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高考数学微专题集专题22圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题微点2圆锥曲线中的定值问题(原卷版+解析)
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这是一份高考数学微专题集专题22圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题微点2圆锥曲线中的定值问题(原卷版+解析)，共56页。
微点2 圆锥曲线中的定值问题
【微点综述】
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为定值问题.对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用.
一、探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
解决定值问题的基本方法是函数方法.可以用变量表示题目中的点的坐标、直线方程、数量积、比例关系等.对于定值问题，有时也可以从特殊情况出发，确定所要证明的具体定值.也可以根据要分析的结论直接验算化简，利用方程组、韦达定理、点在曲线上（点的坐标满足曲线的方程）等条件，分析变量之间的关系，并确定消参的思路，可以将要求解的量看作某个变量的函数，化简消去变量即得定值.
①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值.
二、常考题型例析
（一）与斜率有关的定值问题
例1.
(2023全国）
1．已知椭圆，抛物线与椭圆有相同的焦点，抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，设直线PA，PB的斜率分别为，.
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）若直线AB交椭圆于C、D两点，、分别是、的面积，求的最小值.
例2
(2023安徽合肥·高三月考）
2．已知抛物线上的动点M到直线的距离比到抛物线E的焦点F的距离大.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）设点Q是直线上的任意一点，过点P（1，0）的直线l与抛物线E交于A､B两点，记直线AQ､BQ､PQ的斜率分别为，证明：为定值.
（二）与面积有关的定值问题
例3
(2023安徽高三月考）
3．已知椭圆的离心率为，过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值．
例4
(2023广东高三月考）
4．已知双曲线的左､右焦点分别为，双曲线C的右顶点A在圆上，且.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M､N，问为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
（三）与线段关系、距离有关的定值问题
例5
5．已知直线与椭圆相交于、两点，是椭圆上一点
(1)当时，求面积的最大值；
(2)设直线和与轴分别相交于点、，为原点．证明：为定值．
例6
(2023全国高三月考）
6．在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点（2，0），且双曲线的焦点到渐近线的距离为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求椭圆的方程；
(3)过椭圆的左焦点作直线（直线的斜率不为零）与椭圆交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
例7
(2023安徽安庆·高三月考）
7．已知椭圆：的离心率，直线经过椭圆的左焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不经过右焦点的直线：与椭圆相交于，两点，且与圆：相切，试探究的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由.
（四）与向量有关的定值问题
例8
(2023江西上饶市·高三二模）
8．如图，在平面直角坐标系中，为半圆的直径，为圆心，且，，为线段的中点；曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于､两点，与所在直线交于点，，，求证：为定值.
例9
(2023宁波市北仑中学高三开学考试）
9．如图，已知，直线，是平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M；
①已知，求的值；
②求的最小值．
（五）与角度有关的定值问题
例10
10．双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
（六）与坐标关系有关的定值问题
例11
11．已知P为圆：上一动点，点坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）已知，过点作与轴不重合的直线交轨迹于两点，直线分别与轴交于两点.试探究的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.
例12
12．已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；
（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.
（七）与参数有关的定值问题
例13
(2023湖北武汉·高三开学考试）
13．已知椭圆：的离心率为，点是椭圆短轴的一个四等分点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点A且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，且点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，求实数，使得，恒成立.
例14.
14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，直线的倾斜角为60°，原点到直线的距离是．
（1）求的方程；
（2）过上任一点作直线，分别交于，（异于的两点），且，，探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【强化训练】
15．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
16．已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．
17．已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
(2023湖北高三开学考试）
18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，是C上一点，且PF2与x轴垂直.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的直线l交C于A，B两点，证明∶为定值.
(2023双峰县第一中学高三开学考试）
19．椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．
(2023永州市第四中学高三月考）
20．已知直线与是分别过椭圆的左，右焦点的两条相交但不重合的动直线．与椭圆相交于点A，B，与椭圆相交于点C，D，O为坐标原点．直线的斜率分别为，且满足．
（1）若与x轴重合．．试求椭圆E的方程：
（2）在（1）的条件下，记直线．试问：是否存在定点M，N，使得为定值？若存在．求出定值和定点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
(2023渝中·重庆巴蜀中学高三月考）
21．已知椭圆经过点，点为椭圆的上顶点，且直线与直线相互垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不垂直轴的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点在轴上方)，直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：.
(2023沙坪坝·重庆八中）
22．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.
（1）若点M在第一象限且直线互相垂直，求圆M的方程；
（2）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；
（3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.
(2023沙坪坝·重庆南开中学）
23．已知椭圆的左右焦点为、，离心率，过圆上一点Q（Q在y轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E于A、B两点，交圆于C、D两点（如图所示）．当切线与x轴垂直时，的面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）（ⅰ）求的面积的最大值；
（ⅱ）求证：为定值，并求出这个定值．
(2023上海高三模拟预测）
24．已知椭圆的一焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等边三角形，直线与椭圆的两交点间的距离为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.
（2023全国高考真题）
25．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
(2023江苏淮安·高三三模）
26．已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．
(2023安徽蚌埠·高三开学考试）
27．已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过定点（其中，）与抛物线相交于两点（点位于第一象限.
（1）当时，求证：；
（2）如图，连接并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.
(2023山东高三三模）
28．已知三点，为曲线上任意一点，满足．
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，为曲线上的不同两点，且，，为垂足，证明：存在定点，使为定值．
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点2 圆锥曲线中的定值问题
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定值线问题
微点2 圆锥曲线中的定值问题
【微点综述】
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为定值问题.对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用.
一、探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
解决定值问题的基本方法是函数方法.可以用变量表示题目中的点的坐标、直线方程、数量积、比例关系等.对于定值问题，有时也可以从特殊情况出发，确定所要证明的具体定值.也可以根据要分析的结论直接验算化简，利用方程组、韦达定理、点在曲线上（点的坐标满足曲线的方程）等条件，分析变量之间的关系，并确定消参的思路，可以将要求解的量看作某个变量的函数，化简消去变量即得定值.
①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值.
二、常考题型例析
（一）与斜率有关的定值问题
例1.
(2023全国）
1．已知椭圆，抛物线与椭圆有相同的焦点，抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，设直线PA，PB的斜率分别为，.
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）若直线AB交椭圆于C、D两点，、分别是、的面积，求的最小值.
例2
(2023安徽合肥·高三月考）
2．已知抛物线上的动点M到直线的距离比到抛物线E的焦点F的距离大.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）设点Q是直线上的任意一点，过点P（1，0）的直线l与抛物线E交于A､B两点，记直线AQ､BQ､PQ的斜率分别为，证明：为定值.
（二）与面积有关的定值问题
例3
(2023安徽高三月考）
3．已知椭圆的离心率为，过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值．
例4
(2023广东高三月考）
4．已知双曲线的左､右焦点分别为，双曲线C的右顶点A在圆上，且.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M､N，问为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
（三）与线段关系、距离有关的定值问题
例5
5．已知直线与椭圆相交于、两点，是椭圆上一点
(1)当时，求面积的最大值；
(2)设直线和与轴分别相交于点、，为原点．证明：为定值．
例6
(2023全国高三月考）
6．在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点（2，0），且双曲线的焦点到渐近线的距离为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求椭圆的方程；
(3)过椭圆的左焦点作直线（直线的斜率不为零）与椭圆交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
例7
(2023安徽安庆·高三月考）
7．已知椭圆：的离心率，直线经过椭圆的左焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不经过右焦点的直线：与椭圆相交于，两点，且与圆：相切，试探究的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由.
（四）与向量有关的定值问题
例8
(2023江西上饶市·高三二模）
8．如图，在平面直角坐标系中，为半圆的直径，为圆心，且，，为线段的中点；曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于､两点，与所在直线交于点，，，求证：为定值.
