高考数学微专题集专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点1椭圆与双曲线共焦点问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点1椭圆与双曲线共焦点问题(原卷版+解析)，共44页。
微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其初步应用
【微点综述】
圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考．
一、常用结论
【结论1】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：由已知得消去得，
又，因此．
又．
【结论2】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由椭圆与双曲线的定义得两式分别平方再相减得．
在中，由余弦定理得，
，
，同理可得，
，
．
由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得
．
【结论3】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由结论2得，又．
注意到．
【结论4】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：．
【评注】结论4反映之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是，分子分别是，等式右边是与的平方和．
【结论5】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则，即．
证明：证法1：在中，由余弦定理得
，即，
，
即，亦即．
证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为，双曲线的虚半轴长为，
则，，所以，，，
，整理得：，即．
【结论6】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个公共点，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
证明：椭圆在点处的切线方程为，该切线的斜率为，
双曲线在点处的切线，该切线的斜率为，；又由结论1得，
则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
【结论7】若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在点处的切线相互垂直，则椭圆与双曲线有共同的焦点．
证明：由已知得消去得，
因此．
由已知得，
椭圆与双曲线有共同的焦点．
二、应用举例
（一）公共点问题
1．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，为坐标原点，直线的斜率为，则___________．
（二）公共焦点三角形问题
2．已知椭圆与双曲线有公共焦点，是它们的一个公共点，则的面积为_________，的形状是_________．
例3．(2023·上海·高三专题练习）
3．已知､，设P是椭圆与双曲线的交点之一，则___________.
（三）角度问题
4．设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， ， 是两条曲线的一个公共点，则 等于__________．
（四）公共点处切线有关问题
5．已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为_________________．
（五）求离心率的值
例5．(2023·云南云南·高二月考）
6．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
7．若两曲线在交点处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点处正交．设椭圆与双曲线在交点处正交，则椭圆的离心率为__________．
不难看出，有了以上性质之后，在解决有关共焦点的椭圆与双曲线的相关问题时，处理起来往往会比较简便，真正达到“少算、巧算”的目的．当然在具体的题目中，以上性质是否有用，取决于相应的题目条件．在教学过程中我们可以适当引导学生作出相应的归纳总结，如本文中由于经常出现共焦点的椭圆与双曲线的相关问题，我们不妨将其进行有效地研究与归纳总结，帮助学生提高计算的准确性与方法选择的恰当性，从而高效地解决问题．
（五）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题
（六）求（为正常数）型最值问题
综上可知，共焦点的椭圆与双曲线一般有如下几类题型：
一是求两离心率之积的取值范围或最值问题；二是求两离心率的倒数之和的最大值问题．不论是哪种题型，一般先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求的取值范围或最值问题，一般可考虑均值不等式、三角换元、消元等方法处理；若求（为正常数）的最大值，一般可考虑柯西不等式或三角换元等方法处理．
8．设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为
A．B．1C．2D．不确定
9．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则
A．4B．C．2D．3
10．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
例4．（2023·新江宁这育·高二期末）
11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则的最小值为（ ）
A．25B．100C．9D．36
例5．（2023·全国高三专题练习）
12．设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________．
例6．（2023·河南郑州市·高三一模（文））
13．已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2023·全国高二课时练习）
14．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点为，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为___________.
例8．（2023·浙江绍兴市·高二期末）
15．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·陕西渭南市，高二期末（理））
16．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是
A．B．C．D．2
自我检测
(2023·湖北卷）
17．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A．B．C．3D．2
18．已知椭圆，与双曲线具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若∠F1PF2＝，则的最小值是
A．B．2＋C．D．
19．设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
（2023·江西南昌市·（理））
20．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
（2023·江苏徐州市高二月考）
21．已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））
22．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
（2023·江西高三其他模拟（文））
23．已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
（2023·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三开学考试（理））
24．已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，为左焦点，为右焦点，P点为它们在第一象限的一个交点，且，设，分别为椭圆双曲线离心率，则的最大值为
A．B．C．D．
（2023·江苏省前黄高级中学高二期末）
25．，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为曲线，的离心率，为曲线，的一个公共点，若，且，则___________.
（2023·天津静海区·高二期中）
26．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则_______．
（2023·江苏省天一中学高三一模）
27．设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.
（2023·江苏省如皋中学高二月考（文））
28．设为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为_________.
（2023．湖北（理））
29．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值是__________．
（2023·浙江嘉兴市·高二月考（理））
30．设椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个公共点,则的值等于
A．B．
C．D．
（2023·江苏泰州市·泰州中学高二开学考试）
31．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点使两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率（ ）
A．B．2C．D．3
（2023·江苏省镇江第一中学高二期末）
32．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国高三专题练习（理））
33．若椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则__________.
