高考数学微专题集专题3阿基米德三角形微点2阿基米德三角形综合训练(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题3阿基米德三角形微点2阿基米德三角形综合训练(原卷版+解析)，共42页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：
①点必在抛物线的准线上；②．
若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
(2023·江西九江·高二期末）
2．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（ ）
A．1B．2C．D．3
3．阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P.给出如下结论，其中正确的为（ ）
（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；
（2）点P的坐标是；
（3）的边所在的直线方程为；
（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）.
A．（2）（3）（4）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．（1）（3）（4）
（2023·云南师大附中高三月考）
4．过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：
①点必在抛物线的准线上；
②；
③设、，则的面积的最小值为；
④；
⑤平行于轴.
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
(2023·河南·林州一中高二开学考试）
5．我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；
②；
③．
已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（ ）.
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随位置变化前三种情况都有可能关系
(2023·重庆·西南大学附中高二月考）
8．我们把圆锥曲线的弦与过弦的端点，处的两条切线所围成的三角形（为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”，抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下性质：①点必在抛物线的准线上；②；③.已知直线：与抛物线：交于，点，若，记此时抛物线 的“阿基米德三角形”为，则点为（ ）
A．B．
C．D．
(2023·陕西西安·二模）
9．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．点P的坐标为
10．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．过抛物线的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线，相交于点P，又常被称作阿基米德三角形．下面关于的描述其中正确的是（ ）
A．P点必在抛物线的准线上；
B．设，，则的面积S的最小值为；
C．
D．PM平行于x轴．
(2023·重庆·模拟）
12．阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：的焦点为F，过A、B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．点P的坐标为D．
(2023·江苏徐州·模拟）
13．阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为，弦的中点为C，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（ ）
A．点B．轴C．D．
(2023江苏省前黄高级中学高三月考）
14．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（ ）
A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上
B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为
C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值
D．一般情况下，阿基米德三角形的面积
(2023湖北·武汉市第十一中学高二月考）
15．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．存在点，使得
B．
C．对于任意的点，必有向量与向量共线
D．面积的最小值为
(2023·江苏·徐州市第七中学高三月考）
16．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点C在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线与抛物线交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段的中点为D，直线轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（ ）
A．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6
B．切线l的方程为
C．若，则弦对应的抛物线弓形面积大于
D．若分别取的中点，，过，且垂直y轴的直线分别交E于，，则
三、填空题
(2023·浙江台州·高三期末）
17．古希腊著名数学家阿基米德是这样求抛物弓形面积的：以抛物弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点作弓形的内接三角形；在以该内接三角形两腰为弦的两个抛物线弓形内用同样的方法作出内接三角形，等等．从第二次开始，每次作出的内接三角形面积之和是前一次所作出的内接三角形面积和的．若第一次所作的内接三角形面积为1，则第三次所作的内接三角形面积和为________．
（2023·江苏无锡·高三月考）
18．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C：交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为_______．
19．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的．已知为抛物线上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为_______；弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为_________．
四、解答题
(2023·江苏苏州·模拟）
20．已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点．
(1)求曲线，的方程；
(2)点P是椭圆的点，且过点P可以作抛物线的两条切线，切点为A，B，求三角形面积的最大值．
(2023·广东·高二月考）
21．已知线段是抛物线的弦，且过抛物线焦点.
(1)过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，求证：三点共线(为坐标原点)；
(2)设是抛物线准线上一点，过作抛物线的切线，切点为.
求证：（i）两切线互相垂直；
（ii）直线过定点，请求出该定点坐标.
(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟）
22．如图，过点作抛物线的两条切线，，切点分别是，，动点为抛物线上在，之间部分上的任意一点，抛物线在点处的切线分别交，于点，.
(1)若，证明：直线经过点；
(2)若分别记，的面积为，，求的值.
23．过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合），交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）.
现有抛物线:，直线：（其中，，是常数，且），直线交抛物线于，两点，设弦的阿氏三角形是.
（1）指出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求的面积（用，，表示）；
（3）称的阿氏为一阶的；、的阿氏、为二阶的；、、、的阿氏三角形为三阶的；……，由此进行下去，记所有的阶阿氏三角形的面积之和为，探索与之间的关系，并求.
专题3 阿基米德三角形 微点2 阿基米德三角形综合训练
专题3 阿基米德三角形 微点2 阿基米德三角形综合训练
一、单选题
1．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：
①点必在抛物线的准线上；②．
若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
(2023·江西九江·高二期末）
2．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（ ）
A．1B．2C．D．3
3．阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P.给出如下结论，其中正确的为（ ）
（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；
（2）点P的坐标是；
（3）的边所在的直线方程为；
（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）.