例9
(2023宁波市北仑中学高三开学考试）
9．如图，已知，直线，是平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M；
①已知，求的值；
②求的最小值．
（五）与角度有关的定值问题
例10
10．双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
（六）与坐标关系有关的定值问题
例11
11．已知P为圆：上一动点，点坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）已知，过点作与轴不重合的直线交轨迹于两点，直线分别与轴交于两点.试探究的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.
例12
12．已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；
（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.
（七）与参数有关的定值问题
例13
(2023湖北武汉·高三开学考试）
13．已知椭圆：的离心率为，点是椭圆短轴的一个四等分点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点A且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，且点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，求实数，使得，恒成立.
例14.
14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，直线的倾斜角为60°，原点到直线的距离是．
（1）求的方程；
（2）过上任一点作直线，分别交于，（异于的两点），且，，探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【强化训练】
15．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
16．已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．
17．已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
(2023湖北高三开学考试）
18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，是C上一点，且PF2与x轴垂直.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的直线l交C于A，B两点，证明∶为定值.
(2023双峰县第一中学高三开学考试）
19．椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．
(2023永州市第四中学高三月考）
20．已知直线与是分别过椭圆的左，右焦点的两条相交但不重合的动直线．与椭圆相交于点A，B，与椭圆相交于点C，D，O为坐标原点．直线的斜率分别为，且满足．
（1）若与x轴重合．．试求椭圆E的方程：
（2）在（1）的条件下，记直线．试问：是否存在定点M，N，使得为定值？若存在．求出定值和定点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
(2023渝中·重庆巴蜀中学高三月考）
21．已知椭圆经过点，点为椭圆的上顶点，且直线与直线相互垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不垂直轴的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点在轴上方)，直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：.
(2023沙坪坝·重庆八中）
22．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.
（1）若点M在第一象限且直线互相垂直，求圆M的方程；
（2）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；
（3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.
(2023沙坪坝·重庆南开中学）
23．已知椭圆的左右焦点为、，离心率，过圆上一点Q（Q在y轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E于A、B两点，交圆于C、D两点（如图所示）．当切线与x轴垂直时，的面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）（ⅰ）求的面积的最大值；
（ⅱ）求证：为定值，并求出这个定值．
(2023上海高三模拟预测）
24．已知椭圆的一焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等边三角形，直线与椭圆的两交点间的距离为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.
（2023全国高考真题）
25．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
(2023江苏淮安·高三三模）
26．已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．
(2023安徽蚌埠·高三开学考试）
27．已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过定点（其中，）与抛物线相交于两点（点位于第一象限.
（1）当时，求证：；
（2）如图，连接并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.
(2023山东高三三模）
28．已知三点，为曲线上任意一点，满足．
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，为曲线上的不同两点，且，，为垂足，证明：存在定点，使为定值．
参考答案：
1．（1）抛物线的方程为：， ；
（2）最小值为.
分析：（1）依题意得抛物线的焦点坐标为，进而可得其方程为；设过点与抛物线相切的直线方程为（），代入，由得，进而可得；
（2）先证得直线恒过定点，且斜率不为零，故设直线的方程为，将其与抛物线联立，由弦长公式求得，再将其与椭圆联立，由弦长公式求得，进而得，从而可得结果.
【详解】（1）依题意可得抛物线的焦点坐标为，又抛物线的顶点为原点，所以抛物线的方程为.
设，过点与抛物线相切的直线方程为（），将其代入得，
由得，即，所以.
（2）设，，由（1）知，，即，，
则以为切点的切线方程为，即，
同理，以为切点的切线方程为，
因为两切线均过点，所以，，
则切点弦的方程为，所以直线恒过定点.
设点到直线的距离为，则，
因为直线恒过定点，且斜率不为零，故设直线的方程为.
联立得，则，
则；
联立得，设，，则，
则，
则，
故当时，有最小值.
【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：证得直线恒过定点.
2．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）设，设直线的方程为，联立抛物线方程得出韦达定理，再表达出关于坐标的表达式，结合韦达定理化简即可
【详解】（1）由题意可知抛物线E的准线方程为
所以，即，故抛物线E的标准方程为
（2）证明：设
因为直线的斜率为显然不为0，故可设直线的方程为
联立，消去得
所以
又
所以，（定值）
3．（1）；（2）证明见解析．
分析：（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，结合这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，设直线的方程为，将这两条直线分别与椭圆的方程联立，求出点、的坐标，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】（1）由已知条件可得，解得，
即椭圆的标准方程为；
（2）设、，由题意直线、的斜率存在，
设直线的方程为①，设直线的方程为②，
由（1）椭圆③，
联立①③得，
解得，即，
联立②③，得，所以，，即，
易知，
直线的方程为，点到直线的距离为，
所以，
故面积为定值．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
4．（1）；（2）是定值，定值2.
分析：（1）由题得关于的方程组，解方程组即得解；
（2）先证明当直线的斜率在存在时，2；当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，联立直线和双曲线的方程得到，设,求出即得解.
【详解】解：（1）设双曲线C的半焦距为c，
由点在圆上，得，
由-2，得，
所以，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）设直线与轴相交于点D，双曲线C的渐近线方程为
当直线的斜率在存在时，直线为，得2
当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则
把直线的方程与联立得
由直线与轨迹C有且只有一个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别相交可知直线与双曲线的渐近线不平行，所以，且，
于是得,
得，得或,
设,
由，得,
同理得,
所以
综上，的面积恒为定值2.
【点睛】方法点睛：定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.
5．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）将代入椭圆方程，求出，求出点到直线的距离的最大值，进而可求得面积的最大值；
（2）设、两点坐标分别为、，设，则，，求出点、的坐标，结合椭圆方程可计算得出为定值.
（1）
解：当时，将代入，解得，．
当为椭圆的顶点时，到直线的距离取得最大值，
面积的最大值是．
（2）
证明：设、两点坐标分别为、，从而．
设，则有，，．
直线的方程为，令，得，从而．
直线的方程为，令，得，从而．
所以，
为定值．
6．(1)2；(2)；(3)证明见解析.
分析：(1)根据双曲线的几何性质即可求解；(2)根据题意并结合双曲线的渐近线方程即可求解；(3)设出直线l的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理求出点，的横坐标关系，即可证明．
【详解】（1）设双曲线的方程为，
由题可得.
因为双曲线的焦点到渐近线的距离为，
所以，
所以双曲线的离心率．
（2）由已知可设椭圆的方程为，由(1)可知双曲线的渐近线方程为．因为双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为，所以代入渐近线方程可得，，
代入椭圆的方程可得，所以椭圆的方程为．
（3）证明：由已知可得，椭圆的左焦点，直线的斜率不为零．
设直线，直线与椭圆的交点，，
的中点，
联立消去并化简得，
，
，，
则，．
直线的方程为，则，
所以，
所以，即为定值．
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
7．（1）；（2）的周长为定值4.
分析：（1）先由直线方程，得到左焦点坐标，得出；再由离心率，集合椭圆性质，求出，，进而可得椭圆方程；
（2）根据直线与圆相切，得到；设，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，表示出；根据两点间距离公式，分别表示出，，三角形三边求和，即可得出结果.
【详解】（1）因为直线经过椭圆的左焦点，
所以椭圆的左焦点坐标为，故.
又∵，∴，，
故椭圆的标准方程为：；
（2）是定值，理由如下：
因为直线：与圆相切，
所以，即，
设，，联立，
消去整理得，所以，
，，
所以
，
又，所以.
由于，，所以，，
因为，同理，
所以，
所以，
故的周长为定值4.
【点睛】思路点睛：
求解椭圆中的定值问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式，以及题中条件等，进行求解即可.
8．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）根据动点在曲线上运动且保持的值不变，且点在曲线上，得到，利用椭圆的定义求解；
（2）设，，，，由，，分别求得点、N的坐标，点M、N在椭圆上，代入椭圆方程求解.
