高考数学微专题集专题8：极值点偏移问题(1)(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题8：极值点偏移问题(1)(原卷版+解析)，共23页。

②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
由此，其它类型可模仿上面步骤进行变形及构造.
例1．设函数．
（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．
答案：（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）定义域为，，
当时，，即在上单调递增，不合题意，；
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
存在，使得成立，则，即，
又，，即，
令，则，
在上单调递增，又，，即实数的取值范围为.
（2）当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
由且知：；
令，，
则，
在上单调递增，，即；
，又，；
，，又且在上单调递减，
，即.
例2．2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，是的两个零点．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解析】（1）函数的定义域为，
，当时，，
所以在上单调递增．当时，令，
所以在上，，，单调递增，
在上，，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增．
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：（ⅰ）由（1）可知，要使由函数有两个零点，需，且，则，
又，故，，则，
令，则，
∴在上单减，∴，又，
∴，
又，∴，即；
（ⅱ）要证，由（1）可知，只需证，
即证，又，
∴只需证，即证，
令，则，∵，∴，
所以上述不等式等价于，即，亦即，
令，则，
∴在上单调递减，即，即得证．
例3．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点工，，证明：．
【解析】（1），，
当时，，在上递减；当时，，
令，解得：，令，解得：，
故在上递减，在上递增；综上：当时，在上递减；
当时，在上递减，在上递增；
（2）证明：若函数有两个零点，，
则①，②，
得：，故，
得：，故，
要证，即证e，即证，
，，
即证，即证，，令，则，
，，
则，故在单调递减，
又，故，故，故．
例4．已知函数．
（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：．
【解答】证明：（1），
（1），又（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，
即，当时，，
故直线过定点，；
（2），是的两个零点，且，
，可得，
，
令，，
构造函数，，
令，则，则在上单调递增，
而（2），，则在上单调递增，
（2），可得，则，
即，则．
例5．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知，，为函数的两个极值点，求的最大值．
【解答】解：（1）当时，，，
，
令，可得或，令，可得，
所以在，上单调递增，在，上单调递减．
（2），
因为，为函数的两个极值点，
所以，是方程的两个根，
所以，，可得，
因为，所以为增函数，为增函数且大于0，为增函数且大于0，
所以为增函数，所以，
令，则，
令，
，所以在，上单调递减，
所以的最大值为（3）．
【点睛】本题难点在第2问，通过对极值点的确认，得，构造函数，换元，将问题转化为求函数的最值问题.
【针对训练】
1．已知函数(且)．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点、()，且，证明：．
2．已知函数．
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．
3．已知,函数其中
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，
(i)求的取值范围；
(ii)设的两个零点分别为x1,x2，证明：x1x2>e2．
4．已知，，（其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，函数有两个零点，，求证：.
5．设()，，
（1）求的单调区间：
（2）已知函数有两个零点，，且，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：随着的减小而增大.
专题8：极值点偏移问题(1)
专题8：极值点偏移问题
专题阐述：极值点偏移问题大体可分为加法型、减法型、乘积型、平方型及商型5个类型，考查学生化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，是历年高考中题的一个难点.
[规律方法] 处理极值点偏移问题中的类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
由此，其它类型可模仿上面步骤进行变形及构造.
例1．设函数．
（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．
答案：（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）定义域为，，
当时，，即在上单调递增，不合题意，；
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
存在，使得成立，则，即，
又，，即，
令，则，
在上单调递增，又，，即实数的取值范围为.
（2）当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
由且知：；
令，，
则，
在上单调递增，，即；
，又，；
，，又且在上单调递减，
，即.
例2．2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，是的两个零点．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解析】（1）函数的定义域为，
，当时，，
所以在上单调递增．当时，令，
所以在上，，，单调递增，
在上，，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增．
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：（ⅰ）由（1）可知，要使由函数有两个零点，需，且，则，
又，故，，则，
令，则，
∴在上单减，∴，又，
∴，
又，∴，即；
（ⅱ）要证，由（1）可知，只需证，
即证，又，
∴只需证，即证，
令，则，∵，∴，
所以上述不等式等价于，即，亦即，
令，则，
∴在上单调递减，即，即得证．
例3．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点工，，证明：．
【解析】（1），，
当时，，在上递减；当时，，
令，解得：，令，解得：，
故在上递减，在上递增；综上：当时，在上递减；
当时，在上递减，在上递增；
（2）证明：若函数有两个零点，，
则①，②，
得：，故，
得：，故，
要证，即证e，即证，
，，
即证，即证，，令，则，
，，
则，故在单调递减，
又，故，故，故．
例4．已知函数．
（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：．
【解答】证明：（1），
（1），又（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，
即，当时，，
故直线过定点，；
（2），是的两个零点，且，
，可得，
，
令，，
构造函数，，
令，则，则在上单调递增，
而（2），，则在上单调递增，
（2），可得，则，
即，则．
例5．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知，，为函数的两个极值点，求的最大值．
【解答】解：（1）当时，，，
，
令，可得或，令，可得，
所以在，上单调递增，在，上单调递减．
（2），
因为，为函数的两个极值点，
所以，是方程的两个根，
所以，，可得，
因为，所以为增函数，为增函数且大于0，为增函数且大于0，
所以为增函数，所以，
令，则，
令，
，所以在，上单调递减，
所以的最大值为（3）．
【点睛】本题难点在第2问，通过对极值点的确认，得，构造函数，换元，将问题转化为求函数的最值问题.
