高考数学微专题集专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题微点3圆锥曲线中的存在性、探索性问题综合训练(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题微点3圆锥曲线中的存在性、探索性问题综合训练(原卷版+解析)，共55页。试卷主要包含了设常数，设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，已知椭圆是左、右焦点，已知双曲线是其左、右两个焦点，如图，椭圆M，已知圆等内容，欢迎下载使用。

微点3 圆锥曲线中的存在性、探索性问题综合训练
1．设常数．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F距离；
（2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
(2023·上海青浦·二模）
2．已知椭圆的右焦点为，过的直线交于两点．
(1)若直线垂直于轴，求线段的长；
(2)若直线与轴不重合，为坐标原点，求△面积的最大值；
(3)若椭圆上存在点使得，且△的重心在y轴上，求此时直线l的方程．
3．已知椭圆的离心率为，椭圆C的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定点P（直线l不经过点P），使得直线PM与直线PN的倾斜角互补，若存在这样的点P，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
(2023·安徽省舒城中学三模）
4．已知椭圆，过原点的直线交该椭圆于，两点（点在轴上方），点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．
(1)若是短轴，求点C坐标；
(2)是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
5．设椭圆的右焦点为F，左顶点为A．M是C上异于A的动点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点（Q在x轴下方），且当M为椭圆的下顶点时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点S，T满足，，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值．
(2023·上海交大附中模拟预测）
6．已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．
(1)若的坐标为，求四边形的面积；
(2)若与椭圆相切于且，求的值；
(3)作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．
(2023·上海市光明中学模拟预测）
7．已知双曲线是其左、右两个焦点．是位于双曲线右支上一点，平面内还存在满足．
(1)若的坐标为，求的值；
(2)若，且，试判断是否位于双曲线上，并说明理由；
(3)若位于双曲线上，试用表示，并求出时的值．
(2023·湖北·模拟预测）
8．如图，椭圆M：的两焦点为，，A，B是左右顶点，直线l与椭圆交于异于顶点的C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BC斜率之积为．
(1)求椭圆M的方程；
(2)直线AC与直线BD交于点Q，设点P与点Q横坐标分别为，，则是否为常数，若是，求出该常数值；若不是，请说明理由．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点．若四边形的面积为，且，，成等差数列．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆外一点(不在坐标轴上)连接，，分别与椭圆交于，两点，直线交轴于点．试问：，两点横坐标之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不是，说明理由．
(2023·江苏南京·模拟预测）
10．已知圆：，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线过点，且与交于，两点，与轴交于点，满足，（，），试探究与的关系．
(2023·山东·胜利一中模拟预测）
11．在平面直角坐标系中，已知，，，，点M满足，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点A和B，在线段AB上取点Q，满足，直线交直线于点R，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
(2023·四川·树德中学模拟预测）
12．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过，椭圆的离心率为的．
(1)求椭圆与椭圆的标准方程：
(2)设过原点且斜率存在的直线l与椭圆相交于A，C两点，点P为椭圆的上顶点，直线PA与椭圆相交于点B，直线PC与椭圆相交于点D，设的面积分别为试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
(2023·广东·华南师大附中三模）
13．已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，
①求证：是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．
(2023·福建省厦门集美中学模拟预测）
14．已知△ABC的顶点，，满足：．
(1)记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程；
(2)过点且斜率为k的直线l与相交于P，Q两点，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
(2023·江西·上饶市第一中学模拟预测）
15．已知椭圆的短轴长等于，离心率．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过左焦点F作直线l，与椭圆C交于A，B两点，判断是否为定值．若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
(2023·北京·景山学校模拟预测）
16．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别是A，B，且．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知M，N是椭圆E上异于A，B的不同两点，若直线AM与直线AN的斜率之积等于-1，判断直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
(2023·浙江·乐清市知临中学模拟预测）
17．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在直线的同侧，且点到直线l的距离分别为．
(1)若椭圆C的方程为，直线l的方程为，求的值，并判断直线与椭圆C的公共点的个数；
(2)若直线l与椭圆C有两个公共点，试求所需要满足的条件；
(2023·湖南·雅礼中学二模）
18．如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
(2023·天津市咸水沽第一中学模拟预测）
19．已知点是离心率为的椭圆上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线、的斜率之和是否为定值：若是求出定值，不是则说明理由.