【详解】（1）因为动点在曲线上运动且保持的值不变，且点在曲线上，
∴，
∴的轨迹是以､为焦点的椭圆，
且，，
∴，
所以曲线的方程为.
（2）设，，，，
由得，
∴，，
由于点在椭圆上，故，
整理得，
由同理可得，
∴，是方程的两个根，
∴.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由，，分别求得点、N的坐标，由点M、N在椭圆上，代入椭圆方程，构造方程，利用韦达定理而得解.
9．（1）；（2）①；②.
分析：（1）可设出点的坐标，由直线，过作直线的垂线，垂足为点，则，则我们根据，构造出一个关于，的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；
（2）①由过点的直线交轨迹于、两点，交直线于点，我们可以设出直线的点斜式方程，联立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求的值．
②根据平面向量数量积的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）设点，则，由，
得， 化简得曲线的方程为；
（2）由于直线不能垂直于轴，且又过轴上的定点，
设直线的方程为，则 ，
设，，联立方程组
消去得，，故
由，，得
利用对应的纵坐标相等，得，，整理得，，
所以.
②因为，，所以有：由上可知： ，
因此有，
所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，
因此.
【点睛】关键点睛：结合基本不等式，利用平面向量数量积的运算性质是解题的关键.
10．(1)2；
(2)证明见解析.
分析：（1）运用代入法，结合双曲线的离心率公式进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式，结合二倍角的正切公式进行证明即可.
（1）
设双曲线的离心率为e，焦距为2c，，
在中令x＝c，则，解得，若|AF|＝|BF|，则，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，解得e＝2或（舍去），所以e＝2；
（2）
因为e＝2，所以，
所以，，设B（x，y）（x＞0，y＞0），
kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tan θ＝，
tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF.
【点睛】关键点睛：利用二倍角的正切公式是解题的关键.
11．（1）；（2）是定值，理由见解析.
【解析】（1）由中垂线可知，所以Q点的轨迹为椭圆；
（2）设两点的坐标，利用直线方程用两点坐标表示的横坐标；再把直线代入椭圆方程消元，韦达定理，整理的横坐标的乘积可得结论.
【详解】由已知线段的垂直平分线交直线于点Q.得，,
又P为圆：上一动点，
所以，
点的轨迹为以为焦点，长轴为4的椭圆
椭圆方程：
设，则直线方程: ，
令，得，同理可得
由题设直线：，代入方程整理得
，且
，，
故（定值）
【点睛】利用已知的几何条件求轨迹方程是常用的求轨迹的方法；运用韦达定理及整体思想求特定的量是直线与圆锥曲线中常见的处理策略.
12．（1）（2）不存在，理由见解析；（3）是定值，且定值为，理由见解析.
分析：（1）联立直线与抛物线方程求出，两点坐标，由两点间距离公式列方程即可求解；
（2）设直线，，，联立直线与抛物线方程联立可得，，设，，射线：与椭圆方程联立可得，同理可得，，计算即可求解；
（3）设，，令可得：，同理可得，两式相乘整理，再讨论点在不在直线上，即可得定值.
【详解】（1）设，，由可得，
所以，，所以，，
所以，因为，所以，
所以抛物线的方程为；
（2）椭圆的右顶点为，设直线，，，
将代入可得：，
所以，，
假设存在，设，，
射线： ，
由 可得：，同理可得，
，，
所以 ，
所以
，
所以，所以不存在直线，使；
（3）设，则，
令可得：①，
同理可得：②，
两式相乘可得
即，
所以，
即，
当点不在直线上时，，所以，
当点在直线上时，，所以，
综上所述：是定值，且定值为.
【点睛】解决圆锥曲线中的定值与定点问题的方法有两种：
一种是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，难度较大，运算量大，且思路不好寻找，另一种方法是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子时就有了明确的方向.
13．（1）；（2）.
分析：（1）根据点是椭圆短轴的一个四等分点，求得b，再根据离心率和，即可求得a，从而得出答案；
（2）设，直线MN的方程为，则直线BM的方程为，与联立，利用韦达定理可求得点，的坐标，从而得出直线的斜率，整理可得出结论.
【详解】解：（1）因为点是椭圆短轴的一个四等分点，
所以，
又，且，
则，所以，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，直线MN的方程为，
则直线BM的方程为，与联立，
得：，
由，且点在上，得，
又，即，代入上式得，
，
即点，同理，
则，
将代入上式，
得，
所以时，，恒成立.
【点睛】本题考查了根据离心率求椭圆的标准方程及直线与椭圆、圆的位置关系，考查了计算能力和逻辑推理能力，难度较大.
14．（1）；（2）是定值，定值为6．
分析：（1）先求出，然后由点到直线的距离列出关于的方程，求出的值，进而得到的值，从而得到的方程；
（2）①当点为椭圆右顶点时，求出；②当点为椭圆左顶点时，求出；③当点不为椭圆顶点，即直线，的斜率均不为零时，设直线，的方程，分别与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后利用向量的关系，求出，，即可得到答案．
【详解】（1）由题意，点，直线的倾斜角为60°，所以，
在中，求得点到直线的距离是，
又由原点到直线的距离是，则，所以，
故的标准方程为.
（2）①当点为椭圆右顶点时，，，所以；
②当点为椭圆左顶点时，同理可得；
③当点不为椭圆顶点，即直线，的斜率均不为零时，
设直线的方程是，直线的方程是，
分别代入椭圆方程，
可得和，
设，，，则，，
由，可得，则，
由直线的方程，可得，
所以，
由，同理可得，所以为定值．
综上所述，为定值6．
【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
15．(1)圆O的方程为，椭圆C的方程为
(2)证明见解析
分析：（1）根据题意，列方程组，解得，，，即可得出答案．
（2）设，，，，分别代入椭圆与圆的方程，解得，，写出直线，的方程，进而可得，的坐标，计算，即可得出答案．
（1）
由题意可得，解得，，
所以圆的方程为，椭圆的方程为．
（2）
证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为，
则，即，
又由，得点M的坐标为，
由，得点N的坐标为，
所以，，，
所以，
所以，即
16．（1）（2）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据条件可知，以及，从而求得椭圆方程；（Ⅱ）设，则，根据条件求直线的方程，并且表示出直线的方程，并求得两条直线的交点纵坐标，根据即可求出面积比值.
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为.
由题意得解得.
所以.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，则.
由题设知，且.
直线的斜率，故直线的斜率.
所以直线的方程为.
直线的方程为.
联立解得点的纵坐标.
由点在椭圆上，得.
所以.
又，
，
所以与的面积之比为.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考查了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，主要利用的关系，确定椭圆方程是基础，本题易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.
17．（1）；（2）证明见解析.
分析：（Ⅰ）根据离心率为，即，OAB的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.
【详解】（Ⅰ）由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
设，则.
当时，直线的方程为.
令，得，从而.
直线的方程为.
令，得，从而.
所以
.
当时，，
所以.
综上，为定值.
【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力.
【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.
18．（1）；（2）证明见解析．
分析：（1）由题意，得F2（1，0），F1（-1，0），再结合定义有，计算即可得结果；
（2）当直线AB的斜率为零时，点A，B为椭圆长轴的端点，计算的结果，当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为，代入椭圆方程结合韦达定理即可求解．
【详解】（1）解∶由题意，得F2（1，0），F1（-1，0），且c=1，
则，即，
所以，
故椭圆C的方程为；
（2）证明∶当直线AB的斜率为零时.点A，B为椭圆长轴的端点，
则 ；
当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为，点，
联立消去x，得，
则恒成立，
由韦达定理，得，
所以
综上，为定值．
19．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）由题知，，利用直线的斜率结合三角形的面积，求出，即可得到椭圆方程.