A．（2）（3）（4）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．（1）（3）（4）
（2023·云南师大附中高三月考）
4．过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：
①点必在抛物线的准线上；
②；
③设、，则的面积的最小值为；
④；
⑤平行于轴.
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
(2023·河南·林州一中高二开学考试）
5．我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；
②；
③．
已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（ ）.
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随位置变化前三种情况都有可能关系
(2023·重庆·西南大学附中高二月考）
8．我们把圆锥曲线的弦与过弦的端点，处的两条切线所围成的三角形（为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”，抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下性质：①点必在抛物线的准线上；②；③.已知直线：与抛物线：交于，点，若，记此时抛物线 的“阿基米德三角形”为，则点为（ ）
A．B．
C．D．
(2023·陕西西安·二模）
9．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．点P的坐标为
10．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．过抛物线的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线，相交于点P，又常被称作阿基米德三角形．下面关于的描述其中正确的是（ ）
A．P点必在抛物线的准线上；
B．设，，则的面积S的最小值为；
C．
D．PM平行于x轴．
(2023·重庆·模拟）
12．阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：的焦点为F，过A、B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．点P的坐标为D．
(2023·江苏徐州·模拟）
13．阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为，弦的中点为C，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（ ）
A．点B．轴C．D．
(2023江苏省前黄高级中学高三月考）
14．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（ ）
A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上
B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为
C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值
D．一般情况下，阿基米德三角形的面积
(2023湖北·武汉市第十一中学高二月考）
15．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．存在点，使得
B．
C．对于任意的点，必有向量与向量共线
D．面积的最小值为
(2023·江苏·徐州市第七中学高三月考）
16．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点C在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线与抛物线交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段的中点为D，直线轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（ ）
A．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6
B．切线l的方程为
C．若，则弦对应的抛物线弓形面积大于
D．若分别取的中点，，过，且垂直y轴的直线分别交E于，，则
三、填空题
(2023·浙江台州·高三期末）
17．古希腊著名数学家阿基米德是这样求抛物弓形面积的：以抛物弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点作弓形的内接三角形；在以该内接三角形两腰为弦的两个抛物线弓形内用同样的方法作出内接三角形，等等．从第二次开始，每次作出的内接三角形面积之和是前一次所作出的内接三角形面积和的．若第一次所作的内接三角形面积为1，则第三次所作的内接三角形面积和为________．
（2023·江苏无锡·高三月考）
18．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C：交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为_______．
19．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的．已知为抛物线上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为_______；弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为_________．
四、解答题
(2023·江苏苏州·模拟）
20．已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点．
(1)求曲线，的方程；
(2)点P是椭圆的点，且过点P可以作抛物线的两条切线，切点为A，B，求三角形面积的最大值．
(2023·广东·高二月考）
21．已知线段是抛物线的弦，且过抛物线焦点.
(1)过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，求证：三点共线(为坐标原点)；
(2)设是抛物线准线上一点，过作抛物线的切线，切点为.
求证：（i）两切线互相垂直；
（ii）直线过定点，请求出该定点坐标.
(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟）
22．如图，过点作抛物线的两条切线，，切点分别是，，动点为抛物线上在，之间部分上的任意一点，抛物线在点处的切线分别交，于点，.
(1)若，证明：直线经过点；
(2)若分别记，的面积为，，求的值.
23．过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合），交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）.
现有抛物线:，直线：（其中，，是常数，且），直线交抛物线于，两点，设弦的阿氏三角形是.
（1）指出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求的面积（用，，表示）；
（3）称的阿氏为一阶的；、的阿氏、为二阶的；、、、的阿氏三角形为三阶的；……，由此进行下去，记所有的阶阿氏三角形的面积之和为，探索与之间的关系，并求.
参考答案：
1．A
分析：由为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，得到点，进而得到直线的斜率，再由，得到直线的斜率即可.
【详解】设抛物线的焦点为，
由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，
所以点必在抛物线的准线上，
所以点，
直线的斜率为．
又因为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
故选：A．
2．D
分析：根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时，
，即，
故选：D．
3．D
分析：设，，，由导数的几何意义得切线斜率，
利用焦点弦性质得，正确；
写出切线方程，联立求出点坐标，得（2）错误；
用两点坐标表示出，写出直线方程，并化简可得（3）正确；
设为抛物线弦的中点，立即得（4）正确；
【详解】由题意设，，，由，得，则，所以，，若弦过焦点，∴，∴，∴，故（1）正确；
以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，联立消去得，将代入，得，所以，故（2）错误；
设为抛物线弦的中点，的横坐标为，因此则直线平行于轴，即平行于抛物线的对称轴，故（4）正确；设直线的斜率为，故直线的方程为，化简得，故（3）正确，
故选：D.．
【点睛】本题考查直线与抛物线相交，考查导数的几何意义，焦点弦性质，考查学生的推理论证能力，属于中档题．
4．B
【解析】作出图形，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点的坐标，可判断①的正误；利用直线、斜率的关系可判断②的正误；计算出的面积的表达式，可判断③的正误；利用直线、的斜率关系可判断④的正误；求出直线的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论.