20．在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线分别交椭圆及直线于点，如图，当两点分别是椭圆的右顶点及上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如果是的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．
21．若是双曲线的两个焦点．
(1)若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；
(2)能否在双曲线的左支上找到一点，使是到左准线的距离与的等比中项？若能，求出的坐标，若不能，说明理由．
(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）
22．已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
23．已知椭圆的标准方程为．
(1)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
(2)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在点，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
24．已知，平面内一动点满足．
(1)求点运动轨迹的轨迹方程；
(2)已知直线与曲线交于，两点，当点坐标为时，恒成立，试探究直线的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．
25．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
26．设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．
(1)求椭圆和的方程；
(2)若直线与交于，两点，与交于，两点，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程：若不存在，说明理由．
27．已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点，且 (m为常数)，直线与AB平行，且与曲线E相切，切点为C，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.
专题24 圆锥曲线中的存在性、探索性问题 微点3 圆锥曲线中的存在性、探索性问题综合训练
专题24 圆锥曲线中的存在性、探索性问题
微点3 圆锥曲线中的存在性、探索性问题综合训练
1．设常数．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F距离；
（2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
(2023·上海青浦·二模）
2．已知椭圆的右焦点为，过的直线交于两点．
(1)若直线垂直于轴，求线段的长；
(2)若直线与轴不重合，为坐标原点，求△面积的最大值；
(3)若椭圆上存在点使得，且△的重心在y轴上，求此时直线l的方程．
3．已知椭圆的离心率为，椭圆C的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定点P（直线l不经过点P），使得直线PM与直线PN的倾斜角互补，若存在这样的点P，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
(2023·安徽省舒城中学三模）
4．已知椭圆，过原点的直线交该椭圆于，两点（点在轴上方），点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．
(1)若是短轴，求点C坐标；
(2)是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
5．设椭圆的右焦点为F，左顶点为A．M是C上异于A的动点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点（Q在x轴下方），且当M为椭圆的下顶点时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点S，T满足，，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值．
(2023·上海交大附中模拟预测）
6．已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．
(1)若的坐标为，求四边形的面积；
(2)若与椭圆相切于且，求的值；
(3)作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．
(2023·上海市光明中学模拟预测）
7．已知双曲线是其左、右两个焦点．是位于双曲线右支上一点，平面内还存在满足．
(1)若的坐标为，求的值；
(2)若，且，试判断是否位于双曲线上，并说明理由；
(3)若位于双曲线上，试用表示，并求出时的值．
(2023·湖北·模拟预测）
8．如图，椭圆M：的两焦点为，，A，B是左右顶点，直线l与椭圆交于异于顶点的C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BC斜率之积为．
(1)求椭圆M的方程；
(2)直线AC与直线BD交于点Q，设点P与点Q横坐标分别为，，则是否为常数，若是，求出该常数值；若不是，请说明理由．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点．若四边形的面积为，且，，成等差数列．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆外一点(不在坐标轴上)连接，，分别与椭圆交于，两点，直线交轴于点．试问：，两点横坐标之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不是，说明理由．
(2023·江苏南京·模拟预测）
10．已知圆：，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线过点，且与交于，两点，与轴交于点，满足，（，），试探究与的关系．
(2023·山东·胜利一中模拟预测）
11．在平面直角坐标系中，已知，，，，点M满足，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点A和B，在线段AB上取点Q，满足，直线交直线于点R，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
(2023·四川·树德中学模拟预测）
12．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过，椭圆的离心率为的．
(1)求椭圆与椭圆的标准方程：
(2)设过原点且斜率存在的直线l与椭圆相交于A，C两点，点P为椭圆的上顶点，直线PA与椭圆相交于点B，直线PC与椭圆相交于点D，设的面积分别为试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
(2023·广东·华南师大附中三模）
13．已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，
①求证：是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．
(2023·福建省厦门集美中学模拟预测）
14．已知△ABC的顶点，，满足：．
(1)记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程；
(2)过点且斜率为k的直线l与相交于P，Q两点，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
(2023·江西·上饶市第一中学模拟预测）
15．已知椭圆的短轴长等于，离心率．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过左焦点F作直线l，与椭圆C交于A，B两点，判断是否为定值．若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
(2023·北京·景山学校模拟预测）
16．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别是A，B，且．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知M，N是椭圆E上异于A，B的不同两点，若直线AM与直线AN的斜率之积等于-1，判断直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
(2023·浙江·乐清市知临中学模拟预测）
17．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在直线的同侧，且点到直线l的距离分别为．
(1)若椭圆C的方程为，直线l的方程为，求的值，并判断直线与椭圆C的公共点的个数；
(2)若直线l与椭圆C有两个公共点，试求所需要满足的条件；
(2023·湖南·雅礼中学二模）
18．如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
(2023·天津市咸水沽第一中学模拟预测）
19．已知点是离心率为的椭圆上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线、的斜率之和是否为定值：若是求出定值，不是则说明理由.