（2）设直线方程为，设，，与椭圆方程联立整理得，结合韦达定理，利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出，并且利用基本不等式求得其最大值得到，再利用两点连线的斜率公式求得化简可得其为定值.
【详解】（1）椭圆的右顶点，上顶点，
由题知，解得
所以椭圆的标准方程为
（2）由已知MN与x轴不垂直，可知直线的斜率存在，
设直线方程为，设，，
联立，整理得：
其中，即
且，
又原点O到直线的距离
所以
，当且仅当，即时，等号成立，
所以
又，可得
所以当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
20．（1）；（2）存在点，定值为．
分析：（1）由与x轴重合可知轴，此时有先解出a，然后将代入椭圆方程可得到a,b的关系，进而解出b，得到答案；
（2）先讨论直线或的斜率不存在时求出交点P的坐标；然后考虑二者斜率都存在的情况，因为问题是“是否存在定点M，N，使得为定值？”我们可以设出P的坐标，根据求出它的轨迹方程，事先猜想应当是椭圆，而两个定点应该是对应的焦点.
【详解】（1）当与x轴重合时，，故，即轴．
故当时，
由，得．
由，得．
所以椭圆E的方程是．
（2）如图所示，焦点的坐标分别为．
当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或．
当直线和的斜率都存在时，设斜率分别为，点．
联立，得．
因为直线过椭圆内一点，则，，
则
．
同理可得，
因为，所以，化简得．
由题意，知，所以．
设点，则，所以，
化简得，而且当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或，也满足此方程．
所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知存在点，使得为定值，定值为．
【点睛】本题第（2）问比较新颖，问题的关键点在于如何理解“是否存在定点M，N，使得为定值？”，我们应当立马想到椭圆的定义.接下来就比较套路，根据利用根与系数的关系进行化简，得出点P的轨迹方程，此题非常经典，可以作为范题归纳.
21．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）依题意求得，由直线与直线垂直求得，进而得椭圆方程；
（2）依题意设直线，与椭圆方程联立，进而得，结合韦达定理可得结果.
【详解】（1）由，得.
直线与直线相互垂直，则，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）依题意设直线，
联立和椭圆的方程得：，
设，则有.
，令，则，同理：.
所以.
则，
分子，所以.
22．（1）；（2）证明见解析；（3）是，.
分析：（1）由切线性质得，由此可求得点坐标，从而得圆方程．
（2）设切线方程为，由直线与圆相切得出的方程，结合韦达定理得，并结合在椭圆上可得．
（3）当直线不落在坐标轴上时，设，利用可得，利用在椭圆上可求得及，从而得，当直线有一条落在坐标轴上求出，从而得定值，再由基本不等式得最大值．
【详解】（1），则，又，又，故解得，所以，所以圆M的方程为
（2）因为直线与圆M相切，
所以直线与圆联立，
可得同理，由判别式为0，可得是方程的两个不相等的实数根，
∴因为点在椭圆C上，所以，所以；
（3）（i）当直线不落在坐标轴上时，设，
因为，所以，
因为在椭圆C上.所以
整理得，所以所以.
（ii）当直线落在坐标轴上时，圆方程为，易求得，
综上：，所以|
所以的最大值为．
【点睛】本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题，考查学生的运算求解能力，逻辑思维能力，对斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程，利用直线与圆相切得出关于的二次方程，由韦达定理得出结论；设，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点在椭圆上求得的值，注意分类讨论．
23．（1）；（2）（ⅰ）1；（ⅱ）证明见解析，.
分析：（1）由三角形面积得，再结合离心率及求得后得椭圆方程；
（2）（ⅰ）直线的斜率不会为零，设其方程为，由直线与圆相切求得的关系，设，直线方程与椭圆方程联立，消元后求出判别式的值（利用关系），应用韦达定理，得弦长，计算面积，应用基本不等式得最大值；
（ⅱ），，用点坐标表示出，计算可得．
【详解】（1），于是有，又，
解得，所以椭圆E的标准方程为．
（2）（ⅰ）因Q在y轴左侧，故直线的斜率不会为零，设其方程为，
由直线与圆相切得，
由消去x得，
，
设，则，
所以，当且仅当，即时取等号．
故的面积的最大值为1．
（ⅱ）因点在椭圆E上，且在y轴左侧，故，，
由（1），
故，
，
故为定值．
【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆标准方程的关键是列出关于的方程组，解得，直线与椭圆相交一般是设交点坐标，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，由韦达定理的结果求弦长等等．
24．（1）；（2）证明见解析；（3）是定值，定值为25.
分析：（1）由椭圆的离心率公式求得，由椭圆过点，代入椭圆方程，即可求得和的值，求得椭圆方程；
（2）利用点到直线距离公式，同理求得：，则，是方程的两个不相等的实根，根据韦达定理即可求得为定值；
（3）将直线和的方程，代入椭圆方程，即可求得和点坐标，
根据两点之间的距离公式，
由，即可求得为定值.
【详解】（1）由椭圆的离心率，则，
由直线过点，代入，解得：，则，
∴椭圆的标准方程：.
（2）证明：由直线，直线，
由直线为圆的切线，
，，
同理可得：，
∴，是方程的两个不相等的实根，
由，，
则，
由在椭圆上，即，
∴，
∴为定值.
（3）经判断为定值，
（i）由直线，不落在坐标轴上时，
设，，
联立，解得，
∴，
同理，得，
由，
得，
，
∴为定值，定值为25.
【点睛】方法点睛：本题考查了椭圆的定义标准方程､直线与圆相切的性质､一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法､推理能力与计算能力，属于难题.
1、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定理。
2、定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的。
25．（1）；（2）.
分析：(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.
【详解】(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设,
设直线的方程为．
联立,
化简得.
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．
因为，所以．
[方法二] ：参数方程法
设．设直线的倾斜角为，
则其参数方程为，
联立直线方程与曲线C的方程，
可得，
整理得．
设，
由根与系数的关系得．
设直线的倾斜角为，，
同理可得
由，得．
因为，所以．
由题意分析知．所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，
直线的方程为,
则二次曲线．
又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
26．(1)
(2)1
分析：（1）设，则有，即，由点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为可得，，结合离心率，可求出双曲线C的方程；
（2）设直线的方程为，联立，化简得出，再求出，可得出结果.
（1）
由题意可得，渐近线的方程为，
设，则有，即，
因为点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
所以，
又离心率，即，所以，所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）
由（1）知，，设直线的方程为，
联立，得，
所以，
若，，则，，
所以|，
所以，
所以的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得，所以，
则，所以．
27．（1）证明见解析；（2）是定值，定值为.
分析：（1）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理求出，即得证；
（2）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再求出，，即得解.
【详解】（1）设直线方程为，
联立直线与抛物线的方程，
消去，得，所以.
所以
即.
（2）设直线方程为，
联立直线与抛物线的方程，
消去，得，
故.
设的方程为，
联立直线与拋物线的方程，
消去得，
从而，则，
同理可得，
，
即为定值.
28．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）由题意，算出，的坐标，进而求出，再利用平面向量数量积的坐标表示求出，根据已知即可求解.
（2）若直线，则直线与曲线只有一个交点，不合题意；
设直线的方程为，，联立，由韦达定理，根据，可得，从而得直线过定点， 进而在中，当为中点时，为定值.
【详解】解：（1）由 ， 可得，
，
所以，由已知得，化简得，
所以，曲线方程为.
（2）证明：若直线，则直线与曲线只有一个交点，不合题意；
设直线的方程为，联立，得，
则，可得，
设，则，
，同理，
因为，所以，
所以，点在曲线上，显然且，
所以，
所以，
所以直线的方程为，
因此直线过定点，
所以，且是以为斜边的直角三角形，
所以中点满足为定值，
所以存在使为定值.