【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为.
证明如下：
由于点在抛物线上，则，
联立，可得，即，，
所以，抛物线在其上一点处的切线方程为.
如下图所示：
设、，设直线的方程为，
联立，消去得，
由韦达定理可得，，
对于命题①，抛物线在点处的切线方程为，即，
同理可知，抛物线在点处的切线方程为，
联立，解得，所以点的横坐标为，
即点在抛物线的准线上，①正确；
对于命题②，直线的斜率为，直线的斜率为，，
所以，，②正确；
对于命题④，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时；
当不与轴垂直时，直线的斜率为，
直线的斜率为，，则.
综上，，④正确；
对于命题③，，
，
所以，，
当且仅当时，等号成立，③错误；
对于命题⑤，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时直线与轴重合，⑤错误.
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查了抛物线的焦点弦的几何性质以及韦达定理法的应用，考查计算能力，属于中等题.
5．A
分析：根据给定条件求出直线PF方程，进而求出点P坐标及长即可求出的面积.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线经过抛物线的焦点，
依题意，，设，，
由消去y并整理得，则，，
，解得，即，
当时，因为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率，直线PF方程为：，
点P必在抛物线的准线上，点，，
又，于是得，
由对称性可知，当时，同理有，
所以的面积是.
故选：A
6．C
【解析】设出直线的方程，利用弦长公式求出弦长，求出两条切线的方程得出点的坐标，利用三角形的面积公式可得.
【详解】设，，由题意可得直线AB的斜率不为0,
因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程；
联立得，
所以，
由抛物线的性质可得过点，的抛物线的切线方程为：
，
联立得，，即.
点到直线的距离，
当且仅当时取到最小值.
故选：C.
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理求解弦长，根据点到直线的距离求出三角形的高，根据面积公式的特点求出最值，侧重考查数学运算的核心素养.
7．B
分析：本题首先可根据题意绘出图像，然后设出直线，与抛物线方程联立得出，再然后设出过点的切线，与抛物线方程联立得出，用同样的方式设出过点的切线，得出，最后根据即可得出结果.
【详解】如图，结合题意绘出 图像：
设，，则，，
设直线，
联立，整理得，则，，
设过点的切线为，
联立，整理得，
则，即，
设过点的切线为，同理可得，
则，即，，
故是直角三角形，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的相关问题的求解，考查韦达定理和判别式的应用，考查学生对“阿基米德三角形”的理解，若两条直线的斜率乘积为，则这两条直线互相垂直，考查计算能力，是中档题.
8．A
分析：设，，求出过点的切线方程，两方程联立方程组解得点坐标，直线的方程代入抛物线方程，应用韦达定理得，由焦点弦长公式求得，从而可得点坐标．
【详解】设，，过点的切线方程为，
由得，
，，，
切线方程为，化简得，
同理过点的切线方程是，
由，得，
由，得，
，，
直线过焦点，
所以，，
，异号，所以，，
，
所以．
故选：A．
9．D
分析：联立方程可解得，则，根据导数可得，可判断，利用点斜式可求得两条切线方程和，联立求P，再求，可判断．
【详解】联立方程，消去得：，解得或
即，则，A正确；
∵，即
对于，切线斜率分别为
∴，即，B正确；
在点A的切线方程为，即
同理可得在点B的切线方程为
联立方程，解得，即P，D不正确；
∵，则，
∴，即，C正确；
故选：D．
10．C
分析：设出直线方程，联立抛物线求得，通过PF⊥AB求得，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可.
【详解】
易知，焦点，准线方程，直线斜率必然存在，设，，，联立化简得， 显然；又PF⊥AB可得，即，化简得，过作轴交于点，可得为中点，故，故，当且仅当时取等. 故三角形PAB的面积的最小值为4.
故选：C.
