高考数学大题精做专题11解析几何与平面向量相结合问题(第五篇)(原卷版+解析)

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专题11 解析几何与平面向量相结合问题
【典例1】【宁夏银川一中2020届高三月考】已知，两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点满足．
求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
一条纵截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程．
【典例2】【云南省楚雄州2020届高三模拟】已知椭圆()的左、右焦点分别是，，点为的上顶点，点在上，，且.
（1）求的方程；
（2）已知过原点的直线与椭圆交于，两点，垂直于的直线过且与椭圆交于，两点，若，求.
【典例3】【2020届泉州市高三毕业班线上质量检测】设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点.
（1）若，求的方程；
（2）设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，证明:为定值.
【典例4】【2019届安徽省安庆一中高三下学期6月第四次模拟考试】已知点是椭圆上任意一点，点，抛物线上点的纵坐标为，.
（1）求抛物线的标准方程：
（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值：若不是，请说明理由.
【针对训练】
1. 【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点，直线，为直角坐标平面上的动点，过动点作的垂线，垂足为点，且满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线与（1）中的轨迹相切于点，，且与圆心为的圆，相交于，两点，当的面积最大时，求点的坐标.
2. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且
求抛物线的方程；
动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试】已知点，直线为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线与分别交轨迹于四点.求的取值范围.
4. 【天津市第一中学2019届高三下学期第四次月考】如图已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，.
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）设为椭圆上异于且不重合的两点，且的平分线总是垂直于轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.
5. 【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试】已知O为坐标原点，椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：与椭圆C相交于E，D两点，使得？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！
类型
对应典例
解析几何与向量线性运算相结合问题
典例1
解析几何与数量积运算相结合问题
典例2
解析几何与共线相结合问题
典例3
解析几何与模长相结合问题
典例4
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第五篇 解析几何
专题11 解析几何与平面向量相结合问题
【典例1】【宁夏银川一中2020届高三月考】已知，两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点满足．
求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
一条纵截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程．
【思路引导】
（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．
（2）直线l1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k的值，问题得以解决．
【详解】
(1) 因为
即
所以
所以
又因为,所以
即:,即
所以椭圆的标准方程为
(2) 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为
联立直线和椭圆方程
得:
由,得
设
以直径的圆恰过原点
所以,
即
也即
即
将(1)式代入,得
即
解得,满足（*）式，所以
所以直线
【典例2】【云南省楚雄州2020届高三模拟】已知椭圆()的左、右焦点分别是，，点为的上顶点，点在上，，且.
（1）求的方程；
（2）已知过原点的直线与椭圆交于，两点，垂直于的直线过且与椭圆交于，两点，若，求.
【思路引导】
（1）设，由已知，求得的坐标为，代入椭圆方程，得；再由，求得，结合，求出值，即可求得结论；
（2）先讨论直线斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出；
再将直线方程与椭圆联立，求出，由求出的值，进而求出，再求出点到直线的距离，即可求解.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为，∵，
∴的坐标为.∵在上，
将代人，得.
又∵，∴，
∴.又∵，
∴，，的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，，不符合题意；
当直线的斜率为0时，，，也不符合题意.
∴可设直线的方程为,
联立得，
则，.
.
由得或
∴.
又∵，∴，∴，
∴.∵到直线的距离，
∴.
【典例3】【2020届泉州市高三毕业班线上质量检测】设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点.
（1）若，求的方程；
（2）设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，证明:为定值.
【思路引导】
（1）根据题意，设直线的方程为，代入椭圆方程消，根据韦达定理求出两根之和、两根之积，由，可得，两根之和、两根之积即可求解.
（2）由（1）得的中点坐标为，利用弦长公式求出，根据题意可得的垂直平分线方程，求出点的坐标，进而求出，进而可求解.
【详解】
（1）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，
代入得，
设，则，
若，则，解得，
所以，的方程为
（2）由（1）得的中点坐标为
所以
因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与的垂直平分线的交点，
的垂直平分线为
令，得，即，
所以，
，所以为定值.
【典例4】【2019届安徽省安庆一中高三下学期6月第四次模拟考试】已知点是椭圆上任意一点，点，抛物线上点的纵坐标为，.
（1）求抛物线的标准方程：
（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值：若不是，请说明理由.
【思路引导】
（1）首先设，根据得到点的坐标，再代入抛物线方程即可.
（2）首先设，，根据，得到，再利用两点之间距离公式代入化简计算即可.
【详解】
（1）由题知：设，，.
因为，所以.即.