20．在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线分别交椭圆及直线于点，如图，当两点分别是椭圆的右顶点及上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如果是的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．
21．若是双曲线的两个焦点．
(1)若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；
(2)能否在双曲线的左支上找到一点，使是到左准线的距离与的等比中项？若能，求出的坐标，若不能，说明理由．
(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）
22．已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
23．已知椭圆的标准方程为．
(1)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
(2)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在点，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
24．已知，平面内一动点满足．
(1)求点运动轨迹的轨迹方程；
(2)已知直线与曲线交于，两点，当点坐标为时，恒成立，试探究直线的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．
25．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
26．设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．
(1)求椭圆和的方程；
(2)若直线与交于，两点，与交于，两点，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程：若不存在，说明理由．
27．已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点，且 (m为常数)，直线与AB平行，且与曲线E相切，切点为C，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.
参考答案：
1．（1）；（2）；（3）存在，．
分析：（1）方法一：设出点坐标，根据两点间距离公式求解出的值，
方法二：根据抛物线的定义，即可求得的值；
（2）根据抛物线的性质，求得点坐标，即可求得的中点坐标，即可求得直线的方程，代入抛物线方程，即可求得点坐标，则的面积可求；
（3）设坐标，根据求得直线的方程和点坐标，再根据求得点坐标，则根据可求得点坐标.
【详解】解：（1）方法一：由题意可知：设，则，∴；
法二：由题意设，由抛物线的性质可知：，∴；
（2），，，，则，
∴，∴，设的中点，
∴，，则直线方程：，
联立，整理得：，解得：，（舍去），
∴的面积；
（3）存在，设，，则且，∴，
直线方程为，∴，，
又因为四边形为矩形，所以，则，
∴，解得：，即，
∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．
【点睛】关键点点睛：解答本题第三问的关键在于利用矩形的两个特点去分析问题：（1），由此可知，利用坐标完成计算；（2）平行四边形法则，由此可知向量关系式.
2．(1)3
(2)
(3)、或
分析：（1）根据直线垂直轴，可得坐标，进而可求线段长度.
（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，进而根据三角形面积求表达式，进而根据函数最值进行求面积最大值.（3）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，以及重心坐标公式，即可求解.
（1）
因为，令，得，所以，所以
（2）
设直线，，不妨设，
由得，
，，，
，
令，则，，
记，可得在上单调递增
所以当且仅当时取到，
即面积的最大值为；
（3）
①当直线不与x轴重合时，设直线，，中点为．
由得，，，
因为的重心在y轴上，所以，
所以，又，，
因为，所以 ,
故直线，所以，从而，
代入得，所以，或．
② 当直线与x轴重合时，点C位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时．
综上，，或．
3．(1)
(2)存在，点P的坐标为或
分析：（1）利用数量积公式及离心率可得a,b,c从而得到椭圆方程;
（2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，由题意可得直线PM与直线PN的斜率之和为零，利用韦达定理化简可得结果.
（1）
设椭圆C的焦距为2c，由题意知，，，
所以，，所以，解得.
又椭圆C的离心率为，所以，，
故椭圆C的方程为.
（2）
假设存在这样的点P，设点P的坐标为，点M，N的坐标分别为，，设直线l的方程为.
联立方程消去y后整理得.
，得，
有
若直线PM与直线PN的倾斜角互补，则直线PM与直线PN的斜率之和为零，
所以
.
所以解得或
故存在点P符合条件，点P的坐标为或.