11．ACD
分析：利用抛物线的性质及几何意义和直线与抛物线的位置关系逐项判断即可；
【详解】解：设，，
由，得
则过A，B的切线方程分别为，，
所以，，
设直线AB为，与抛物线联立得，
所以，
直线AB过焦点，即
所以，
所以，
所以P点必在抛物线的准线上，且PM平行于x轴，所以AD正确；
设A，B在准线上的投影为，
，
则
，
则，
当轴时，取等号，所以B错误；
当AB斜率不存在时，易知；
当AB斜率存在时，，
所以，C正确，
故选：ACD．
12．ABD
分析：由直线方程与抛物线方程联立，解得两点的坐标，计算线段的长判断A，利用导数的几何意义求得切线方程，由切线斜率关系判断B，两切线方程联立求得交点的坐标判断C，由直线的斜率关系判断D.
【详解】设，，
联立，可得，
解得或，
不妨设，，则，，
故，，，A项正确；
又因为，所以，故直线PA的斜率为，
直线PA的方程为，即，
同理可得直线PB的方程为，，
所以，B项正确；
联立，可得，
故点P的坐标为，C项错误；
易知点F的坐标为，，，
所以，D项正确．
故选：ABD.
13．BCD
分析：设，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理结合导数逐项计算后可得正确的选项.
【详解】由消y可得
令，
，
，
解得，，A错．
，∴轴，B对．
，∴，D对．
，∴，C对，
故选：BCD．
14．ABC
分析：设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.
A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；
B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；
C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；
D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可..
【详解】由题意可知：直线一定存在斜率，
所以设直线的方程为：，
由题意可知：点，不妨设，
由，所以直线切线的方程分别为：
，
两方程联立得：，
解得：，所以点坐标为：，
直线的方程与抛物线方程联立得：
.
A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ，
因为过抛物线的焦点，所以，而，
显然点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；
B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，
即，
因为 ，所以化简得：，
此时， 点坐标为：，
因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，
所以，
因此正三角形的边长为，
所以正三角形的面积为，
故本选项说法正确；
C：阿基米德三角形为直角三角形，当时，
所以，
直线的方程为：
所以点坐标为：，点 到直线的距离为：
，
，
因为，所以 ，
因此直角的面积为：，
当且仅当时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确；
D：因为，所以
，
点到直线的距离为：
所以阿基米德三角形的面积，
故本选项说法不正确.
故选：ABC
【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.
15．BCD
分析：关于阿基米德三角形的结论，需要逐个选项去判断，对于A，，.对于B，可得处的切线方程分别为：，，可以得出Q的坐标进而可以验证，对于C选项，设的中点为，利用平行关系可以做出判断. 对于D，如图，设准线与轴的交点为，利用三角形面积公式可以判断是正确的.
【详解】由题意画图如下：
设，，，．
设直线，
联立，化为，
得到，．
设过点的切线为，
联立，整理可得，
由△，可得．
同理可得过点的切线斜率为，
对于A，，，故A错；
对于B，可得，处的切线方程分别为：，，
可得，，
，
当时，，直线AB斜率不存在，两直线垂直，，
．
故B正确；
当，又因为直线的斜率为，
，
．故B正确；
对于C，设的中点为，则由，轴，
向量，
向量与向量共线，故C正确；
对于D，如图，设准线与轴的交点为，
面积的，当最短时（最短为，也最短，最短为，面积的最小值为，故正确．
故选：BCD．
16．ABD
分析：A选项直接通过题目中给出的条件进行判断；B选项联立直线抛物线求出A点坐标，求导确定斜率，写出切线方程进行判断；C选项令，进行判断；
D选项根据条件依次求出各点坐标，分别计算三角形的面积进行判断.
【详解】
A选项：内接三角形的面积，正确；
B选项：，解得，又A为第一象限的点，，
，，故切线方程为，即，正确；
C选项：由，得，令，，弓形面积为，
所以不等式不成立，错误；
D选项：由知，轴，，又的中点，，易求，， ，，因此成立，正确.
故选：ABD.
【点睛】本题需要依次判断四个选项，A选项直接利用定义判断，B选项关键在于按照切线方程的通用求法进行求解，C选项通过特殊值进行排除即可，
D选项关键在于求出各点坐标，再求三角形面积进行判断.
17．##0.0625
分析：根据题意得到等比数列，利用等比数列通项公式进行计算
【详解】由题意得：每一次作出的内接三角形面积和为等比数列，首项为1，公比为，故第三次所作的内接三角形面积和为
故答案为：
18．
分析：先求出A，B两点的坐标，然后再求出过A，B两点的切线方程，从而可求出直线l与两条切线所围成的三角形的面积，进而可求出弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积
【详解】解：由，得或，
不妨设A (4，4)，B (﹣4，4)，
由得，所以过点A，B的切线的斜率分别为
所以在该两点处的抛物线的切线方程分别y＝2x﹣4，y＝﹣2x﹣4，
从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为，
故弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为．
故答案为：
【点睛】此题考查抛物线的几何性质的应用，考查曲线的切线的求法，属于基础题.