（2023·江西南昌市·南昌二中高二月考（文））
34．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
A．B．
C．D．
（2023·陕西汉中市·高三月考（理））
35．椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，张的角为.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则
A．B．
C．D．
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点问题
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题
微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其初步应用
【微点综述】
圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考．
一、常用结论
【结论1】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：由已知得消去得，
又，因此．
又．
【结论2】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由椭圆与双曲线的定义得两式分别平方再相减得．
在中，由余弦定理得，
，
，同理可得，
，
．
由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得
．
【结论3】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由结论2得，又．
注意到．
【结论4】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：．
【评注】结论4反映之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是，分子分别是，等式右边是与的平方和．
【结论5】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则，即．
证明：证法1：在中，由余弦定理得
，即，
，
即，亦即．
证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为，双曲线的虚半轴长为，
则，，所以，，，
，整理得：，即．
【结论6】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个公共点，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
证明：椭圆在点处的切线方程为，该切线的斜率为，
双曲线在点处的切线，该切线的斜率为，；又由结论1得，
则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
【结论7】若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在点处的切线相互垂直，则椭圆与双曲线有共同的焦点．
证明：由已知得消去得，
因此．
由已知得，
椭圆与双曲线有共同的焦点．
二、应用举例
（一）公共点问题
1．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，为坐标原点，直线的斜率为，则___________．
（二）公共焦点三角形问题
2．已知椭圆与双曲线有公共焦点，是它们的一个公共点，则的面积为_________，的形状是_________．
例3．(2023·上海·高三专题练习）
3．已知､，设P是椭圆与双曲线的交点之一，则___________.
（三）角度问题
4．设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， ， 是两条曲线的一个公共点，则 等于__________．
（四）公共点处切线有关问题
5．已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为_________________．
（五）求离心率的值
例5．(2023·云南云南·高二月考）
6．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
7．若两曲线在交点处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点处正交．设椭圆与双曲线在交点处正交，则椭圆的离心率为__________．
不难看出，有了以上性质之后，在解决有关共焦点的椭圆与双曲线的相关问题时，处理起来往往会比较简便，真正达到“少算、巧算”的目的．当然在具体的题目中，以上性质是否有用，取决于相应的题目条件．在教学过程中我们可以适当引导学生作出相应的归纳总结，如本文中由于经常出现共焦点的椭圆与双曲线的相关问题，我们不妨将其进行有效地研究与归纳总结，帮助学生提高计算的准确性与方法选择的恰当性，从而高效地解决问题．
（五）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题
（六）求（为正常数）型最值问题
综上可知，共焦点的椭圆与双曲线一般有如下几类题型：
一是求两离心率之积的取值范围或最值问题；二是求两离心率的倒数之和的最大值问题．不论是哪种题型，一般先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求的取值范围或最值问题，一般可考虑均值不等式、三角换元、消元等方法处理；若求（为正常数）的最大值，一般可考虑柯西不等式或三角换元等方法处理．
8．设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为
A．B．1C．2D．不确定
9．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则
A．4B．C．2D．3
10．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
例4．（2023·新江宁这育·高二期末）
11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则的最小值为（ ）
A．25B．100C．9D．36
例5．（2023·全国高三专题练习）
12．设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________．
例6．（2023·河南郑州市·高三一模（文））
13．已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2023·全国高二课时练习）
14．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点为，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为___________.
例8．（2023·浙江绍兴市·高二期末）
15．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·陕西渭南市，高二期末（理））
16．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是
A．B．C．D．2
自我检测
(2023·湖北卷）
17．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A．B．C．3D．2
18．已知椭圆，与双曲线具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若∠F1PF2＝，则的最小值是
A．B．2＋C．D．
19．设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
（2023·江西南昌市·（理））
20．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
（2023·江苏徐州市高二月考）
21．已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））
22．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
（2023·江西高三其他模拟（文））
23．已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
（2023·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三开学考试（理））
24．已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，为左焦点，为右焦点，P点为它们在第一象限的一个交点，且，设，分别为椭圆双曲线离心率，则的最大值为
A．B．C．D．
（2023·江苏省前黄高级中学高二期末）
25．，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为曲线，的离心率，为曲线，的一个公共点，若，且，则___________.
（2023·天津静海区·高二期中）
26．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则_______．
（2023·江苏省天一中学高三一模）
27．设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.