4．(1)；
(2)存在，.
分析：（1）两点式写出直线，联立椭圆方程并结合韦达定理求出C坐标；
（2）设有，联立椭圆求C坐标，同理求坐标，讨论、，判断直线恒过定点即可.
（1）
由题设，，而，故直线为，
联立并整理得：，故，而，
所以，代入直线可得，故C坐标为.
（2）
设，则，
由，故，
由韦达定理有，
所以，故，同理得：，，
当时，取，则，同理，
故共线，此时过定点.
当时，，此时过定点.
综上，过定点.
5．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）由向量的坐标运算用表示出点坐标，代入椭圆方程求得参数，得椭圆方程；
（2）设，直线PQ的斜率不为0，设其方程为，设．
直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，利用向量相等的坐标表示求得点坐标，得出点坐标满足一个椭圆方程，然后再由椭圆定义得两定点坐标．
（1）
当M为椭圆的下顶点时，，则．
设C的焦距为2c，则，即．
因为Q在C上，故，解得．
则椭圆C的标准方程为．
（2）
设，直线PQ的斜率不为0，设其方程为，设．
联立直线PQ和C的方程，消x得．
，，
由得S为弦PQ的中点，故．
由得S是线段FT的中点，故．
设T的坐标为，则，，故
，即，
这表明T在中心为原点，为长轴端点，为短轴端点的椭圆上运动，故T到两焦点的距离之和为定值．代入得两焦点坐标为．
综上所述，平面上存在两定点，，使得T到这两定点距离之和为定值．
6．(1)
(2)
(3)存在；；
分析：（1）根据点斜式方程可得，再联立椭圆方程得到，再根据求解即可；
（2）设，根据相切可知，直线与椭圆方程联立后判别式为0，得到，再根据，化简可得，进而得到，再根据直角三角形中的关系求解的值即可；
（3）设，表达出，再根据列式化简可得，结合与椭圆的方程即可求得和直线的方程
（1）
由题意，，故，所以
与椭圆方程联立 ，可得：，即，又由题意，故解得，代入椭圆方程可得，故且
则
（2）
由于直线PN的斜率必存在，则设
与椭圆方程联立，可得：
由相切，，则
同时有韦达定理，代入有，化简得，故
而，解得
则，所以轴，故在直角三角形中，
（3）
由于N与，与是两组关于原点的对称点，由对称性知
四边形是平行四边形，则与是平行的，
故上的任一点到的距离均为两条平行线间的距离d．
设，其中，易验证，当时，与之间的距离为，不合要求，设，则，即，
发现当时，，即，整理得
代入得：，代入整理得，即由于，所以，代入椭圆方程有，故，
则的直线方程为
7．(1)
(2)在双曲线上；理由见解析
(3)；
分析：（1）根据双曲线方程求出的坐标，由及向量的坐标运算，求出点的坐标，再利用点在双曲线上即可求解；
（2）根据及向量的线性运算，得出及点在双曲线上，求出点的坐标，根据，求出点的坐标，结合点与双曲线的位置关系即可求解；
（3）根据及向量的坐标运算，得出点的坐标，利用点在双曲线上及向量的数量积的坐标运算即可求解.
（1）
∵，
设，则，
因为，
所以，解得，所以，
将代入双曲线方程中，化简得，
解得或（舍去）.
所以的值为.
（2）
由（1）知，，
，
设，则，
因为点在双曲线上，所以①，
②，
联立①②，得，所以，
设,所以，
因为，所以，解得，所以，
将点代入双曲线方程中，即，
所以Q在双曲线上
（3）
由（1）知，，
设，，则
因为，
所以，解得，所以,
因为点Q在双曲线上，所以即，
化简得，，
∴，解得，
代入，解得.
所以的值为.
8．(1)
(2)为常数，值为1
分析：（1）由直线AC与直线BC斜率之积为，建立等式得，再结合可求解；
（2）设直线l：，则，再根据直线与直线可得，从而可得为常数.
（1）
由题，，设，
则，
∴，又，
∴，，
∴椭圆M的方程为：.
（2）
直线l若过原点，由对称性知不合题，
设直线l：，则
，消去x得，
设，则
∴①
AC：②，BD：③
②③联立得
①代入得
解得，即
∴，
∴为常数，值为1．
9．(1)；
(2)为定值，理由见解析.
