高考数学微专题集专题6圆锥曲线硬解定理微点2圆锥曲线硬解定理综合训练(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题6圆锥曲线硬解定理微点2圆锥曲线硬解定理综合训练(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知椭圆 及圆O，已知，已知椭圆及.，，是椭圆，点P为曲线C上任意一点，直线l等内容，欢迎下载使用。

微点2 圆锥曲线硬解定理综合训练
1．已知椭圆C: 及点B(0,a),过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A,F为椭圆的右焦点,则∠ABF等于( )
A．60°B．90°C．120°D．150°
2．已知椭圆 及圆O：，如图，过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若 ，则椭圆离心率的为（ ）
A．B．C．D．
3．已知：椭圆，直线，当m为何值时，直线与椭圆相切?
4．已知椭圆及.
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线方程.
5．已知椭圆以，为左右焦点，且与直线：相切于点.
（1）求椭圆的方程及点的坐标；
（2）若直线：与椭圆交于两点，且交于点（异于点），求证：线段长，，成等比数列.
6．已知点是椭圆上一点是椭圆的两焦点，且满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
(2023·北京八十中模拟预测）
7．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，下顶点为A，右顶点为B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过点的直线交椭圆C于P，Q两点（点P在点Q下方），过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，交直线BQ于点E，求证：为定值.
(2023·湖南·邵阳二中模拟预测）
8．，是椭圆：的左、右顶点，是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线：分别交于，两点，当点的坐标为时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)记和的面积分别为和．求的取值范围．
(2023·四川成都·模拟预测）
9．点P为曲线C上任意一点，直线l：x＝－4，过点P作PQ与直线l垂直，垂足为Q，点，且．
(1)求曲线C的方程；
(2)过曲线C上的点作圆的两条切线，切线与y轴交于A，B，求△MAB面积的取值范围．
(2023·山东·烟台二中模拟预测）
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，设的内切圆与AC相切于点D，且，记动点C的轨迹为曲线T．
(1)求T的方程；
(2)设过点的直线l与T交于M，N两点，已知动点P满足，且，若，且动点Q在T上，求的最小值．
11．已知双曲线过点，且的渐近线方程为．
(1)求的方程；
(2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．
①求四边形面积的取值范围；
②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
(2023·天津和平·三模）
12．已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．
专题6 圆锥曲线硬解定理 微点2 圆锥曲线硬解定理综合训练
专题6 圆锥曲线硬解定理
微点2 圆锥曲线硬解定理综合训练
1．已知椭圆C: 及点B(0,a),过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A,F为椭圆的右焦点,则∠ABF等于( )
A．60°B．90°C．120°D．150°
2．已知椭圆 及圆O：，如图，过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若 ，则椭圆离心率的为（ ）
A．B．C．D．
3．已知：椭圆，直线，当m为何值时，直线与椭圆相切?
4．已知椭圆及.
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线方程.
5．已知椭圆以，为左右焦点，且与直线：相切于点.
（1）求椭圆的方程及点的坐标；
（2）若直线：与椭圆交于两点，且交于点（异于点），求证：线段长，，成等比数列.
6．已知点是椭圆上一点是椭圆的两焦点，且满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
(2023·北京八十中模拟预测）
7．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，下顶点为A，右顶点为B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过点的直线交椭圆C于P，Q两点（点P在点Q下方），过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，交直线BQ于点E，求证：为定值.
(2023·湖南·邵阳二中模拟预测）
8．，是椭圆：的左、右顶点，是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线：分别交于，两点，当点的坐标为时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)记和的面积分别为和．求的取值范围．
(2023·四川成都·模拟预测）
9．点P为曲线C上任意一点，直线l：x＝－4，过点P作PQ与直线l垂直，垂足为Q，点，且．
(1)求曲线C的方程；
(2)过曲线C上的点作圆的两条切线，切线与y轴交于A，B，求△MAB面积的取值范围．
(2023·山东·烟台二中模拟预测）
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，设的内切圆与AC相切于点D，且，记动点C的轨迹为曲线T．
(1)求T的方程；
(2)设过点的直线l与T交于M，N两点，已知动点P满足，且，若，且动点Q在T上，求的最小值．
11．已知双曲线过点，且的渐近线方程为．
(1)求的方程；
(2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．
①求四边形面积的取值范围；
②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
(2023·天津和平·三模）
12．已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．
参考答案：
1．B
【解析】由题意画出图形，设出过的直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由判别式等于0求得，进一步得到直线方程，求出的坐标，然后可求得．
【详解】解如图，设过点的直线方程为：
由 得
由，得
由题意取，则过点的直线方程为：
令，得，所以
在中，，