（2023·江苏省如皋中学高二月考（文））
28．设为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为_________.
（2023．湖北（理））
29．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值是__________．
（2023·浙江嘉兴市·高二月考（理））
30．设椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个公共点,则的值等于
A．B．
C．D．
（2023·江苏泰州市·泰州中学高二开学考试）
31．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点使两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率（ ）
A．B．2C．D．3
（2023·江苏省镇江第一中学高二期末）
32．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国高三专题练习（理））
33．若椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则__________.
（2023·江西南昌市·南昌二中高二月考（文））
34．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
A．B．
C．D．
（2023·陕西汉中市·高三月考（理））
35．椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，张的角为.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则
A．B．
C．D．
参考答案：
1．
分析：设点，根据直线的斜率公式得到；联立两方程解出，，即可代入得出答案.
【详解】设点，根据直线的斜率公式得到，
联立方程与消去y，
得：，解得，即，
代入解得：，即，
，
故答案为：.
2． 1 直角三角形
分析：根据椭圆和双曲线的定义可得，进而根据勾股定理可判断直角三角形，进而可求面积.
【详解】不妨设在第一象限，为左右焦点，焦距为，由椭圆和双曲线的定义可得：，故，
又，故可得
且，
故 ，因此形状是直角三角形，以为直角，
，
故答案为：1；直角三角形.
3．6
分析：由于椭圆与双曲线共焦点，利用两者的定义列出等式求出即可得到答案.
【详解】椭圆和双曲线分别化为标准方程为、，可知两曲线共焦点，
设，由定义有：
或.
故答案为：6.
4．
【详解】试题分析：，，，则
，
，
考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理；
5．##
分析：依题意，注意到点在椭圆上，由此得到椭圆在点处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案．
【详解】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为，
即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为．
故答案为：.
6．
分析：设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得 ，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．
【详解】设，为第一象限的交点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，
由椭圆和双曲线的定义可得，解得，
在三角形中，，
由余弦定理可得，，
即有，可得，即为，
由双曲线为等轴双曲线，所以，可得.
故答案为：．
7．
分析：设椭圆与双曲线的交点为，联立两曲线方程解得的值，再写出两曲线在的切线方程及斜率，由解出的值，进而可求椭圆的离心率.
【详解】解：设椭圆与双曲线的交点为，
解方程组 ，得 ，
椭圆在处的切线方程为，斜率；
双曲线在处的切线方程为，斜率；
因为椭圆与双曲线在交点处正交，
所以，
所以，
即，解得.
所以椭圆的离心率.
故答案为：.
8．C
分析：根据题意，设它们共同的焦距为2c、椭圆的长轴长2a、双曲线的实轴长为2m，由椭圆和双曲线的定义及勾弦定理建立关于a、c、m的方程，联解可得a2+m2=2c2，再根据离心率的定义求解．
【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，
设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2m ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②
又∵，
∴，可得∠F1PF2=900，
故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，
①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③，化简得a2+m2=2c2，即，
可得，
所以=.
故选：C
【点睛】
9．A
分析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长a2，焦距2c．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在△F1PF2中,根据余弦定理可得到与c的关系式,变形可得的值.
【详解】如图所示:
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
，，
∴，，
设，，则
在中由余弦定理得，，
∴化简得，该式可变成．
故选A．
【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线a,b,c的关系式和其他已知条件,转化只含有a,c的关系式求解.
10．A
分析：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，，根据，利用余弦定理得到，进而得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．
设，．．则，，∴，．
因为，
所以，
即．
∴，∴，
∴，则，当且仅当，时取等号．
故选：A．
11．A
【解析】由椭圆与双曲线的定义得记，则（椭圆长轴长），，用余弦定理得出的关系，代入和与差后得的关系式，然后用基本不等式求得最小值．
【详解】记，则（椭圆长轴长），（双曲线的实轴长），
又由余弦定理得，
所以，即，变形为，
所以，当且仅当，即时等号成立．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是掌握两个轴线的定义，在椭圆中，，在双曲线中，不能混淆．
12．
分析：由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.
【详解】由椭圆及双曲线定义得，，，
因为，所以，，，
因为，，，所以，则，
因为，，由，所以，因此．
故答案为：.