分析：（1）应用菱形面积公式、等差中项的性质及椭圆参数关系求椭圆参数，写出椭圆标准方程.
（2）由题意分析知，所在直线斜率均存在且不为0、斜率和差均不为0，设直线，联立椭圆求，的坐标及点横坐标，应用点斜式写出直线，令求横坐标，即可得结论.
（1）
由题设知：，可得，
所以椭圆标准方程为.
（2）
由题意，，所在直线斜率均存在且不为0、斜率和差均不为0，
设为，联立椭圆方程整理得：，
所以，而，则，
设为，联立椭圆方程整理得：，
所以，而，则，
所以，，
联立直线、可得：，
直线为，
令，则，
所以为定值.
10．(1)
(2)
分析：(1)根据直线与圆的位置关系可得，根据圆与圆的位置关系可得，列出方程，解之即可；
(2)设直线的方程为、、，法一：由平面共线向量的坐标表示和定点分比公式可得、，列出方程，解之即可；法二：联立抛物线方程，利用韦达定理和平面共线向量的坐标表示，化简计算可得、，证明即可.
（1）
设，圆的半径为，由题可知，点在直线右侧，
因为圆与定直线相切，所以．
又圆与圆内切，所以，
所以，化简得，即的方程为．
（2）
解法一：由（1）得，设直线的方程为，，，
则，因为，由定点分比公式可知，
因为点A在上，所以，即，所以．
同理，由，可得，
所以，，即，，
因为点在上，所以，即，所以．
由，得，
因为，，所以，即．
解法二：设直线的方程为，，，则．
由，整理得，
由韦达定理可知，．
因为，即，所以．
由，可得，所以．
所以，
即．
11．(1)
(2)的面积不存在最小值，理由见解析
分析：（1）把已知条件用坐标表示后化简即可得；
（2）设，，，，，且．求出点坐标，利用在双曲线上可求得点轨迹方程，设直线的斜率为，直线的斜率为，求出，，求出三角形面积关于的表达式，利用基本不等式得最小值，及相应的，检验直线是否与双曲线相交即可得．
（1）
由，，，，，
，，得，即．
（2）
设，，，，，，且．
，，，，
则，得，
，得．即．
将A，B两点的坐标代入双曲线中，得，
即，，
（且），则，
得动点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为，直线的斜率为，
，，
（当且仅当时取“=”，此时直线与双曲线不存在相交于两个不同点A，B，
因此，的面积不存在最小值．
12．(1)椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为;
(2)为定值
分析：(1)由题意可得和，即可求解方程；
(2) 设,由题意可得，从而得直线PA的方程为，进而得点B的横坐标，，,由计算即可得答案.
（1）
解:因为椭圆经过点，所以，①
因为椭圆的离心率为．
所以，即，②
由①②可得，
故椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为;
（2）
解:设，则，即
由题意知，设直线的斜率分别为，
则
直线PA的方程为，则由，消去y得，
解得或，则
由，消去y得，解得或，
所以点B的横坐标，
所以
同理
所以
故为定值
13．(1)
(2)①证明见解析 ；②存在；
分析：（1）利用几何知识可得，结合双曲线定义理解处理；（2）根据题意设直线及点的坐标，①分别求，，，利用韦达定理证明；②根据①结合题意求的坐标，代入双曲线方程运算求解．
（1）
∵，
∴AC的垂直平分线交BA的延长线于点P．
连接PC，则，
∴，
由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以，为焦点，实轴长为的双曲线的右支（右顶点除外），
，，则，
∴E的方程是．
（2）
①证明：由已知得，，满足，
设直线l方程为，，，
联立，得，
，，
，
同理，
∴
对，令，得，
∴，，
∴，
∴是定值．
②假设存在m的值，使
由①知，，
则，
∴，
直线QK的方程为，
令，
得；
直线l的斜率为1，直线l的方程为，
令，得；
∴，
∴，
代入，得，
整理得，，
解得，或（∵，舍去）
∴，存在m的值为，使．
14．(1)
(2)
分析：（1）设，用坐标表示 ，即可整理出的轨迹方程；
（2）设直线l为，先讨论，结合条件，由对称性易得点N在y轴上；再讨论，此时结合条件以及角平分线定理可得y轴为的平分线，即，最后联立方程组，整理出，即可联立解出N的纵坐标，即可得结果
（1）
设，则，整理得，故的轨迹方程为；
（2）
设直线l为，当时，可得点P，Q关于y轴对称，可得，要使恒成立，即成立，即点N在y轴上，可设为.