【点睛】关键点点睛：设直线的方程为，，联立，
由韦达定理，根据，得，从而得直线过定点是解决本题的关键.
微点2 圆锥曲线中的定值问题
【微点综述】
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为定值问题.对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用.
一、探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
解决定值问题的基本方法是函数方法.可以用变量表示题目中的点的坐标、直线方程、数量积、比例关系等.对于定值问题，有时也可以从特殊情况出发，确定所要证明的具体定值.也可以根据要分析的结论直接验算化简，利用方程组、韦达定理、点在曲线上（点的坐标满足曲线的方程）等条件，分析变量之间的关系，并确定消参的思路，可以将要求解的量看作某个变量的函数，化简消去变量即得定值.
①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值.
二、常考题型例析
（一）与斜率有关的定值问题
例1.
(2023全国）
1．已知椭圆，抛物线与椭圆有相同的焦点，抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，设直线PA，PB的斜率分别为，.
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）若直线AB交椭圆于C、D两点，、分别是、的面积，求的最小值.
例2
(2023安徽合肥·高三月考）
2．已知抛物线上的动点M到直线的距离比到抛物线E的焦点F的距离大.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）设点Q是直线上的任意一点，过点P（1，0）的直线l与抛物线E交于A､B两点，记直线AQ､BQ､PQ的斜率分别为，证明：为定值.
（二）与面积有关的定值问题
例3
(2023安徽高三月考）
3．已知椭圆的离心率为，过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值．
例4
(2023广东高三月考）
4．已知双曲线的左､右焦点分别为，双曲线C的右顶点A在圆上，且.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M､N，问为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
（三）与线段关系、距离有关的定值问题
例5
5．已知直线与椭圆相交于、两点，是椭圆上一点
(1)当时，求面积的最大值；
(2)设直线和与轴分别相交于点、，为原点．证明：为定值．
例6
(2023全国高三月考）
6．在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点（2，0），且双曲线的焦点到渐近线的距离为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求椭圆的方程；
(3)过椭圆的左焦点作直线（直线的斜率不为零）与椭圆交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
例7
(2023安徽安庆·高三月考）
7．已知椭圆：的离心率，直线经过椭圆的左焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不经过右焦点的直线：与椭圆相交于，两点，且与圆：相切，试探究的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由.
（四）与向量有关的定值问题
例8
(2023江西上饶市·高三二模）
8．如图，在平面直角坐标系中，为半圆的直径，为圆心，且，，为线段的中点；曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于､两点，与所在直线交于点，，，求证：为定值.
例9
(2023宁波市北仑中学高三开学考试）
9．如图，已知，直线，是平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M；
①已知，求的值；
②求的最小值．
（五）与角度有关的定值问题
例10
10．双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
（六）与坐标关系有关的定值问题
例11
11．已知P为圆：上一动点，点坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）已知，过点作与轴不重合的直线交轨迹于两点，直线分别与轴交于两点.试探究的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.
例12
12．已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；
（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.
（七）与参数有关的定值问题
例13
(2023湖北武汉·高三开学考试）
13．已知椭圆：的离心率为，点是椭圆短轴的一个四等分点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点A且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，且点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，求实数，使得，恒成立.
例14.
14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，直线的倾斜角为60°，原点到直线的距离是．
（1）求的方程；
（2）过上任一点作直线，分别交于，（异于的两点），且，，探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【强化训练】
15．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
16．已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．
17．已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
(2023湖北高三开学考试）
18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，是C上一点，且PF2与x轴垂直.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的直线l交C于A，B两点，证明∶为定值.
(2023双峰县第一中学高三开学考试）
19．椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．
(2023永州市第四中学高三月考）
20．已知直线与是分别过椭圆的左，右焦点的两条相交但不重合的动直线．与椭圆相交于点A，B，与椭圆相交于点C，D，O为坐标原点．直线的斜率分别为，且满足．
（1）若与x轴重合．．试求椭圆E的方程：
（2）在（1）的条件下，记直线．试问：是否存在定点M，N，使得为定值？若存在．求出定值和定点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
(2023渝中·重庆巴蜀中学高三月考）
21．已知椭圆经过点，点为椭圆的上顶点，且直线与直线相互垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不垂直轴的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点在轴上方)，直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：.
(2023沙坪坝·重庆八中）
22．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.
（1）若点M在第一象限且直线互相垂直，求圆M的方程；
（2）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；
（3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.
(2023沙坪坝·重庆南开中学）
23．已知椭圆的左右焦点为、，离心率，过圆上一点Q（Q在y轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E于A、B两点，交圆于C、D两点（如图所示）．当切线与x轴垂直时，的面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）（ⅰ）求的面积的最大值；
（ⅱ）求证：为定值，并求出这个定值．
(2023上海高三模拟预测）
24．已知椭圆的一焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等边三角形，直线与椭圆的两交点间的距离为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.
（2023全国高考真题）
25．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
(2023江苏淮安·高三三模）
26．已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．
(2023安徽蚌埠·高三开学考试）
27．已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过定点（其中，）与抛物线相交于两点（点位于第一象限.
（1）当时，求证：；
（2）如图，连接并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.
(2023山东高三三模）
28．已知三点，为曲线上任意一点，满足．
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，为曲线上的不同两点，且，，为垂足，证明：存在定点，使为定值．
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点2 圆锥曲线中的定值问题
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定值线问题
微点2 圆锥曲线中的定值问题
【微点综述】
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为定值问题.对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用.
一、探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
解决定值问题的基本方法是函数方法.可以用变量表示题目中的点的坐标、直线方程、数量积、比例关系等.对于定值问题，有时也可以从特殊情况出发，确定所要证明的具体定值.也可以根据要分析的结论直接验算化简，利用方程组、韦达定理、点在曲线上（点的坐标满足曲线的方程）等条件，分析变量之间的关系，并确定消参的思路，可以将要求解的量看作某个变量的函数，化简消去变量即得定值.
①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值.
二、常考题型例析
（一）与斜率有关的定值问题
例1.
(2023全国）
1．已知椭圆，抛物线与椭圆有相同的焦点，抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，设直线PA，PB的斜率分别为，.
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）若直线AB交椭圆于C、D两点，、分别是、的面积，求的最小值.
例2
(2023安徽合肥·高三月考）
2．已知抛物线上的动点M到直线的距离比到抛物线E的焦点F的距离大.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）设点Q是直线上的任意一点，过点P（1，0）的直线l与抛物线E交于A､B两点，记直线AQ､BQ､PQ的斜率分别为，证明：为定值.
（二）与面积有关的定值问题
例3
(2023安徽高三月考）
3．已知椭圆的离心率为，过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值．
例4
(2023广东高三月考）
4．已知双曲线的左､右焦点分别为，双曲线C的右顶点A在圆上，且.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M､N，问为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
（三）与线段关系、距离有关的定值问题
例5
5．已知直线与椭圆相交于、两点，是椭圆上一点
(1)当时，求面积的最大值；
(2)设直线和与轴分别相交于点、，为原点．证明：为定值．
例6
(2023全国高三月考）
6．在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点（2，0），且双曲线的焦点到渐近线的距离为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求椭圆的方程；
(3)过椭圆的左焦点作直线（直线的斜率不为零）与椭圆交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
例7
(2023安徽安庆·高三月考）
7．已知椭圆：的离心率，直线经过椭圆的左焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不经过右焦点的直线：与椭圆相交于，两点，且与圆：相切，试探究的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由.
（四）与向量有关的定值问题
例8
(2023江西上饶市·高三二模）
8．如图，在平面直角坐标系中，为半圆的直径，为圆心，且，，为线段的中点；曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于､两点，与所在直线交于点，，，求证：为定值.