【针对训练】
1．已知函数(且)．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点、()，且，证明：．
2．已知函数．
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．
3．已知,函数其中
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，
(i)求的取值范围；
(ii)设的两个零点分别为x1,x2，证明：x1x2>e2．
4．已知，，（其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，函数有两个零点，，求证：.
5．设()，，
（1）求的单调区间：
（2）已知函数有两个零点，，且，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：随着的减小而增大.
参考答案：
1．（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析．
分析：（1）函数，求导得到，然后分和两种情况讨论求解.
（2）由（1）知，时，，根据函数有两个零点，则，解得， 由，则，，再由及，可得，即，然后将证，转化为证，由在上单调递减，且，进而转化为证明即可.
【详解】（1）的定义域为，，
当时，恒成立，则在上单调递减，
当时，令，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增；
（2）由（1）知，，，依题意可知，解得，
由得：()，
设，，
由及，得，即，
欲证，只要，注意到在上单调递减，且，
只要证明即可，
由，得，
∴，
，
，，
令，，
则，则在上是递增的，
于是，即，
综上．
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及极值点偏移问题，还考查了分类讨论思想，转化化归思想和运算求解的能力，属于难题.
2．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）由题意可知在上恒成立，分离参数，设，根据导数求得的最大值，进而可得的取值范围；
（2）二次求导可得在和有个极值点，，再根据导数值的正负情况可得，，再利用不等性质即可得证.
(1)
，
在递减，
在上恒成立，
在上恒成立，
令，，
时，，递增，
时，，递减，
，
；
(2)
由题意得，，
，，
，令，解得：，
令，解得：，
故在递增，在递减，
又，，，
故分别在和有零点，，（不妨设，
时，，递减，
时，，递增，
时，，递减，
故在和有个极值点，，
而，，，
，，，
，，
，
故原命题成立．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．（1）见解析（2）(i)；(ii)见解析
分析：（1）求导后，分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到单调区间；（2）(i)将问题转化为与函数的图象在上有两个不同交点，通过求解相切时的临界值，得到的取值范围；(ii)将问题转化为证明成立，通过构造函数，证得，从而证得结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
①当时，，在单调递增；
②当时，由得，
则当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减
（2）(i)函数有两个零点即方程在有两个不同根
转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点
如图：
可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只需
设切点，所以
又，所以，解得
于是，所以
(ii)原不等式
不妨设

，
令，则，于是
设函数，
求导得：
故函数是上的增函数
即不等式成立，故所证不等式成立
【点睛】本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、根据零点个数求解参数范围和与零点有关的不等式证明问题.解决不等式证明问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为恒成立的问题，从而通过求解最值证得结果.
4．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
分析：（1）求导函数，讨论参数的取值范围即可求解单调区间；
（2）解法一：先证：，即证：，令函数，通过求导判断单调性可证明，从而得；解法二：由，令利用导数判断单调性，再构造，求导分析单调性即可证明，从而有．
【详解】（1）解：
∵，∴时，，
∴时，增区间为：，减区间为：；
时，，∴时，增区间为：；
时，，，
∴时，增区间为：，减区间为：；
（2）解法一：由（1）知，时，增区间为：，减区间为：；
且时，，，函数的大致图像如下图所示
因为时，函数有两个零点，，所以，即，
不妨设，则；先证：，即证：
因为，所以，又在单调递增，所以即证：
又，所以即证：，
令函数，，
则
因为，所以，，故
函数在单调递增，所以
因为，所以，，即
所以．
（2）解法二：因为时，函数有两个零点，，
则两个零点必为正实数，（）
等价于有两个正实数解；
令（）
则（），在单调递增，在单调递减，且
令，，则
所以在单调递增，
又，故，
又，所以，
又，所以，，
又在单调递增，所以
所以．
【点睛】关键点点睛：本题的第二问关键在于构造新函数，通过求导，层层地分析单调性，从而证明，再结合均值不等式求得结果．
5．（1）若，的单调递增区间为；若，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）（i）；（ii）证明见解析.
分析：（1）分类讨论含参数的函数的单调区间；
（2）（i）根据函数的单调性，转化为最大值大于0，然后解不等式即可；（ii）构造函数，结合函数单调性及不等式的性质即可证得.
【详解】（1）因为，则，
①若，则在上恒成立，所以的单调递增区间为；
②若，令，则，
时，，的单调递增；
时，，的单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上：若，的单调递增区间为；若，的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
（i）由（1）知：函数有两个零点需满足，即，所以，故的取值范围为；
（ii）因为，则，令，则，
所以在上单调递增，在单调递减，并且时，，当时，，由已知满足，由，及的单调性，可得，对于任意，设，，其中；，其中；因为在上单调递增，由，即，可得，同理可得，又由得，故随着的减小而增大.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．