高考数学微专题集专题6：有关距离问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题6：有关距离问题(原卷版+解析)，共19页。

①通过观察，结合反函数及其性质，构造函数，通过求函数最值解决问题；
②通过函数作差，或等量代换，构造函数，通过求函数最值解决问题.
例1．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】与互为反函数，它们图象关于直线对称；
又，由直线的斜率，得，，
所以切线方程为，
则原点到切线的距离为，
的最小值为．故选：D．
例2．设动直线与函数，的图象分别交于点M、N，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】画图可以看到就是两条曲线间的垂直距离．
设，求导得：．
令得；令得，
所以当时，有最小值为，
故选：A．
例3．已知直线分别与直线、曲线交于点、，则线段长度的最小值为______.（其中常数，是自然对数的底数）
答案：
【解析】由直线分别与直线、曲线交于点A、B，得，由，易得恒成立，即曲线在直线的上方，
设，则
设，则，
则，
，，
当时，，当时，，
故函数在为减函数，在为增函数，
即.
故答案为:
【点睛】本题根据题意可得点横坐标，再构造，求出导函数，通过判定函数的单调性，求得线段长度的最小值.主要考查的是导数的应用，考查学生的运算求解能力，考查的而核心素养是数学运算.
例4．已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
答案：A
【解析】作出的图像如图所示.

因为，所以，易知，则.
令，则
易知函数在上单调递增，所以.
故选：A
【点睛】本题通过画出的图像，再根据确定，进而将转换为关于的函数，求导分析单调性与最大值，考查学生数形结合、转化与化归的数学思想.
【针对训练】
1．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A．B．C．D．
2．设动直线与函数的图象分别交于点M，N，则最小值所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
3．设直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考法二：利用切线求两点距离
[规律方法]此类问题经常表现为曲线上的点与直线上的点间的距离，解决的途径一般为设入直线与曲线的切点，借由表达式进而求最值，与此同时，将所求问题进行等价变形，转化为函数曲线的切线问题也是考虑的关键环节.
例4．已知点M在曲线上，点N在直线上，则的最小值为______．
答案：
【解析】当点M是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，取得最小．
故令解得，，故点M的坐标为，
故点M到直线的最小值为．
例5．若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：C
【解析】∵，∴，，
分别令，，
转化为两个函数与的点之间的距离的最小值，
，设与直线平行且与曲线相切的切点为，
则，，解得，可得切点，
切点到直线的距离，
∴的最小值．故选：C．
【点睛】本题通过已知条件的等价转化，将问题转化为函数与图象上点之间的距离的最小值，由导数几何意义，设与直线平行且与曲线相切的切点为，进而求出切点，得出的最小值.
【针对训练】
4．实数满足：，则的最小值为________
5．若实数a、b、c、d满足，则的最小值为______．
【强化训练】
6．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是
A．B．C．D．
8．已知函数若且，则的取值范围是
A．B．C．D．
9．已知直线y＝b与函数f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分别交于A，B两点，若AB的最小值为2，则a+b＝_______.
10．已知点在圆上，点在曲线上，则线段的长度的最小值为____________．
11．已知函数,,实数,若使得对,都有成立,则的最大值为__________.
12．已知函数，若使得成立则的最小值是__________.
13．已知实数、、、满足，则的最小值为______．
专题6：有关距离问题
专题6：有关距离问题
专题阐述： 利用导数研究距离问题，通常有两种不同的问题：相异曲线上两点间的距离问题及利用切线求两点间的距离问题，研究此类问题通常需要将所求问题进行等价转化，构造函数，结合函数性质与图象，给出判断.
考法一： 相异曲线上两点间距离
[规律方法]此类问题通常可以借助两种解决方法解决问题：
①通过观察，结合反函数及其性质，构造函数，通过求函数最值解决问题；
②通过函数作差，或等量代换，构造函数，通过求函数最值解决问题.