例9
(2023宁波市北仑中学高三开学考试）
9．如图，已知，直线，是平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M；
①已知，求的值；
②求的最小值．
（五）与角度有关的定值问题
例10
10．双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
（六）与坐标关系有关的定值问题
例11
11．已知P为圆：上一动点，点坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）已知，过点作与轴不重合的直线交轨迹于两点，直线分别与轴交于两点.试探究的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.
例12
12．已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；
（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.
（七）与参数有关的定值问题
例13
(2023湖北武汉·高三开学考试）
13．已知椭圆：的离心率为，点是椭圆短轴的一个四等分点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点A且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，且点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，求实数，使得，恒成立.
例14.
14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，直线的倾斜角为60°，原点到直线的距离是．
（1）求的方程；
（2）过上任一点作直线，分别交于，（异于的两点），且，，探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【强化训练】
15．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
16．已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．
17．已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
(2023湖北高三开学考试）
18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，是C上一点，且PF2与x轴垂直.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的直线l交C于A，B两点，证明∶为定值.
(2023双峰县第一中学高三开学考试）
19．椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．
(2023永州市第四中学高三月考）
20．已知直线与是分别过椭圆的左，右焦点的两条相交但不重合的动直线．与椭圆相交于点A，B，与椭圆相交于点C，D，O为坐标原点．直线的斜率分别为，且满足．
（1）若与x轴重合．．试求椭圆E的方程：
（2）在（1）的条件下，记直线．试问：是否存在定点M，N，使得为定值？若存在．求出定值和定点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
(2023渝中·重庆巴蜀中学高三月考）
21．已知椭圆经过点，点为椭圆的上顶点，且直线与直线相互垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不垂直轴的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点在轴上方)，直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：.
(2023沙坪坝·重庆八中）
22．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.
（1）若点M在第一象限且直线互相垂直，求圆M的方程；
（2）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；
（3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.
(2023沙坪坝·重庆南开中学）
23．已知椭圆的左右焦点为、，离心率，过圆上一点Q（Q在y轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E于A、B两点，交圆于C、D两点（如图所示）．当切线与x轴垂直时，的面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）（ⅰ）求的面积的最大值；
（ⅱ）求证：为定值，并求出这个定值．
(2023上海高三模拟预测）
24．已知椭圆的一焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等边三角形，直线与椭圆的两交点间的距离为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.
（2023全国高考真题）
25．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
(2023江苏淮安·高三三模）
26．已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．
(2023安徽蚌埠·高三开学考试）
27．已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过定点（其中，）与抛物线相交于两点（点位于第一象限.
（1）当时，求证：；
（2）如图，连接并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.
(2023山东高三三模）
28．已知三点，为曲线上任意一点，满足．
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，为曲线上的不同两点，且，，为垂足，证明：存在定点，使为定值．
参考答案：
1．（1）抛物线的方程为：， ；
（2）最小值为.
分析：（1）依题意得抛物线的焦点坐标为，进而可得其方程为；设过点与抛物线相切的直线方程为（），代入，由得，进而可得；
（2）先证得直线恒过定点，且斜率不为零，故设直线的方程为，将其与抛物线联立，由弦长公式求得，再将其与椭圆联立，由弦长公式求得，进而得，从而可得结果.
【详解】（1）依题意可得抛物线的焦点坐标为，又抛物线的顶点为原点，所以抛物线的方程为.
设，过点与抛物线相切的直线方程为（），将其代入得，
由得，即，所以.
（2）设，，由（1）知，，即，，
则以为切点的切线方程为，即，
同理，以为切点的切线方程为，
因为两切线均过点，所以，，
则切点弦的方程为，所以直线恒过定点.
设点到直线的距离为，则，
因为直线恒过定点，且斜率不为零，故设直线的方程为.
联立得，则，
则；
联立得，设，，则，
则，
则，
故当时，有最小值.
【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：证得直线恒过定点.
2．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）设，设直线的方程为，联立抛物线方程得出韦达定理，再表达出关于坐标的表达式，结合韦达定理化简即可
【详解】（1）由题意可知抛物线E的准线方程为
所以，即，故抛物线E的标准方程为
（2）证明：设
因为直线的斜率为显然不为0，故可设直线的方程为
联立，消去得
所以
又
所以，（定值）
3．（1）；（2）证明见解析．
分析：（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，结合这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，设直线的方程为，将这两条直线分别与椭圆的方程联立，求出点、的坐标，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】（1）由已知条件可得，解得，
即椭圆的标准方程为；
（2）设、，由题意直线、的斜率存在，
设直线的方程为①，设直线的方程为②，
由（1）椭圆③，
联立①③得，
解得，即，
联立②③，得，所以，，即，
易知，
直线的方程为，点到直线的距离为，
所以，
故面积为定值．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
4．（1）；（2）是定值，定值2.
分析：（1）由题得关于的方程组，解方程组即得解；
（2）先证明当直线的斜率在存在时，2；当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，联立直线和双曲线的方程得到，设,求出即得解.
【详解】解：（1）设双曲线C的半焦距为c，
由点在圆上，得，
由-2，得，
所以，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）设直线与轴相交于点D，双曲线C的渐近线方程为
当直线的斜率在存在时，直线为，得2
当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则
把直线的方程与联立得
由直线与轨迹C有且只有一个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别相交可知直线与双曲线的渐近线不平行，所以，且，
于是得,
得，得或,
设,
由，得,
同理得,
所以
综上，的面积恒为定值2.
【点睛】方法点睛：定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.
5．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）将代入椭圆方程，求出，求出点到直线的距离的最大值，进而可求得面积的最大值；
（2）设、两点坐标分别为、，设，则，，求出点、的坐标，结合椭圆方程可计算得出为定值.
（1）
解：当时，将代入，解得，．
当为椭圆的顶点时，到直线的距离取得最大值，
面积的最大值是．
（2）
证明：设、两点坐标分别为、，从而．
设，则有，，．
直线的方程为，令，得，从而．
直线的方程为，令，得，从而．
所以，
为定值．
6．(1)2；(2)；(3)证明见解析.
分析：(1)根据双曲线的几何性质即可求解；(2)根据题意并结合双曲线的渐近线方程即可求解；(3)设出直线l的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理求出点，的横坐标关系，即可证明．
【详解】（1）设双曲线的方程为，
由题可得.
因为双曲线的焦点到渐近线的距离为，
所以，
所以双曲线的离心率．
（2）由已知可设椭圆的方程为，由(1)可知双曲线的渐近线方程为．因为双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为，所以代入渐近线方程可得，，
代入椭圆的方程可得，所以椭圆的方程为．
（3）证明：由已知可得，椭圆的左焦点，直线的斜率不为零．
设直线，直线与椭圆的交点，，
的中点，
联立消去并化简得，
，
，，
则，．
直线的方程为，则，
所以，
所以，即为定值．
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
7．（1）；（2）的周长为定值4.
分析：（1）先由直线方程，得到左焦点坐标，得出；再由离心率，集合椭圆性质，求出，，进而可得椭圆方程；
（2）根据直线与圆相切，得到；设，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，表示出；根据两点间距离公式，分别表示出，，三角形三边求和，即可得出结果.
【详解】（1）因为直线经过椭圆的左焦点，
所以椭圆的左焦点坐标为，故.
又∵，∴，，
故椭圆的标准方程为：；
（2）是定值，理由如下：
因为直线：与圆相切，
所以，即，
设，，联立，
消去整理得，所以，
，，
所以
，
又，所以.
由于，，所以，，
因为，同理，
所以，
所以，
故的周长为定值4.
【点睛】思路点睛：
求解椭圆中的定值问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式，以及题中条件等，进行求解即可.
8．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）根据动点在曲线上运动且保持的值不变，且点在曲线上，得到，利用椭圆的定义求解；
（2）设，，，，由，，分别求得点、N的坐标，点M、N在椭圆上，代入椭圆方程求解.