13．B
【解析】求出椭圆焦点得双曲线焦点，从而得双曲线的，利用勾股定理和椭圆的定义求得得双曲线的实轴长，可得双曲线离心率．
【详解】易知椭圆的焦点坐标为，
设双曲线方程为，则，
记，由在椭圆上有，
∴，即，，
∴双曲线离心率为．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是利用双曲线与已知椭圆共焦点，有公共点求出半焦距和半实轴长，注意点椭圆与双曲线的定义的不同：椭圆中是，双曲线中是．
14．
【解析】设点为第一象限内的点，设椭圆与双曲线的焦点都在轴上，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，两曲线的焦距为，椭圆和双曲线的离心率分别为、，利用余弦定理、椭圆和双曲线的定义可得出，进而可得出，结合可求得的值，即可得解.
【详解】设椭圆与双曲线的焦点都在轴上，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，两曲线的焦距为，椭圆和双曲线的离心率分别为、，
不妨设为第一象限的点，
在椭圆中：①，在双曲线中：②，
联立①②解得，，，
在中由余弦定理得：，
即
即，即，所以，，
因为椭圆的离心率，所以双曲线的离心率，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
15．D
分析：先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，不妨设点在第一象限，然后根据椭圆和双曲线的定义可得，再利用余弦定理列等式，转化为离心率的等式后，根据基本不等式可求得.
【详解】如图所示：

设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
不妨设点在第一象限，则根据椭圆及双曲线的定义得，
，，
所以，，
设，，
在中，由余弦定理得，
化简可得：，所以，即，
由，解得.
故选：D
16．A
分析：设， ，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据余弦定理可得，利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率的公式，求得结果.
【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，．
双曲线的实半轴长为，双曲线的离心率为，，，
设， ，
则，
当点P被看作是椭圆上的点时，有，
当点P被看作是双曲线上的点时，有 ，
两式联立消去得，即，
所以，又，
所以，整理得，
解得或（舍去），所以，
即双曲线的离心率为，
故选A．
【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目.
17．A
【详解】试题分析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设，椭圆和双曲线的离心率分别为
由余弦定理可得，①
在椭圆中，①化简为即即
在双曲线中，①化简为即即③
联立②③得，
由柯西不等式得即（
即，当且仅当时取等号，故选A
考点：椭圆，双曲线的简单性质，余弦定理
18．A
分析：首先根据椭圆与双曲线的定义，得出与所满足的关系，列出式子，求得边长，之后借助于余弦定理，求得，之后应用椭圆的离心率与双曲线的离心率的式子，化简应用基本不等式求得最小值.
【详解】根据题意，可知，
解得，
根据余弦定理，可知，
整理得，
所以 ，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，余弦定理，椭圆和双曲线的离心率，基本不等式求最小值的问题，正确理解知识点是正确解题的关键.
19．B
分析：对椭圆和双曲线的离心率分别求出，首先根据椭圆及双曲线的定义求出，可得，得
，就得到了的关系，最后利用基本不等式求得最小值.
【详解】
解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，
不妨令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，
由椭圆的定义，又，故，
得，将代入得，
∴．
故选：B．
20．B
分析：设为第一象限点，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据双曲线的定义，结合余弦定理可得，再根据基本不等式求解最值即可.
【详解】设为第一象限点，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则
.
故选：B.
21．D
【解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为,由椭圆与双曲线的定义和余弦定理,可得,再由求的取值范围.
【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,
焦点坐标为,不妨设为第一象限的点,
由椭圆与双曲线的定义得,①,,②,
由余弦定理得,③
联立①②③得,
由,,得,
,
,,则,,
,,,,
又,,.
故选:D.
【点睛】本题考查椭圆､双曲线的离心率的范围,考查余弦定理和定义法的运用,需要一定的计算能力,属于中档题.
22．B
分析：首先设椭圆的方程为，双曲线方程为，点在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义得到：，，从而得到，，利用余弦定理得到，从而得到，再利用基本不等式即可得到答案。
【详解】设椭圆的方程为，
双曲线方程为，点在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义得：，，
解得，，
在中，由余弦定理得：
，
即：
整理得：。
所以，，即，
当且仅当时，等号成立．
故，所以的最大值为。
故选：B
【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率，同时考查了基本不等式，属于中档题。
23．C
分析：设 ， ，利用余弦定理可得，再分别利用椭圆与双曲线的定义可得，可得，结合，解方程即可得答案.
【详解】设 ， ，
在椭圆：中，
，
，
在双曲线：中，

，
即，则
所以，
又因为，所以，
解得，
故选：C.
【点睛】方法点睛：在处理焦点三角形问题时，一般要考虑椭圆和双曲线的定义，注意余弦定理的应用，得到基本量之间的关系，从而转化为离心率问题，一般此类问题比较灵活，需要基础扎实，运算能力强.