例1．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】与互为反函数，它们图象关于直线对称；
又，由直线的斜率，得，，
所以切线方程为，
则原点到切线的距离为，
的最小值为．故选：D．
例2．设动直线与函数，的图象分别交于点M、N，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】画图可以看到就是两条曲线间的垂直距离．
设，求导得：．
令得；令得，
所以当时，有最小值为，
故选：A．
例3．已知直线分别与直线、曲线交于点、，则线段长度的最小值为______.（其中常数，是自然对数的底数）
答案：
【解析】由直线分别与直线、曲线交于点A、B，得，由，易得恒成立，即曲线在直线的上方，
设，则
设，则，
则，
，，
当时，，当时，，
故函数在为减函数，在为增函数，
即.
故答案为:
【点睛】本题根据题意可得点横坐标，再构造，求出导函数，通过判定函数的单调性，求得线段长度的最小值.主要考查的是导数的应用，考查学生的运算求解能力，考查的而核心素养是数学运算.
例4．已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
答案：A
【解析】作出的图像如图所示.

因为，所以，易知，则.
令，则
易知函数在上单调递增，所以.
故选：A
【点睛】本题通过画出的图像，再根据确定，进而将转换为关于的函数，求导分析单调性与最大值，考查学生数形结合、转化与化归的数学思想.
【针对训练】
1．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A．B．C．D．
2．设动直线与函数的图象分别交于点M，N，则最小值所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
3．设直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考法二：利用切线求两点距离
[规律方法]此类问题经常表现为曲线上的点与直线上的点间的距离，解决的途径一般为设入直线与曲线的切点，借由表达式进而求最值，与此同时，将所求问题进行等价变形，转化为函数曲线的切线问题也是考虑的关键环节.
例4．已知点M在曲线上，点N在直线上，则的最小值为______．
答案：
【解析】当点M是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，取得最小．
故令解得，，故点M的坐标为，
故点M到直线的最小值为．
例5．若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：C
【解析】∵，∴，，
分别令，，
转化为两个函数与的点之间的距离的最小值，
，设与直线平行且与曲线相切的切点为，
则，，解得，可得切点，
切点到直线的距离，
∴的最小值．故选：C．
【点睛】本题通过已知条件的等价转化，将问题转化为函数与图象上点之间的距离的最小值，由导数几何意义，设与直线平行且与曲线相切的切点为，进而求出切点，得出的最小值.
【针对训练】
4．实数满足：，则的最小值为________
5．若实数a、b、c、d满足，则的最小值为______．
【强化训练】
6．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是
A．B．C．D．
8．已知函数若且，则的取值范围是
A．B．C．D．
9．已知直线y＝b与函数f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分别交于A，B两点，若AB的最小值为2，则a+b＝_______.
10．已知点在圆上，点在曲线上，则线段的长度的最小值为____________．
11．已知函数,,实数,若使得对,都有成立,则的最大值为__________.
12．已知函数，若使得成立则的最小值是__________.
13．已知实数、、、满足，则的最小值为______．
参考答案：
1．B
【详解】由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则，∴x0＝ln 2，y0＝1，
∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln 2)，
则|PQ|的最小值为(1－ln 2)×2＝(1－ln 2)．
2．C
分析：根据给定条件，求出，构造函数，利用导数探讨最小值即可判断作答.
【详解】由函数的图象可知，
令，求导得，为增函数，且，
则存在，使得，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，，而，，
于是得，，
所以最小值所在的区间为.
故选：C
【点睛】思路点睛：涉及已知函数的最值求参数或其范围的问题，合理应用函数的单调性，借助导数探讨函数的单调性进行求解、判断．
3．D
分析：由题意得到，，，其中，且，表示，构造函数，确定函数的单调性，即可求出的最小值．
【详解】直线与函数，的图象分别交于，两点，
，，，其中，且，
，设函数，
，，
令，解得，
当，即时，函数在，单调递增，
当，即时，函数在单调递减，
故时，函数有最小值，最小值为，
故线段的长度的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
4．##4.5
分析：利用代数式的几何意义结合导数可求最小值.