【详解】（1）因为动点在曲线上运动且保持的值不变，且点在曲线上，
∴，
∴的轨迹是以､为焦点的椭圆，
且，，
∴，
所以曲线的方程为.
（2）设，，，，
由得，
∴，，
由于点在椭圆上，故，
整理得，
由同理可得，
∴，是方程的两个根，
∴.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由，，分别求得点、N的坐标，由点M、N在椭圆上，代入椭圆方程，构造方程，利用韦达定理而得解.
9．（1）；（2）①；②.
分析：（1）可设出点的坐标，由直线，过作直线的垂线，垂足为点，则，则我们根据，构造出一个关于，的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；
（2）①由过点的直线交轨迹于、两点，交直线于点，我们可以设出直线的点斜式方程，联立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求的值．
②根据平面向量数量积的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）设点，则，由，
得， 化简得曲线的方程为；
（2）由于直线不能垂直于轴，且又过轴上的定点，
设直线的方程为，则 ，
设，，联立方程组
消去得，，故
由，，得
利用对应的纵坐标相等，得，，整理得，，
所以.
②因为，，所以有：由上可知： ，
因此有，
所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，
因此.
【点睛】关键点睛：结合基本不等式，利用平面向量数量积的运算性质是解题的关键.
10．(1)2；
(2)证明见解析.
分析：（1）运用代入法，结合双曲线的离心率公式进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式，结合二倍角的正切公式进行证明即可.
（1）
设双曲线的离心率为e，焦距为2c，，
在中令x＝c，则，解得，若|AF|＝|BF|，则，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，解得e＝2或（舍去），所以e＝2；
（2）
因为e＝2，所以，
所以，，设B（x，y）（x＞0，y＞0），
kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tan θ＝，
tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF.
【点睛】关键点睛：利用二倍角的正切公式是解题的关键.
11．（1）；（2）是定值，理由见解析.
【解析】（1）由中垂线可知，所以Q点的轨迹为椭圆；
（2）设两点的坐标，利用直线方程用两点坐标表示的横坐标；再把直线代入椭圆方程消元，韦达定理，整理的横坐标的乘积可得结论.
【详解】由已知线段的垂直平分线交直线于点Q.得，,
又P为圆：上一动点，
所以，
点的轨迹为以为焦点，长轴为4的椭圆
椭圆方程：
设，则直线方程: ，
令，得，同理可得
由题设直线：，代入方程整理得
，且
，，
故（定值）
【点睛】利用已知的几何条件求轨迹方程是常用的求轨迹的方法；运用韦达定理及整体思想求特定的量是直线与圆锥曲线中常见的处理策略.
12．（1）（2）不存在，理由见解析；（3）是定值，且定值为，理由见解析.
分析：（1）联立直线与抛物线方程求出，两点坐标，由两点间距离公式列方程即可求解；
（2）设直线，，，联立直线与抛物线方程联立可得，，设，，射线：与椭圆方程联立可得，同理可得，，计算即可求解；
（3）设，，令可得：，同理可得，两式相乘整理，再讨论点在不在直线上，即可得定值.
【详解】（1）设，，由可得，
所以，，所以，，
所以，因为，所以，
所以抛物线的方程为；
（2）椭圆的右顶点为，设直线，，，
将代入可得：，
所以，，
假设存在，设，，
射线： ，
由 可得：，同理可得，
，，
所以 ，
所以
，
所以，所以不存在直线，使；
（3）设，则，
令可得：①，
同理可得：②，
两式相乘可得
即，
所以，
即，
当点不在直线上时，，所以，
当点在直线上时，，所以，
综上所述：是定值，且定值为.
【点睛】解决圆锥曲线中的定值与定点问题的方法有两种：
一种是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，难度较大，运算量大，且思路不好寻找，另一种方法是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子时就有了明确的方向.
13．（1）；（2）.
分析：（1）根据点是椭圆短轴的一个四等分点，求得b，再根据离心率和，即可求得a，从而得出答案；
（2）设，直线MN的方程为，则直线BM的方程为，与联立，利用韦达定理可求得点，的坐标，从而得出直线的斜率，整理可得出结论.
【详解】解：（1）因为点是椭圆短轴的一个四等分点，
所以，
又，且，
则，所以，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，直线MN的方程为，
则直线BM的方程为，与联立，
得：，
由，且点在上，得，
又，即，代入上式得，
，
即点，同理，
则，
将代入上式，
得，
所以时，，恒成立.
【点睛】本题考查了根据离心率求椭圆的标准方程及直线与椭圆、圆的位置关系，考查了计算能力和逻辑推理能力，难度较大.
14．（1）；（2）是定值，定值为6．
分析：（1）先求出，然后由点到直线的距离列出关于的方程，求出的值，进而得到的值，从而得到的方程；
（2）①当点为椭圆右顶点时，求出；②当点为椭圆左顶点时，求出；③当点不为椭圆顶点，即直线，的斜率均不为零时，设直线，的方程，分别与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后利用向量的关系，求出，，即可得到答案．
【详解】（1）由题意，点，直线的倾斜角为60°，所以，
在中，求得点到直线的距离是，
又由原点到直线的距离是，则，所以，
故的标准方程为.
（2）①当点为椭圆右顶点时，，，所以；
②当点为椭圆左顶点时，同理可得；
③当点不为椭圆顶点，即直线，的斜率均不为零时，
设直线的方程是，直线的方程是，
分别代入椭圆方程，
可得和，
设，，，则，，
由，可得，则，
由直线的方程，可得，
所以，
由，同理可得，所以为定值．
综上所述，为定值6．
【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
15．(1)圆O的方程为，椭圆C的方程为
(2)证明见解析
分析：（1）根据题意，列方程组，解得，，，即可得出答案．
（2）设，，，，分别代入椭圆与圆的方程，解得，，写出直线，的方程，进而可得，的坐标，计算，即可得出答案．
（1）
由题意可得，解得，，
所以圆的方程为，椭圆的方程为．
（2）
证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为，
则，即，
又由，得点M的坐标为，
由，得点N的坐标为，
所以，，，
所以，
所以，即
16．（1）（2）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据条件可知，以及，从而求得椭圆方程；（Ⅱ）设，则，根据条件求直线的方程，并且表示出直线的方程，并求得两条直线的交点纵坐标，根据即可求出面积比值.
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为.
由题意得解得.
所以.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，则.
由题设知，且.
直线的斜率，故直线的斜率.
所以直线的方程为.
直线的方程为.
联立解得点的纵坐标.
由点在椭圆上，得.
所以.
又，
，
所以与的面积之比为.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考查了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，主要利用的关系，确定椭圆方程是基础，本题易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.
17．（1）；（2）证明见解析.
分析：（Ⅰ）根据离心率为，即，OAB的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.
【详解】（Ⅰ）由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
设，则.
当时，直线的方程为.
令，得，从而.
直线的方程为.
令，得，从而.
所以
.
当时，，
所以.
综上，为定值.
【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力.
【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.
18．（1）；（2）证明见解析．
分析：（1）由题意，得F2（1，0），F1（-1，0），再结合定义有，计算即可得结果；
（2）当直线AB的斜率为零时，点A，B为椭圆长轴的端点，计算的结果，当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为，代入椭圆方程结合韦达定理即可求解．
【详解】（1）解∶由题意，得F2（1，0），F1（-1，0），且c=1，
则，即，
所以，
故椭圆C的方程为；
（2）证明∶当直线AB的斜率为零时.点A，B为椭圆长轴的端点，
则 ；
当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为，点，
联立消去x，得，
则恒成立，
由韦达定理，得，
所以
综上，为定值．
19．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）由题知，，利用直线的斜率结合三角形的面积，求出，即可得到椭圆方程.
（2）设直线方程为，设，，与椭圆方程联立整理得，结合韦达定理，利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出，并且利用基本不等式求得其最大值得到，再利用两点连线的斜率公式求得化简可得其为定值.