所以为直角三角形，即
故选：B
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．
2．A
分析：由条件列出的齐次方程，由此可求椭圆离心率的值.
【详解】由题意得是等边三角形，则直线的倾斜角为，其斜率为，故直线的方程为，代入椭圆方程整理得，其判别式，化简可得，则，又，所以，
故选：A.
3．.
分析：由得，当直线与椭圆相切时，，解方程即可得出答案.
【详解】由得，
当直线与椭圆相切时，，
即，解得，
即时直线与椭圆相切．
4．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）把直线代入得，由，即可求解实数的取值范围；（2）设直线与椭圆交于两点，，从而可求得的值，得到直线的方程.
试题解析：（1）把直线代入得
，①
∴，
（2）设直线与椭圆交于两点，
由①得，
∴，
∴，
解得
∴所求直线方程为
考点：直线与圆锥曲线的位置及其综合应用.
5．(1) (2)见解析
分析：(1) 设椭圆方程为 ，联立椭圆和直线的方程可得，由相切条件可得,从而得到椭圆的方程及点的坐标；
(2) 联立直线与的方程解得点为，由弦长公式，联立椭圆与直线的方程，消去得，可得，
，从而可证线段长，，成等比数列.
【详解】（1）由题意，设椭圆方程为 ，联立椭圆和直线的方程
消去得
所以 ，
化简得，由知，，所以椭圆方程为.
将代回原方程组，解得切点的坐标为.
（2）联立直线与的方程解得点为，
又因为，
由弦长公式 得，所以.
设，，联立椭圆与直线的方程，
，消去得，
，得
则，
又因为 ，
，
所以

所以线段长，，成等比数列.
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
6．(1)椭圆的标准方程为
(2)直线方程为
分析：（1）根据椭圆的定义得出基本量的值，得出椭圆方程；（2）椭圆是封闭图形，利用相切只有一个交点，将直线方程与椭圆方程联立有一个实数解可解得.
（1）
∵椭圆上的点A满足．
∴，解得，
∴椭圆的方程为，
把代入得．，
解得，
∴椭圆方程的标准方程为．
（2）
解法1：过A与x轴垂直的直线与椭圆不相切，因此切线的斜率存在．
设过的直线方程，由，消去y得关于x的方程：
．
令，解得，故所求的切线方程为： ．
解法2：改写直线的方程为一般式，，
相切时： ，得到，
化简得，
故所求的切线方程为： ．
7．(1)
(2) ，证明见解析.
分析：（1）利用所给的条件列方程容易求解；
（2）比较精确作图，初步判断D是EP的中点，运用韦达定理化简证明即可求解.
(1)
依题意，b=1， ，解得 ，
椭圆C的方程为： ；
(2)
依题意作下图：
设 ，直线l的方程为 ，
将点(2,-1)代入得：m=-2k-1， 直线l：y=kx-(2k+1)；
由于椭圆C：，∴A（0，-1），B（2,0），
联立方程 ，得 ，
， ，
直线AB的方程为：x-2y-2=0，
直线BQ的方程为： ，
， ，
运用 …①易证得： …②，
下面证明②：