【详解】由题设可得，，
故，
设，，则，
即函数的图象的点与直线上的点的连线段的平方，
而，令，则，此时对应的函数值为1，
故函数的图象在处的切线为，
的最小值即为平行线，之间的距离，
此距离为，故的最小值为，
故答案为：
5．
分析：将题目所给方程，转化为点是曲线上的点，是直线上的点，而题目所求表示为最小值，利用平移切线的方法，结合点到直线的距离公式，即可求出最小值.
【详解】∵，
∴点是曲线上的点，是直线上的点，
∴．
∵，
由得，；由得．
∴当时，取得极小值为1． 如图，
要使最小，当且仅当过曲线上的点且与线平行时．
∵，直线的斜率，∴，
∴或（由于，故舍去）．∴．
设点到直线的距离为d，
则．
∵，∴的最小值为．
故答案为：.
6．B
分析：做出两个函数草图，易得当点处的切线斜率为，且垂直时，最小．
【详解】，，令，解得，所以，故的最小值为到的距离，．
故选：B．
7．D
【详解】分析：求出两点的横坐标，作差后用导数可求得最小值．
详解：由得，由得，其中，
设，，在时，由得，且当时，，当时，，∴
时，取极小值也是最小值．
故选D．
点睛：本题考查用导数求最值，解题时，需把两点的横坐标用表示出来，然后求出，再由导数求最小值．本题难度一般，应该是导数应用的基础题．
8．B
【详解】分析：作出函数的图象，由题意可得，求得，可得，求出导数和单调区间，可得极大值且为最大值，考虑的大小，即可得到所求范围.
详解：作出函数的图象，如图所示，
由，且，可得，即为，
可得，令，
，
当时，递增；当时，递减，
则在处取得极大值，也为最大值，
由，可得的范围是，故选B.
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
9．2.
分析：设A（x1，b），B（x2，b），则2x1+3＝ax2+lnx2＝b，表示出x1，求出|AB|，利用导数，结合最小值也为极小值，可得极值点，求出最小值，解方程可得a＝1，再求得b和a+b．
【详解】设A（x1，b），B（x2，b），可设x1＜x2，
则2x1+3＝ax2+lnx2＝b，
∴x1（ax2+lnx2﹣3），
∴|AB|＝x2﹣x1＝（1a）x2lnx2，
令y＝（1a）xlnx，
则y′＝1•（x＞0），
由|AB|的最小值为2，
可得2﹣a＞0，
函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴x时，函数y取得极小值，且为最小值2，
即有（1a）•ln2，即得ln0
解得a＝1，
由x2＝1，
则b＝ax2+lnx2＝1+ln1＝1，
可得a+b＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了两函数图象间的距离最小值的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，是综合题．
10．
分析：由题可得，圆的半径．设，令，首先求得的最小值，然后求解线段的长度的最小值即可.
【详解】由题可得，圆的半径．设，
令，则，
所以．
令 ，易知函数在上单调递增，且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以线段的长度的最小值为．
【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，导函数求解函数的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．6
分析：根据已知条件，函数在的值域是函数在上值域的子集，用求导的方法求出单调区间，极值，最值，值域；结合的图像特征，即可求解.
【详解】
,,又,
故在单调递减,在单调递增
又因为对任意,存在,使得
则只需要,令,得,或
由,可得,且
所以.
故答案为:6.
【点睛】本题考查函数值域间的关系，考查利用函数的导数求最值，考查数形结合思想，属于较难题.
12．
分析：由，求出的表达式，从而得到的表达式，设，利用导数得到其最小值，即可求出的最小值.
【详解】由题意 ，即
所以
所以
设 ，则
令，可得
由当时，可得递增
当时，，递减
当时，递增
即在处取得极小值且为最小值
则的最小值是
故答案为
【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用以及对数和指数的运算，属于难题.
13．
分析：分析可知的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方，只需求出上和直线平行的切线方程，结合导数的几何意义求出切点坐标，求出切点到直线的距离，即可得解.
【详解】因为实数、、、满足，所以，，，
所以，点在曲线上，点在曲线上，
的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．
考查曲线上和直线平行的切线，
对函数求导得，
令，解得，所以，切点为，
该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离，
故的最小值为．
故答案为：.