24．B
分析：设椭圆的长半轴长为半焦距为,双曲线的实半轴长为,半焦距为,根据椭圆和双曲线的定义可得,,然后在焦点三角形中,由余弦定理以及离心率公式可得,最后利用柯西不等式即可得到.
【详解】设椭圆的长半轴长为,半焦距为,
双曲线的实半轴长为,半焦距为,
根据椭圆的定义可得:,根据双曲线的定义可得:,
两式联立解得:,,
在焦点三角形中,由余弦定理得:,
化简得:,两边同时除以,
得:,
由柯西不等式得:
,
即,
所以,所以.
故选B.
【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率以及柯西不等式,属难题.
25．
【解析】不妨设点在第一象限，设，，在中，由余弦定理可得：，，进而得到，根据范围可得到结果.
【详解】如图所示，
设椭圆的方程为，半焦距为，双曲线的方程为，，半焦距为，
不妨设点在第一象限，设，，
，，
，，
在中，由余弦定理可得：，，
两边同时除以，得，
，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆和双曲线离心率的综合，通过计算得到是解题的关键，意在考查学生的计算能力和逻辑思维能力，属于常考题.
26．
分析：】由题意画出图形，利用圆锥曲线定义及勾股定理可得 ，然后结合隐含条件列式求得 ，再由即可求得．
【详解】如图，由椭圆定义及勾股定理得，，可得 ，

同理可得

即，
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的简单性质，利用三角形面积相等是解答该题的关键，属于中档题．
27．
【详解】设
根据椭圆的几何性质可得
,
根据双曲线的几何性质可得，
,
即
故答案为
28．8
分析：由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到+=2，再利用基本不等式，即可得出结论．
【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②
又∠F1PF2=90°，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③得a2+m2=2c2，可得+=2，
∴=（+）（）=（10++）≥（10+6）=8，
故答案为8．
【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率e1与双曲线心率e2满足的关系式，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．
29．
分析：设出双曲线和椭圆方程，根据两者关系得到，在中由余弦定理可得 ，根据均值不等式可得到结果.
【详解】设椭圆方程是,双曲线方程是,由定义可得 ,在中由余弦定理可得,即
.
当且仅当时等号成立.
故答案为.
【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的几何意义的应用，找到两者的联系，得到相应的方程，进而表示出要求的量，也考查了利用均值求最值的方法，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
30．A
【详解】由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），
解方程组，得．
取P点坐标为，，，
cs∠F1PF2==．
故选A．
31．C
分析：设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，可得e1，e2的关系，计算可得所求值．
【详解】设，P为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得，
解得，
中，，
可得，
即，
可得，
即，
由，可得，
故选：C
【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，余弦定理，考查了化简整理的运算能力，属于中档题．
32．D
分析：先设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,不妨设点在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得.
【详解】如图所示:

设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,不妨设点在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,
,,
所以,, ,
设,,
则在△中,由余弦定理得,
即,所以,即,
由柯西不等式得,
即.当且仅当,即,时,等号成立.
故选:D
【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.
33．
【解析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a，由双曲线的定义可得s﹣t＝2 a1，利用勾股定理和离心率公式得到，化简计算即可得出结论．
【详解】不妨设P在第一象限，
再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a，
由双曲线的定义可得s﹣t＝2a1，
解得s＝a+a1，t＝a﹣a1，
由∠F1PF2，
在三角形F1PF2中，利用勾股定理可得．
∴，
化简，又由e1e2＝2，
所以.
故答案为：8．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．在解题的过程中要合理的利用平面几何的思想，适当利用勾股定理，建立离心力的关系式，在化简的过程中根据题目的条件和结论合理构造和变形，这样解题会轻松一点.
34．B
分析：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得，
由椭圆和双曲线的定义得，解得.
代入，
得，
即，，
即，，因此，.
故选B.
【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
35．B
分析：先将椭圆和双曲线的、、分别设出, 并设,,在中,根据余弦定理可得,根据几何意义,整理为；再分别根据椭圆与双曲线的定义,将该式分别整理为,,利用,对等式两边同除,分别得到,,建立两式的联系,即可得出结果
【详解】设椭圆的长半轴为,双曲线的实半轴为,半焦距为,设,,,椭圆与双曲线的离心率分别为，
,由余弦定理可得，,即,即 ①,
在椭圆中，由定义得, ①化简可得,即,等式两边同除,得,即 ②
在双曲线中，由定义得,①化简可得,即,等式两边同除,得,即 ③
联立②③得,即,
故选B
【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点,椭圆与双曲线的定义,离心率的定义,余弦定理的使用,考查运算能力