当时，联立方程组，整理得，设，则，
要使恒成立，即成立，由角平分线定理则只需使得y轴为的平分线，即只需，即，即，解得，
综上可得，存在与M不同的定点，使得恒成立
15．(1)
(2)是定值，定值为
分析：（1）根据题意，列出的方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）当直线斜率不为0时,联立直线与椭圆方程，利用设而不求法求，完成证明，再验证斜率为0是否也为定值即可.
（1）
由椭圆的短轴长等于，离心率．
可得，解得，，，所以椭圆的方程为．
（2）
由椭圆的方程，可得左焦点，
（i）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
设， 所以，，
所以
，
（ⅱ）当直线l的斜率不为0时，此时，
综上所述，．
【点睛】设而不求法是解决直线与椭圆的综合问题的常用方法，本题需就直线的斜率是否为0，分情况讨论.
16．(1)
(2)过定点；
分析：（1）由离心率可得，的关系，再由长轴长的值，求出的值，进而求出的值，求出椭圆的方程；
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程、，，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线，的斜率之积，将、代入，由题意可得参数的关系，进而求出直线恒过的定点的坐标．
（1）
解：由离心率可得，
又由左、右顶点可得，所以，，
所以椭圆的方程为：；
（2）
解：由（1）可得，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
，即，可得，
且，，
，
整理可得，可得或，符合，
所以直线的方程为：或，
所以直线恒过或（舍去），
所以直线的方程为：，可得直线恒过点；
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入椭圆的方程，可得，
设，，则，解得或（舍，
所以直线恒过定点，
综上所述：直线恒过定点．
17．(1)；1.
(2)
分析：（1）利用点到直线的距离公式直接求出的值，即可得到；利用代数法判断直线与椭圆C的公共点的个数；
（2）先利用代数法求出直线l与椭圆C有两个公共点时的条件，再求出，即可得到.
（1）
椭圆C的方程为，则.
又直线，所以，
所以.
联立，消去y可得：.
因为，所以直线与椭圆C有1个公共点.
（2）
联立，消去y可得：.
因为直线l与椭圆C有两个公共点，所以，整理化简得：.
又，其中，所以，，
所以.
所以直线l与椭圆C有两个公共点，则.
18．(1)；
(2)存在，.
分析：（1）利用椭圆的定义可得，结合题列出关系式，可得，即得；或利用椭圆上点的坐标结合定义可得.
（2）由题可设直线的方程为：，设点，利用韦达定理法，结合条件可得，即得.
（1）
法一：，
,
，,
,
∴椭圆方程为：.
法二：设，代入椭圆方程，由，
解得，
，
椭圆方程为：.
（2）
设动直线的方程为：，
由，得
设，
则，
由对称性可设存在定点满足题设，
则，
由，可得，
所以，
∴，
∴，
由题意知上式对成立，
且，解得.
存在定点，使得以为直径的适恒过这个点，且点的坐标为.
19．(1)
(2)是定值，且定值为
分析：（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式与韦达定理可求得直线、的斜率之和.
（1）
解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.
（2）
解：设直线的方程为，其中，设点、，
联立可得，
，可得且，
由韦达定理可得，，
.
因此，直线、的斜率之和为.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
20．(1)
(2)为定值
分析：（1）由已知条件求得，，由此列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）把代入椭圆，得到，取得，得到的方程为，联立方程组，求得，结合，列出方程求得，即可求解.
（1）
解：椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，
当零点分别是椭圆的有顶点和上顶点时，则，
因为线段的中点为，射线分别角椭圆及直线与两点，所以，
由三点共线，可得，解得，
因为，所以，可得，
又由，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）
解：把代入椭圆，
可得，可得，
则，
所以，即,
所以直线的方程为，
由，可得，
因为是的等比中项，所以，
可得，
又由，解得，所以，此时满足，
所以为常数.