，
运用①中的韦达定理：
=0，
即②成立，
∴ ，即点E和P的纵坐标之和等于D点纵坐标的2倍，
∴D点是线段EP的中点，即 ；
综上，椭圆C的方程为：，，故为定值.
【点睛】本题的难点在于发现D点是EP的中点，
如果直接求出 和 （用k表示的代数式）则计算量较大，容易出错，
发现是中点后，直接用中点公式和韦达定理容易求解.
8．(1)
(2)
分析：（1）根据题意列方程求解确定值即可；
（2）分别求出和的表达式，作比根据基本不等式求最值.
（1）
由可得，∴，
把代入椭圆的方程得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）
显然直线存在斜率，设直线的方程为，
由得，
设，则，，
从而，即，∴，
又，直线的方程为，得，，
，
则，
当且仅当，即时取等号，故的取值范围为．
【点睛】解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法：
（1），其中为弦长，为另一顶点到直线的距离；
（2）面积等于水平宽与铅锤高积的一半.
9．(1)
(2)
分析：（1）设点，通过得到等式关系，化简求得曲线方程；
（2）设切线方程，通过点到切线的距离，化简成的一元二次方程，再韦达定理得出与的等式关系，再求出弦长，消去，再求面积即可．
（1）
设，由，得，两边平方得，
所以曲线C的方程为；
（2）
设点的切线方程为（斜率必存在），圆心为，r＝1
所以到的距离为：
平方化为，设PA，PB的斜率分别为，
则，
因为PA：，令x＝0有，同理
所以
又因为代入上式化简为
所以，
令，，求导知在为增函数，所以．
10．(1)
(2)
分析：（1）由切线长相等得，再结合椭圆的定义即可求得T的方程；
（2）由解出点坐标，代入曲线T得，同理将点坐标代入曲线T得到关系式，由得出动点P轨迹，再利用直线和曲线T相切求得的最小值即可.
（1）
不妨设的内切圆与BC，BA分别相切于点E，F，由切线长相等可知，，，
∴，∴，∴动点C的轨迹为以A，B为焦点，
长轴长为4的椭圆（且C不在直线AB上），设动点C的轨迹方程为：，易知，且，解得，
∴T的方程为：．
（2）
设，，，∵，∴，
若，则，，即P与R重合，与矛盾，∴，∴，，∴，
代入，又，化简得，
同理可得，，∴，为方程的两根，
∵，∴，即，即动点P在定直线：上，
令直线：，当与T相切时，记，的距离为d，则，联立可得，
由，解得，又，∴，此时，解得，，即切点为，
且直线，的距离为，∴，当Q点坐标为，且时，，即，
联立得，此时，，且直线P R即直线l：，
即显然不过点和，符合题设条件，∴的最小值为．
【点睛】本题关键点在于利用解出点坐标，代入曲线T得关系式，同理将点坐标代入曲线T得到关系式，进而得到，为一元二次方程的两根，由得出动点P轨迹，将的最小值转化为直线上一点和椭圆上一点距离的最小值即可求解.
11．(1)
(2)①；②不存在，理由见解析
分析：（1）根据题意求得，即可得解；
（2）①易知直线，的斜率均存在且不为， 设，的方程为，则的方程为，联立，消元，则，利用韦达定理求得，再根据弦长公式可求得，同理可求得的范围及，再根据整理即可得出答案；
②设直线的方程为，，联立，消元，根据求得的关系，利用韦达定理求得，再利用弦长公式求得，易求得的坐标，即可求出，再根据，为线段的三等分点，可得，结合，可得两个等量关系，从而可得出结论.
(1)
解：由题意有，则，
将点代入双曲线方程得，
联立解得，
故的方程为；
(2)
解：①，易知直线，的斜率均存在且不为，
设，
的方程为，则的方程为，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，则，
则，
则，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，解得，
则，
则，
根据对称性可知四边形为菱形，
其面积



，
，∴，∴，
∴，
；
②，假设满足题意的直线存在，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
，
联立，整理得，
则且，
解得且，
由韦达定理有，
则
，
不妨设为直线与渐近线的交点，
联立，解得，
，
同理可得点的坐标为，
则 ，
因为，为线段的三等分点，，
即，
整理得，①
，，
则，即，

，
整理得,②
联立①②得，无解，
故没有满足条件的直线．
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线及球求双曲线的方程，还考查了直线与双曲线的位置关系及弦长，考查了双曲线中三角形的面积问题，考查了探究双曲线中直线的存在性问题，考查了学生的计算能力及数据分析能力，计算量很大，属于难题.
12．(1)
(2)2
分析：（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）考虑直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，当直线斜率不存在时，求出，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立后利用弦长公式求出，再表达出直线PQ的方程，表达出，用基本不等式求解最小值，与比较大小，求出最小值.
（1）
由题意得：，解得：，
所以椭圆方程为
（2）
由（1）知：，
当直线的斜率不存在时，，，，
此时，
当直线的斜率存在时，故可设直线为，
联立椭圆方程得：，
设，则，
其中
所以，
其中，
所以，
因为直线PQ为线段MN的垂直平分线，
所以直线PQ：，
令得：，
所以，
故，
因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
因为，所以的最小值为2.
【点睛】圆锥曲线求解取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，表达出线段长或面积等，最后用基本不等式或配方，求导等求解最值或取值范围.