【详解】（1）椭圆的右顶点，上顶点，
由题知，解得
所以椭圆的标准方程为
（2）由已知MN与x轴不垂直，可知直线的斜率存在，
设直线方程为，设，，
联立，整理得：
其中，即
且，
又原点O到直线的距离
所以
，当且仅当，即时，等号成立，
所以
又，可得
所以当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
20．（1）；（2）存在点，定值为．
分析：（1）由与x轴重合可知轴，此时有先解出a，然后将代入椭圆方程可得到a,b的关系，进而解出b，得到答案；
（2）先讨论直线或的斜率不存在时求出交点P的坐标；然后考虑二者斜率都存在的情况，因为问题是“是否存在定点M，N，使得为定值？”我们可以设出P的坐标，根据求出它的轨迹方程，事先猜想应当是椭圆，而两个定点应该是对应的焦点.
【详解】（1）当与x轴重合时，，故，即轴．
故当时，
由，得．
由，得．
所以椭圆E的方程是．
（2）如图所示，焦点的坐标分别为．
当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或．
当直线和的斜率都存在时，设斜率分别为，点．
联立，得．
因为直线过椭圆内一点，则，，
则
．
同理可得，
因为，所以，化简得．
由题意，知，所以．
设点，则，所以，
化简得，而且当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或，也满足此方程．
所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知存在点，使得为定值，定值为．
【点睛】本题第（2）问比较新颖，问题的关键点在于如何理解“是否存在定点M，N，使得为定值？”，我们应当立马想到椭圆的定义.接下来就比较套路，根据利用根与系数的关系进行化简，得出点P的轨迹方程，此题非常经典，可以作为范题归纳.
21．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）依题意求得，由直线与直线垂直求得，进而得椭圆方程；
（2）依题意设直线，与椭圆方程联立，进而得，结合韦达定理可得结果.
【详解】（1）由，得.
直线与直线相互垂直，则，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）依题意设直线，
联立和椭圆的方程得：，
设，则有.
，令，则，同理：.
所以.
则，
分子，所以.
22．（1）；（2）证明见解析；（3）是，.
分析：（1）由切线性质得，由此可求得点坐标，从而得圆方程．
（2）设切线方程为，由直线与圆相切得出的方程，结合韦达定理得，并结合在椭圆上可得．
（3）当直线不落在坐标轴上时，设，利用可得，利用在椭圆上可求得及，从而得，当直线有一条落在坐标轴上求出，从而得定值，再由基本不等式得最大值．
【详解】（1），则，又，又，故解得，所以，所以圆M的方程为
（2）因为直线与圆M相切，
所以直线与圆联立，
可得同理，由判别式为0，可得是方程的两个不相等的实数根，
∴因为点在椭圆C上，所以，所以；
（3）（i）当直线不落在坐标轴上时，设，
因为，所以，
因为在椭圆C上.所以
整理得，所以所以.
（ii）当直线落在坐标轴上时，圆方程为，易求得，
综上：，所以|
所以的最大值为．
【点睛】本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题，考查学生的运算求解能力，逻辑思维能力，对斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程，利用直线与圆相切得出关于的二次方程，由韦达定理得出结论；设，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点在椭圆上求得的值，注意分类讨论．
23．（1）；（2）（ⅰ）1；（ⅱ）证明见解析，.
分析：（1）由三角形面积得，再结合离心率及求得后得椭圆方程；
（2）（ⅰ）直线的斜率不会为零，设其方程为，由直线与圆相切求得的关系，设，直线方程与椭圆方程联立，消元后求出判别式的值（利用关系），应用韦达定理，得弦长，计算面积，应用基本不等式得最大值；
（ⅱ），，用点坐标表示出，计算可得．
【详解】（1），于是有，又，
解得，所以椭圆E的标准方程为．
（2）（ⅰ）因Q在y轴左侧，故直线的斜率不会为零，设其方程为，
由直线与圆相切得，
由消去x得，
，
设，则，
所以，当且仅当，即时取等号．
故的面积的最大值为1．
（ⅱ）因点在椭圆E上，且在y轴左侧，故，，
由（1），
故，
，
故为定值．
【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆标准方程的关键是列出关于的方程组，解得，直线与椭圆相交一般是设交点坐标，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，由韦达定理的结果求弦长等等．
24．（1）；（2）证明见解析；（3）是定值，定值为25.
分析：（1）由椭圆的离心率公式求得，由椭圆过点，代入椭圆方程，即可求得和的值，求得椭圆方程；
（2）利用点到直线距离公式，同理求得：，则，是方程的两个不相等的实根，根据韦达定理即可求得为定值；
（3）将直线和的方程，代入椭圆方程，即可求得和点坐标，
根据两点之间的距离公式，
由，即可求得为定值.
【详解】（1）由椭圆的离心率，则，
由直线过点，代入，解得：，则，
∴椭圆的标准方程：.
（2）证明：由直线，直线，
由直线为圆的切线，
，，
同理可得：，
∴，是方程的两个不相等的实根，
由，，
则，
由在椭圆上，即，
∴，
∴为定值.
（3）经判断为定值，
（i）由直线，不落在坐标轴上时，
设，，
联立，解得，
∴，
同理，得，
由，
得，
，
∴为定值，定值为25.
【点睛】方法点睛：本题考查了椭圆的定义标准方程､直线与圆相切的性质､一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法､推理能力与计算能力，属于难题.
1、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定理。
2、定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的。
25．（1）；（2）.
分析：(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.
【详解】(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设,
设直线的方程为．
联立,
化简得.
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．
因为，所以．
[方法二] ：参数方程法
设．设直线的倾斜角为，
则其参数方程为，
联立直线方程与曲线C的方程，
可得，
整理得．
设，
由根与系数的关系得．
设直线的倾斜角为，，
同理可得
由，得．
因为，所以．
由题意分析知．所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，
直线的方程为,
则二次曲线．
又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
26．(1)
(2)1
分析：（1）设，则有，即，由点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为可得，，结合离心率，可求出双曲线C的方程；
（2）设直线的方程为，联立，化简得出，再求出，可得出结果.
（1）
由题意可得，渐近线的方程为，
设，则有，即，
因为点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
所以，
又离心率，即，所以，所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）
由（1）知，，设直线的方程为，
联立，得，
所以，
若，，则，，
所以|，
所以，
所以的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得，所以，
则，所以．
27．（1）证明见解析；（2）是定值，定值为.
分析：（1）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理求出，即得证；
（2）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再求出，，即得解.
【详解】（1）设直线方程为，
联立直线与抛物线的方程，
消去，得，所以.
所以
即.
（2）设直线方程为，
联立直线与抛物线的方程，
消去，得，
故.
设的方程为，
联立直线与拋物线的方程，
消去得，
从而，则，
同理可得，
，
即为定值.
28．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）由题意，算出，的坐标，进而求出，再利用平面向量数量积的坐标表示求出，根据已知即可求解.
（2）若直线，则直线与曲线只有一个交点，不合题意；
设直线的方程为，，联立，由韦达定理，根据，可得，从而得直线过定点， 进而在中，当为中点时，为定值.
【详解】解：（1）由 ， 可得，
，
所以，由已知得，化简得，
所以，曲线方程为.
（2）证明：若直线，则直线与曲线只有一个交点，不合题意；
设直线的方程为，联立，得，
则，可得，
设，则，
，同理，
因为，所以，
所以，点在曲线上，显然且，
所以，
所以，
所以直线的方程为，
因此直线过定点，
所以，且是以为斜边的直角三角形，
所以中点满足为定值，
所以存在使为定值.
【点睛】关键点点睛：设直线的方程为，，联立，
由韦达定理，根据，得，从而得直线过定点是解决本题的关键.
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