21．(1)
(2)不能，理由见解析
分析：（1）根据双曲线的几何性质列方程求解即可；
（2）根据双曲线准线的性质和等比中项的性质，列方程求出 ，再根据三角形两边之和大于第三边判断可以求解.
（1）
是双曲线的两个焦点，则，
点到它的一个焦点的距离等于10，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或（舍去），
即点到另一个焦点的距离为；
（2）
根据题意，
，
解得，
又，从而，矛盾，符合条件的点不存在；
综上， ，符合条件的点不存在.
22．(1)
(2)不存在，理由见解析
分析：（1）设，利用点差法求得直线AB的斜率，根据直线的点斜式方程结合验证，即可求得答案；
（2）同（1）利用点差法求得直线方程，把直线方程和双曲线方程联立，整理得到一元二次方程，其判别式小于0，说明符合题意的直线不存在.
（1）
设 ，则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
又因为为弦的中点,故 ，所以，
所以直线的方程为，即，
由方程组得，其 ，
说明所求直线存在，
故直线的方程为.
（2）
假设存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，
设该直线与双曲线交于C,D两点，
设 ，则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
又因为为弦的中点,故 ，所以，
所以直线的方程为，即，
由方程组 ,得 ，
根据 ，说明所求直线不存在,
故假设不成立，即不存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点.
23．(1)存在；点坐标为
(2)存在；
分析：（1）根据仿射变换进行换元，令，即可得到新的轨迹方程，得到.然后根据题意找到的轨迹方程，结合椭圆定义即可解题；
（2）结合第一小问，找到的轨迹方程，结合椭圆定义即可解题.
（1）
设椭圆上一点为，椭圆上的点，，
令，椭圆的方程为，，
可得是以为圆心，半径为2的圆上的点，记仿射变换下，在圆上对应的点为，，
直线与的斜率之积为
．可得.
，四边形为正方形，于是，
则点的轨迹方程为，因此点的轨迹方程为，即.，
由椭圆的定义可得，存在符合题意的点，坐标为（即椭圆的两个焦点）．
（2）
，由（1）可知，此时四边形为矩形，于是，点的轨迹方程为，因此点的轨迹方程为，即.，，
直线为椭圆的右准线.
由椭圆的定义可得，存在符合题意的点，坐标为（即椭圆的右焦点）．
24．(1)
(2)是定值；
分析：对于小问1，设点，代入，整理化简得点轨迹方程；
对于小问2，设出直线：，联立曲线的方程，结合韦达定理，代入，整理得到和的关系，进而判断直线是否过定点．
（1）
设，则，所以点轨迹方程为：．
（2）
显然直线不垂直于轴，
故设：，，
代入并整理得： ，
∴
，
整理得：，
若，此时过，不合题意；
若，即符合题意，
故直线的斜率为．
25．(1)
(2)在定直线方程上
分析：（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
（1）
设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）
当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
26．(1)，.
(2)不存在，理由见解析
分析：（1）根据离心率可得，代入得，再代点即可得出的方程，再求出点、的坐标，从而求出圆的方程；
（2）设出、的坐标，求出、，根据条件得到，利用韦达定理代入即可得到结论．
（1）
解：由题意可设椭圆的标准方程为，
椭圆的离心率，，
，，
将点代入椭圆的方程得：
，
联立解得：，
椭圆的方程为：，
，
轴，，
的方程为：；
（2）
由、在圆上得，
设，，，
同理：，
若，则，即，
，
由得，
得，无解，故不存在．
27．(1)
(2)是定值，
分析：（1）由题意得，结合抛物线的定义即可求得点M的轨迹方程；
（2）设出直线AB的方程，联立抛物线求得AB的中点Q坐标，再联立切线与抛物线求出切点坐标，得到轴，结合以及求得即可求解.
（1）
由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，所以点M的轨迹是以为焦点，
直线y＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为；
（2）
由题意知，直线AB的斜率存在，设其方程为，由消去y整理得，
则，设AB的中点为Q，则点Q的坐标为，由条件设切线方程为，
由消去y整理得，∵直线与抛物线相切，∴，∴，
∴切点C的横坐标为，∴点C的坐标为，∴轴，∵，
∴，∴，
∴，∵m为常数，∴的面积为定值.