19．
分析：由，求得，则，写出在A点处和B点处抛物线C的切线方程，求得交点，再求得阿基米德三角形面积，再根据弦与抛物线所围成的封闭图形的面积与阿基米德三角形面积的关系求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以在A点处抛物线C的切线的斜率为-1，
切线方程为：，即，
同理在B点处抛物线CD 切线方程，
由，解得，
所以两切线的交点为，
所以阿基米德三角形面积，
所以弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为，
故答案为：-1，
20．(1)，
(2)
分析：（1）根据对称性可得椭圆上的三个点，利用待定系数法可求椭圆的方程，从而可求抛物线的方程.
（2）设点，，，其中，联立直线方程和抛物线线方程，消元后利用判别式可得诸变量之间的关系，从而可得的中点满足平行于轴并可用表示三角形的面积，从而可求其最大值.
（1）
根据对称性可得，，在椭圆上，
故，且，故，所以.
椭圆的右焦点为，所以即，
故.
（2）
设点，，，其中，
由可得，
整理得到：，
所以，故，
且，故， 同理，，
故为方程的两个根，故，
而的中点的纵坐标为，故平行于轴，
故三角形面积为
由可得，故或（舍），
故，
故当时，有.
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析.
分析：（1）由题知抛物线的焦点，准线为，故设直线的方程为：，，进而得，再结合韦达定理证明即可；
（2）(i) 设，过作抛物线的切线，斜率为，则方程为,切线的切线斜率分别为，进而结合韦达定理即可得，进而证明；
（ii）结合（i）得，进而得，直线的方程为，整理即可得，进而得定点坐标.
（1）
解：由题知抛物线的焦点，准线为，
所以，设直线的方程为：，
所以，联立方程得，
设 ，则，
因为过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，所以
因为，故
所以 ，，
所以，，即三点共线.
（2）
解：（i）设，
所以，设过作抛物线的切线，斜率为，则方程为，
所以，得，
所以，，即，
设切线的切线斜率分别为，
则为方程的实数根，
所以，，
所以，两切线互相垂直.
(ii)由（i）知，，
所以，，即，
所以，
所以，，
所以，直线的方程为，
整理得，即
所以，直线过定点.
22．(1)证明见解析；
(2).
分析：（1）设直线AB方程，点，联立直线AB与抛物线C的方程可得，再求出抛物线C在点A，B处切线斜率推理得证.
（2）由（1）求出PA，PB的方程，进而求出直线AB方程，设点得MN的方程，再求出弦AB，MN长，点Q，P分别到直线AB，MN距离即可计算作答.
(1)
设，直线的方程为，由消去y并整理得：，有，
令抛物线在点A处切线方程为，由消去y并整理得：
，则有，
解得，同理，抛物线在点B处切线斜率为，
因，则有，解得，
所以直线：恒过定点.
(2)
由（1）知，切线的方程为：，整理得：，
同理切线的方程为：，设点，则切线的方程为：，
而点，即有，，因此直线的方程为：，
有，点到直线的距离是，则，
由解得点M的横坐标，同理点N的横坐标，
有，点到直线的距离，则，
所以.
【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.
23．（1）焦点坐标：，准线方程：；（2）；（3），
分析：（1）将抛物线方程化为标准方程后即可求得焦点坐标和准线方程；
（2）将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理可求得，根据可整理得到，代入整理可得结果；
（3）由（2）知，继续求解阿氏三角形面积可知，进而分析得到；可知为无穷等比数列，利用无穷等比数列前项和的极限的求法可求得结果.
【详解】（1）由得：
抛物线焦点坐标为，准线方程为：
（2）将代入抛物线方程得：，则
设，
则中点，
又，
（3）设是抛物线上的任意一条弦，由（2）知
设弦、的阿氏三角形依次为，
上述讨论表明，阶中的每一个阿氏三角形都可以生成阶中的两个阿氏三角形，且后者的面积之和是前者面积的
阶中的个阿氏三角形面积之和与阶中的个阿氏三角形面积之和满足
是首先为，公比为的无穷等比数列
【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用中的新定义运算的问题，关键是能够明确新定义运算实际是直线与抛物线应用中的三角形面积的求解问题，只需结合韦达定理表示出所需的长度即可求得结果；本题结合了无穷等比数列极限的求解，难点在于能够分析得到所求数列的特征，证得所求数列为无穷等比数列.