与椭圆相结合问题
典例1
圆与抛物线相结合问题
典例2
椭圆与双曲线相结合问题
典例3
椭圆与抛物线相结合问题
典例4
双曲线与抛物线相结合问题
典例5