又因为点在抛物线上，
所以，.
所以抛物线的标准方程为.
（2）设，，因为，
所以，即，，.
所以
又因为，.
所以，
所以为定值，且定值为.
【针对训练】
1. 【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点，直线，为直角坐标平面上的动点，过动点作的垂线，垂足为点，且满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线与（1）中的轨迹相切于点，，且与圆心为的圆，相交于，两点，当的面积最大时，求点的坐标.
【思路引导】
（1）设，得到，根据题意得到点的轨迹方程；（2）根据题意表示出切线，并且当时，面积最大，得到圆心到的距离，构造出关于，的关系式，求出点坐标.
【详解】
（1）设，
点，直线，
过动点作的垂线，垂足为点，
．
，
整理，得动点的轨迹的方程为．
（2），所以
求导得
切点，所以
切线斜率
所以切线为
整理得，，
，
，，
则时，面积最大，
此时圆心到直线的距离为．
则有，
解得，点的坐标为．
2. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且
求抛物线的方程；
动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路引导】
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得的坐标，代入抛物线方程，解得，进而得到抛物线的方程；在轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，可得轴平分，设，，联立和，根据恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得的方程，求得，可得结论．
【详解】
抛物线C：的焦点为，
准线方程为，
即有，即，
则，解得，
则抛物线的方程为；
在x轴上假设存在定点其中，
使得与向量共线，
由，均为单位向量，且它们的和向量与共线，
可得x轴平分，
设，，
联立和，
得，
恒成立．
，
设直线DA、DB的斜率分别为，，
则由得，
，
，
联立，得，
故存在满足题意，
综上，在x轴上存在一点，使得x轴平分，
即与向量共线．
3. 【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试】已知点，直线为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线与分别交轨迹于四点.求的取值范围.
【思路引导】
（1）设动点，则，由展开计算得到的关系式即可；(2)当直线的斜率不存在（或者为0）时，可求出四点坐标，即可得到；当直线的斜率存在且不为0时，设为，直线的方程为，与轨迹的方程联立，结合根与系数的关系可得到+的表达式，然后利用函数与导数知识可求出的取值范围．
【详解】
（1）设动点，则，
由，则，
所以，
化简得.
故点的轨迹的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，轴，
可设，
，
当直线的斜率为0时，轴，同理得，
当直线的斜率存在且不为0时，设为，则直线的方程为：，
设，由得:
，
则
所以，
则，
直线的方程为：，
同理可得：，
所以
令，则
，
，
由，得；，得；
在上单调递减，在上单调递增
，
又，故.
综上所述，的取值范围是.
4. 【天津市第一中学2019届高三下学期第四次月考】如图已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，.
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）设为椭圆上异于且不重合的两点，且的平分线总是垂直于轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.
【思路引导】
（Ⅰ）易知根据条件确定形状，即得C坐标，代入椭圆方程可得，（Ⅱ）即先判断是否成立，设的直线方程，与椭圆联立方程组解得坐标，根据、关系可得坐标，利用斜率坐标公式即得斜率，进而判断成立，然后根据两点间距离公式计算长度最大值，即可得的最大值.
【详解】
（Ⅰ）∵， ∴
又，即，2
∴是等腰直角三角形
∵， ∴
因为点在椭圆上，∴∴
∴所求椭圆方程为
（Ⅱ）对于椭圆上两点、，∵的平分线总是垂直于轴
∴与所在直线关于对称，设且，则，
则的直线方程 ①
的直线方 ②
将①代入得 ③
∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，∴
以替换，得到.

因为,所以∴ ∴，∴存在实数，使得
当时即时取等号，
又，
5. 【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试】已知O为坐标原点，椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：与椭圆C相交于E，D两点，使得？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！
【思路引导】
（1）由题意列出关于a,b的关系式，解得a，b即可.
（2）将直线与椭圆联立，将向量数量积的运算用坐标形式表示，利用根与系数之间的关系确定k的取值范围．
【详解】
（1）在中，令，得，解得.
由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，
得，
所以.①
因为直线：与椭圆相切，则.②
将②代入①，得.
故椭圆的标准方程为.
（2）设点，.
由（1）知，则直线的方程为.
联立得，
则恒成立.
所以，，
.
因为，
所以.即.
即 ，
得，得，
即，
解得；
∴直线存在，且的取值范围是.
类型
对应典例
解析几何与向量线性运算相结合问题
典例1
解析几何与数量积运算相结合问题
典例2
解析几何与共线相结合问题
典例3
解析几何与模长相结合问题
典例4